角度式下圆锥曲线焦点弦问题的探究与应用

摘"要"本文以圆锥曲线焦点弦的倾斜角为变量，探究与焦点弦相关的性质，并将这些结论运用到实际的解题中，从而将常规解法下复杂的运算转换为我们所熟知的三角运算.这些性质的推导与结论的运用，能够很好的提升学生的数学思维能力.

关键词"焦点弦；倾斜角；探究

1.引言

解析几何中，将直线方程与曲线方程联立，利用弦长公式，求得直线被曲线所截得的线段长，是求直线被曲线所截弦长的通式通法.经过圆锥曲线的焦点且与曲线有两个交点的直线被称为焦点弦，与焦点弦有关的求长度、周长或面积的考题在高考题的命制中多次出现.通式通法求这类问题的一般步骤：首先设出过焦点的直线方程，再与曲线方程联立，利用弦长公式将所求的量用直线的斜率k表示出来，再进行相关的运算.此类方法对学生的运算能力要求较高，在一些复杂问题求解中往往会出现一些繁琐的运算，甚至会出现运算无法进行下去的情形.

针对以上情形，笔者将焦点弦所在直线方程中的斜率用直线的倾斜角表示出来（斜率不存在的直线倾斜角为π2），将与焦点弦有关的长度、周长或面积问题用倾斜角的三角函数形式表示出来，从而将复杂的代数运算转换为我们熟知的三角函数运算.

2.圆锥曲线焦点弦问题的探究

探究一"角度式下椭圆焦点弦的性质与推论

性质1"设AB是经过椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）左焦点F（－c，0）的弦，直线AB的倾斜角记为θ，θ∈0，π，则AB=2b2a1－e2cos2θ，其中e为椭圆的离心率.

证法1"（向量法）如图1所示，AF'=FF'－FA，则AF'2=FF'2+FA2－2FF'FAcosθ，根据椭圆定义可得2a－AF2=2c2+AF2－4c·AF·cosθ，进而AF=b2a－c·cosθ=b2a1－ecosθ，同理BF=b2a+c·cosθ=b2a1+ecosθ，故焦点弦长AB=AF+BF=2ab2a2－c2cos2θ=2b2a1－e2cos2θ.

证法2"（余弦定理）在三角形AFF'中，因为（AF'）2=AF2+（FF'）2－2AF·FF'·cosθ，所以2a－AF2=2c2+AF2－4c·AF·cosθ，展开得出AF=b2a－ccosθ，同理在三角形BFF'中，可得BF=b2a+ccosθ，所以AB=AF+BF=2b2a1－e2cos2θ.

证法3"（解析法）设直线AB：x=my+c与椭圆方程x2a2+y2b2=1联立可得a2+m2b2y2+2mcb2y－b4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可得y1+y2=－2mcb2a2+m2b2，y1·y2=－b4a2+m2b2，AB=1+m2·y1+y22－4y1y2=1+m2·4m2c2b4a2+m2b22+4b4a2+m2b2=2ab2a2sin2θ+b2cos2θ=2ab2a2－c2cos2θ=2b2a1－e2cos2θ，当直线斜率为0时，即θ=0时，AB=2b2a1－e2=2a，满足上式.

在证明弦长公式过程中我们得到了AF=b2a1－ecosθ，BF=b2a1+ecosθ的结论，故可以得出如下推论：设AB是经过椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）左焦点F（－c，0）的弦，直线AB的倾斜角记为θ，则有

推论1"1AF+1BF=2ab2.

推论 2""若AF=λFB，则ecosθ=λ－1λ+1.

推论 3"若AB，CD是过椭圆焦点的两条弦，且AB⊥CD，则1AB+1CD=2a2－c22ab2.

探究二"角度式下双曲线焦点弦长的性质与推论

性质2"设AB是经过双曲线x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）左焦点F（－c，0）的弦，且满足与双曲线的左支有两交点A，B，直线AB的倾斜角设为θ，其中θ∈（arctanba，π－arctanba），则AB=2b2a1－e2cos2θ，e为双曲线的离心率.

