合理引参创设，破解一道立体几何题

立体几何场景下的“动态”与“静态”问题，涉及位置关系、距离长度与角度大小等要素，可合理确定所求值，可巧妙进行最值（或取值范围）判断，通常是高考数学试卷命题中的一个基本考点与创新点，备受各方关注.

1 试题及分析

题1 （2025届湖北省武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷·14）如图1，两个有共同底面的正三棱锥P-ABC与Q-ABC，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角P-AB-Q的大小为120°，则△ABC的边长为.

在实际解题时，关键是通过图形直观，从边参视角或角参视角，借助不同思维与方法来分析，巧妙突破几何与三角、函数与方程等之间的巧妙转化，进而实现问题的求解.

此题以两个同底且“一正一倒”的正三棱锥与对应的外接球的组合体为试题场景，设计巧妙.

2 试题破解

2.1 边参思维

解法1：边参法.

依题，设外接球的球心为O，AB的中点为D，根据题设条件可知P，O，Q三点共线，设PQ∩平面ABC=E，则知E为△ABC的中心，二面角P-AB-Q的平面角为∠PDQ，即∠PDQ=120°，如图2所示.

令|DE|=x，|OE|=y，则有|OC|2=|OE|2+|CE|2，即1=y2+4x2.

|PD|2=|DE|2+|PE|2=x2+（1+y）2，|QD|2=|DE|2+|QE|2=x2+（1－y）2.

在△PDQ中，利用余弦定理可得2|PD||QD|×

cos∠PDQ=|PD|2+|QD|2－|PQ|2，

则－|PD|×|QD|=2x2+2y2－2=－6x2，即|PD||QD|=6x2=32（1－y2）.

|PD|2|QD|2=[x2+（1+y）2][x2+（1－y）2]=（x2+y2+1）2－4y2=（3y2+5）216－4y2=94（1－y2）2，整理可得27y4－38y2+11=0，即（y2－1）（27y2－11）=0，解得y2=1（舍去）或y2=1127.

于是可得x2=14（1－y2）=427，解得x=233，则有|AB|=3xsin 60°=43，即△ABC的边长为43.

故填答案：43.

点评：解决此类问题的常规思维就是合理引入边参，借助立体几何问题的空间图形，合理化立体几何为平面几何，借助平面几何图形的基本性质来合理构建边参之间的关系式，通过解三角形思维来转化与应用，实现边参之间的变形与转化，为问题的分析与求解创造条件.这里借助两个边参的巧妙引入来处理，结合勾股定理与余弦定理来转化与应用，数学运算过程比较繁杂，逻辑推理复杂，解题时要细致认真.

2.2 角参思维

解法2：角参法1.

依题，设外接球的球心为O，AB的中点为D，根据题设条件可知P，O，Q三点共线，设PQ∩平面ABC=E，则知E为△ABC的中心，二面角P-AB-Q的平面角为∠PDQ，即∠PDQ=120°，如图2所示.

令|BD|=x，|OE|=y，设∠PDE=α，∠QDE=β，则有tan α=1+y|DE|，tan β=1－y|DE|，α+β=∠PDQ=120°.

由|DE|2+x2+y2=1，且|DE|=33x，可得43x2=1－y2.

又tan αtan β=1+y|DE|·1－y|DE|=1－y2|DE|2=43x213x2=4，tan α+tan β=1+y|DE|+1－y|DE|=2|DE|=23x，所以

－3=tan∠PDQ=tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=23x1－4，解得x=23，则有|AB|=2x=43，即△ABC的边长为43.

方法3：角参法2.

依题，设外接球的球心为O，AC的中点为N，根据题设条件可知P，O，Q三点共线，设PQ∩平面ABC=M，则知M为△ABC的中心，如图3所示.

设△ABC的外接圆半径为r，则|BM|=r，|MN|=r2，可得OM=1－r2.

设∠PNM=α，∠QNM=β，则tan α=|PM||MN|=1+1－r2r2gt;0.

同理可得tan β=1－1－r2r2gt;0.

所以tan αtan β=1+1－r2r2·1－1－r2r2=4，tan α+tan β=1+1－r2r2+1－1－r2r2=4r，于是有

－3=tan∠PNQ=tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=4r1－4，解得r=433，则有|AB|=32rsin 60°=43，即△ABC的边长为43.

点评：解决此类问题的另一常规思维就是合理引入角参，借助三角函数的定义及其应用，以及代数关系式的变形与转化来合理构建相关的关系式.

3 试题探源

前文所给试题与2024年江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试卷的第8题有很大的相似之处，二者之间存在一些共同点.在一定程度上，可以认为前文所给试题是由其改编而成的，改编得非常精妙与合理.原考题如下：

题2 〔2024年江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试卷·8〕正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为α，β，则当α+β最大时，tan（α+β）=（" ）.

A.－13

B.－23

C.－1

D.－43

4 变式拓展

变式 两个有共同底面的正三棱锥P-ABC与Q-ABC，它们的各顶点均在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为α，β，则可得tan αtan β=.

该变式只是题1或题2中的一个过程量，也是立体几何图形“动”与“静”结合的一个关键产物，借助两正三棱锥的侧面与底面ABC所成角的正切值之积为定值来设置，有效实现立体几何中动点的“动”与三角函数关系式中变量的“静”之间的巧妙转化与应用.

5 教学启示

解决此类涉及立体几何中二面角及其相关应用的取值或最值（或取值范围）问题，关键在于正确构建与之对应的空间几何体及其数学模型，借助空间几何体之间的位置关系与结构特征，或者相关动点变化规律与运动情况，巧妙思维，创新应用，有效交汇并融合众多的数学知识点，具有较强的综合性和技巧性，可以很好地考查考生的数学“四基”与“四能”，有效实现数学试题的选拔性与区分度.

解题时，巧妙化“动”为“静”，“动”“静”结合，合理化“三维”为“二维”，正确进行维度转化.在这个过程中，巧妙引入参数或相关的变量，通过“静”态思维与模型构建，结合相关的函数或方程、三角函数或解三角形、不等式及其应用、平面几何直观及其他相关思维等来分析与应用，实现问题的巧妙解决，全面提升数学能力，优化数学品质，培养数学核心素养.