一道椭圆离心率试题的多解探究

摘"要"本文对一道椭圆离心率问题进行探究，给出了多种解法.

关键词"椭圆离心率；求法；探究

1.试题呈现

如图1所示，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），F1，F2分别为Γ的左、右焦点，上顶点为B（0，b），弦AB过F1，弦AC过F2，且AB⊥BC，求椭圆Γ的离心率e.

试题设问语言简洁干脆，寥寥数语将曲线形几何图形椭圆与直线形几何图形三角形糅合在一起，考查椭圆离心率的求解.试题中并未给出一个具体的数字，然而所求椭圆的离心率却是一个定值，变化中蕴含着不变，刻画了椭圆中的一个优美结论.

2.解法探究

解法1"（常规运算）设直线AB：bcx－y+b=0①，因为AB⊥BC，故直线BC：cbx+y－b=0②.又椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）③，联立①③得A（－2a2ca2+c2，b3a2+c2），

联立②③得C（－2a2b2cb4+a2c2，b5－a2c2b4+a2c2）.又因为A，F2，C三点共线，故kAF2=kCF2，即b3a2+c2－2a2ca2+c2－c=b5－a2c2b4+a2c2）－2a2b2cb4+a2c2－c，化简整理得a2=3c2，即离心率e=33.

解法2"（曲线系方程）设F1（－c，0），F2（c，0），则易得直线AB：bcx－y+b=0，直线BC：cbx+y－b=0，直线AC：x=my+c又椭圆在点B（0，b）处的切线为y=b，则过A，B，C三点的二次曲线系方程为

（bcx－y+b）（cbx+y－b）+λ（y－b）（x－my－c）=μ（x2a2+y2b2－1）（λ，μ∈R）考虑方程左右两边以下各项的系数，有x2项1=μa2①，xy项bc－cb+λ=0②，常数项－b2+bcλ=－μ③，

联立①②②得a2=3c2，即离心率e=33.

解法3"（平移构造齐次式）将坐标系向上平移b个单位，则平移后的椭圆Γ′：x2a2+（y+b）2b2=1（agt;bgt;0），去分母整理得b2x2+a2y2+2a2by=0①，设平移后的直线A′C′：mx+ny=1②，因为直线A′C′过点F2′（c，－b），故满足mc－bn=1③.

联立①②得b2x2+a2y2+2a2by（mx+ny）=0④，由于x≠0，④式左右两边同时除以x2，整理得（2a2bn+a2）·（yx）2+2a2bm·yx+b2=0⑤.又因为A′B′⊥B′C′，故kA′B′·kB′C′=－1=b22a2bn+a2，即2a2bn+a2+b2=0⑥.由③⑥得m=c2a2⑦.又kA′B′=bc为方程5的一个根，代入得（2a2bn+a2）·（bc）2+2a2bm·bc+b2=08，联立③⑦⑧得a2=3c2，即离心率e=33.

3.解法评析

以上三种解法各有利弊，针对不同的学生而言实用性不尽相同.

方法1是常规运算，运用方程的思想，解出交点的坐标，再利用三点共线求解.此法在思维上较为简洁，但运算起来较为繁琐，不一定每个学生都能准确无误的运算出来，适合数学思维能力较弱，但运算能力较强的学生.

方法2运用二次曲线系方程，巧妙的避免繁琐的数学运算，将方程的思想运用的淋漓尽致，过程简洁，可谓是此题的最佳解法.但是对于不熟悉曲线系方程的学生而言，此法根本想不到.这种方法的巧妙之处在于，直接根据椭圆上的四个点，得到四条直线（若是三角形问题，则可将其中一较为特殊的点看作两个点重合得到，此时考虑这一点处的切线），建立过这四点的二次曲线系方程，利用方程左右两边对应项的系数相等的原理，直接对比系数即可.

方法3通过平移坐标系，将椭圆的上顶点平移至坐标原点，再通过直线与椭圆方程的齐次化联立，对比方法1中的次数不对称联立，有效地降低运算量.最后将题设条件中直线的垂直关系转化为斜率关系，结合韦达定理，最终顺利解决问题.

下面对平移构造齐次式解题步骤进行归纳：

（1）根据题设条件找到斜率之和或斜率之积为定值的关系式，将两条直线的公共点（通常此点坐标固定）平移到坐标原点（如：向左平移p个单位，向下平移q个单位），椭圆或双曲线同时整体进行平移.

（2）写出平移后的椭圆或双曲线方程（x+p）2a2±（y+q）2b2=1.

（3）设出平移后的直线方程mx+ny=1（截距式的变形式）.

（4）构造齐次式（以椭圆为例）b2x2+a2y2+（2pb2x+2qa2y）（mx+ny）+（b2p2+a2q2－a2b2）（mx+ny）2=0.

（5）当x≠0时，方程两边同时除以x2转化为关于yx的一元二次方程，借助韦达定理得出直线恒过定点或其他关系式.

上述三种方法对同一个问题的解决，体现了“一题多解”的解题模式，从不同角度看待同一个问题，能够使得我们对问题的认识更加深刻.