证明"设双曲线右焦点为F'（c，0），由双曲线定义得AF'=2a+AF，在三角形AFF'中，AF+2a2=AF2+FF'2－2AF·FF'cosθ，又由FF'=2c代入得AF=b2a+ccosθ=b2a1+ecosθ，同理BF=b2a1－ecosθ，所以AB=AF+BF=2b2a1－e2cos2θ.

类比椭圆中性质一的推论，我们也可在双曲线中得出如下类似推论.

设AB是经过双曲线x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）左焦点F（－c，0）的弦，与双曲线左支交于A，B两点，记直线AB的倾斜角记为θ，θ∈（arctanba，π－arctanba），则有

推论4"1AF+1BF=2ab2.

推论5""若AF=λFB，则ecosθ=1－λ1+λ.

因为椭圆的图像是封闭的图形，故经过椭圆左焦点的任意直线都与椭圆有两个交点，倾斜角θ没有限制.而双曲线的图像不封闭，故经过双曲线左焦点的直线要与左支有两个交点，则倾斜角θ∈（arctanba，π－arctanba）.

探究三"角度式下抛物线y2=2px（pgt;0）焦点弦长的性质与推论

性质3"设AB是过抛物线y2=2px（pgt;0）的焦点F（p2，0）的一条弦，设直线AB的倾斜角为θ，两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则焦点弦长为AB=2psin2θ，θ∈（0，π）.

证法1"（解析法）当直线的倾斜角θ=π2，直线方程为x=p2，则两交点坐标为A（p2，p），B（p2，－p），所以弦长AB=2p=2psin2θ；

当直线倾斜角θ≠π2时，设直线AB方程为y=k（x－p2），（其中k=tanθ∈R，且k≠0），与抛物线方程y2=2px（pgt;0）联立可得k2x2－（pk2+2p）x+14p2k2=0，由抛物线的定义可得AB=x1+x2+p=2p+2pk2=2p+2ptan2θ=2psin2θ.

证法2"（几何法）设点A到抛物线y2=2px（pgt;0）准线x=－p2的距离为d，由抛物线的定义可得AF=d=p+AF·cosθ，所以AF=p1－cosθ，同理可得BF=p1+cosθ，θ∈（0，π），所以AB=AF+BF=p1－cosθ+p1+cosθ=2psin2θ.

评注：两种证法从代数和几何两个角度出发得出抛物线焦点弦的弦长公式，证法1侧重于通式通法，从整体角度出发得出以倾斜角θ为变量的弦长表达式，证法2将求焦点弦AB的长度拆分为求两线段AF和BF长度之和，将焦半径的长度也以倾斜角θ为变量表示出来，为后续相关推论的得出提供思路.

推论6"1AF+1BF=2p.

推论7"ΔAOB的面积SΔAOB=p2sin2θ.

由性质3的证法2可得AF=p1－cosθ，BF=p1+cosθ，所以推论6成立；将OF看作是三角形的底边，SΔAOB=12·OF·y1－y2=12·p2·2psin2θ·sinθ=p22sinθ，推论7得证.

在圆锥曲线中，经过焦点且与焦点所在的轴垂直的弦称为通径，在椭圆和双曲线的通径长都为2b2a，抛物线的通径长为2p.在此定义下，可将性质1至3的焦点弦长统一定义为通径长1－e2cos2θ，便于理解记忆.

3.角度式下焦点弦性质的应用

与焦点弦长或焦半径有关的试题在高考题或模考题中多次出现，解决此类问题的通式通法是设出焦点弦所在直线方程，与圆锥曲线联立，借助韦达定理，利用弦长公式求解.故此类解法虽然思路简单、方法直接，由于运算量过大，会时常出错.若以本文中角度式下的焦点弦性质与推论为解题的思考方向，往往可以起到事半功倍的效果.

3.1"焦点弦性质在求正交弦长中的应用

例1"已知点P为圆x2+y2=4上一动点，PQ⊥x轴于点Q，若动点M满足OM=32OP+2－32.OQ（1）.求动点M的轨迹E的方程；（2）过点（1，0）的直线l1，l2分别交曲线E与点A，C和点B，D，且l1⊥l2，求证：1AC+1BD为定值.

解析"（1）动点M的轨迹E的方程为x24+y23=1.（过程略）

（2）设直线AB的倾斜角为θ（θ∈0，π），由性质一可得AC=2b2a1－e2cos2θ=124－cos2θ，同理BD=2b2a1－e2cos2（θ+π2）=124－sin2θ，所以1AC+1BD=8－（sin2θ+cos2θ）12=712.

本题也可采取通式通法，设出其中一条直线AC的方程与椭圆联立，利用弦长公式求出线段AC的长度，同理可以得出线段BD的长度.在求解过程中，因为直线AC的斜率可能不存在，故需分类讨论得出线段长.

一般性结论：若AB，CD是过椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）焦点的两条弦，且AB⊥CD，则1AB+1CD=2a2－c22ab2.可设其中一条倾斜角为锐角的直线倾斜角为θ，则另一条直线的倾斜角为θ+π2，则由焦点弦性质可得1AB+1CD=a2－c2cos2θ2ab2+a2－c2cos2（θ+π2）2ab2=2a2－c22ab2.

3.2"焦点弦性质在求与焦点弦垂直的两线段长的比值问题中的应用

例2"已知椭圆C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0的右焦点为F2（1，0），且椭圆C过点（1，－22）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C左焦点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线m：x=－2，过点F1作直线l的垂线与直线m交于点T，求TF1AB的最小值和此时直线l的方程.

解析"（1）椭圆C的标准方程为x22+y2=1.（过程略）

（2）如图2所示，设直线m与x轴交于点H，则HF1=1，不妨设直线l的倾斜角为θ，由对称性可取θ∈0，π2，则∠TF1H=π2－θ，当θ∈（0，π2），TF1=HF1cos（π2－θ）=1sinθ，由性质1知AB=2b2a1－e2cos2θ=222－cos2θ，故TF1AB=1sinθ222－cos2θ=24·1+sin2θsinθ=24·sinθ+1sinθ＞22.当θ=π2时，则T点和H重合，则TF1=1，AB=2b2a=2，则TF1AB=22，当θ=π2时，TF1AB取最小值22，此时直线l的方程为x=－1.

评注"本题解答中以焦点弦的倾斜角θ为变量，不仅可以表示出焦点弦AB的长度，而且可以将与焦点弦垂直的线段TF1的长度也表示出来，从而将所求最值问题转化为我们所熟知的三角函数问题，从例2中我们不难发现相对于常规解法，角度式下焦点弦性质的应用可以在解答此类问题起到事半功倍的作用.

3.3"焦点弦性质在求正交的两弦端点连成的四边形面积问题中的应用

例3"已知椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l1交椭圆于B，D两点，直线l2：x=my+1经过点F2，与椭圆相交于A，C两点，且l1⊥l2，若ΔF1AC的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设四边形ABCD的面积为S，求S的取值范围.

解析"（1）椭圆的标准方程为x24+y23=1.（过程略）

（2）由椭圆的对称性，不妨设直线l1的倾斜角为θ，θ∈0，π2，又由l1⊥l2，可得直线l2的倾斜角为θ+π2，由性质①可得BD=2b2a1－e2cos2θ=124－cos2θ，AC=2b2a1－e2cos2（θ+π2）=124－sin2θ ，所以四边形ABCD的面积S=12×124－cos2θ×124－sin2θ=72－（sin2θ－12）2+494，当sin2θ=12时，Smin=28849；当sin2θ=0或1时，Smax=6，所以S∈28849，6.

本例中的第（2）问可推广如下：过椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）焦点且互相垂直的两弦的端点连成四边形面积的取值范围为8a2b4（a2+b2）2，2b2.

基金项目：安徽省合肥市市级课题《高中数学教材中“阅读与思考”栏目的开发与实践研究》（项目编号：HJG23215）