深耕教材，拓展提升：一道三角函数题的判断

摘要：深耕高中数学教材是高中数学课堂教学与高考复习备考的关键，越来越受到师生的重视.结合一道高考模拟题，链接教材，结论拓展，解题应用，变式探究，合理总结解题规律与类比拓展，实现教师教学与学生学习的优化与减负.

关键词：教材；拓展；正切公式；三正切公式；变式

基于新教材、新课标与新高考“三新”背景，新高考改革的不断推进以及“双减”政策的稳步落实，深耕教材，充分研究和挖掘教材中例（习）题的内在功能，不但会减轻教师的教学压力，还能够培养学生的教材阅读和分析能力，逐步成为高考命题的一种新导向与新热点，倍受各方关注.在复习备考阶段，应合理回归教材，深耕教材，从中探寻问题的内涵与实质，挖掘背后的数学基础知识与数学思想方法等，进行有效备考与复习，提升高考复习备考的效益.

1 问题呈现

问题 〔江苏省如皋市2023年高考适应性考试（二）（2023年4月）数学试卷·4〕若a=（1+tan 20°）＼5（1+tan 21°），b=（1+tan 24°）（1+tan 25°），则下列结论不正确的是（" ）.

A.alt;b

B.ab=4

C.a+bgt;4

D.a2+b2=9

借助两个正切函数所对应的三角关系式加以创设，以代数式大小关系、乘积定值、和式大小关系以及代数式的平方和定值等几个结论来分析与判断，考查的数学知识点众多，涉及正切函数的单调性、三角恒等变换公式、基本不等式等相关知识，综合考查逻辑推理能力与数学运算能力等.

此题难度中等程度，题目简洁明了，借助两个三角关系式之间大小关系的判断与运算来设置对应的选项，试题具有很好的“新颖性”与“综合性”，是不可多得的一道“好题”与创新题.

2 链接教材

认真研究和学习高中数学教材，追根溯源，深挖教材中一些典型的例（习）题的内涵与实质，深入领会对应例（习）题所展示出来的命题意图，就地取材，丰富教学内容，加以全面研究和开发.

习题 （人教版高中数学必修第一册第五章“三角函数”复习参考题5第12题）

（1）证明tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan β＼5tan（α+β）；

（2）求tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°的值；

（3）若α+β=3π4，求（1-tan α）（1-tan β）的值；

（4）求tan 20°+tan 40°+tan 120°tan 20°tan 40°的值.

答案：（1）略； （2）3； （3）2； （4）-3.

在证明三角函数式或求解三角函数值时，借助两角和的正切公式tan（α+β）=tan α+tan β1-tan αtan β或两角差的正切公式tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β等进行变形与应用，从而得以分析与求解，进而可以得到以下对应的一般性结论.

2.1 结论总结，回归一般

结论1：（1）若α+β=3π4，则（1-tan α）（1-tan β）=2；

（2）若α+β=π4，则（1+tan α）（1+tan β）=2.

具体证明过程可以借助两角和的正切公式或上面习题对应的三角关系式tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan βtan（α+β），加以合理展开与应用，这里不多加以叙述，直接作为结论展示出来.

2.2 场景变换，类比拓展

结论2：（三正切公式）在斜三角形ABC中，恒有关系式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C成立.

证明：在斜三角形ABC中，令α=A，β=B，则有A+B=α+β=π-C.

代入上面习题对应的三角关系式tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan βtan（α+β），

得tan A+tan B=tan（A+B）-tan A＼5tan Btan（A+B），则有tan A+tan B=tan（π-C）-tan Atan Btan（π-C）=-tan C+tan Atan Btan C，整理可得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

以上两个结论所对应问题的立意是以教材中对应的习题为基础，并做一定的修改，结合相关结论加以深入挖掘与拓展提升.

3 问题破解

3.1 巧用结论，通性通法

解析：根据正切函数的单调性，可知0lt;tan 20°lt;tan 25°，0lt;tan 21°lt;tan 24°，

则0lt;（1+tan 20°）＼5（1+tan 21°）lt;（1+tan 24°）（1+tan 25°），即alt;b，故选项A正确；

由20°+25°=21°+24°=45°，

利用结论1，可得

（1+tan 20°）（1+tan 25°）=2，

（1+tan 21°）（1+tan 24°）=2，

所以ab=（1+tan 20°）（1+tan 21°）（1+tan 24°）＼5（1+tan 25°）=4，故选项B正确；

由于0lt;alt;b，ab=4，利用基本不等式，可得a+bgt;2ab=4，故选项C正确.

综上分析，由排除法可知，只有选项D不正确.

故选择答案：D.

3.2 回归本质，其他方法

其实，除了以上解题方法，对于选项B的判断，一般的思维方式可以参照以下两种对应的方法来分析与应用.

方法1：由于20°+25°=21°+24°=45°，

而

（1+tan 20°）（1+tan 25°）=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan（20°+25°）＼5（1-tan 20°tan 25°）+tan 20°tan 25°=1+1-tan 20°＼5tan 25°+tan 20°tan 25°=2，

（1+tan 21°）（1+tan 24°）=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°=1+tan（21°+24°）（1-tan 21°tan 24°）+tan 21°tan 24°=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2，

所以，ab=（1+tan 20°）（1+tan 21°）（1+tan 24°）＼5（1+tan 25°）=4，故选项B正确.

方法2：根据b=（1+tan 24°）（1+tan 25°）=[1+tan（45°-21°）][1+tan（45°-20°）]，可得到b=

1+tan 45°-tan 21°1+tan 45°tan 21°1+tan 45°-tan 20°1+tan 45°tan 20°=1+1-tan 21°1+tan 21°1+1-tan 20°1+tan 20°=21+tan 21°·21+tan 20°=4a，

所以ab=4，故选项B正确.

对于选项C的判断，如果不借助基本不等式，也可以采用以下对应的方法来分析与应用.

由于a=（1+tan 20°）（1+tan 21°）=1+tan 20°+tan 21°+tan 20°tan 21°，b=（1+tan 24°）（1+tan 25°）=1+tan 24°+tan 25°+tan 24°tan 25°，

则有

a+b=2+（tan 20°+tan 25°）+（tan 21°+tan 24°）+tan 20°tan 21°+tan 24°tan 25°

=2+tan（20°+25°）＼5（1-tan 20°tan 25°）+

（1-tan 21°tan 24°）

＼5

tan（21°+24°）+

tan 20°tan 21°+tan 24°tan 25°=4-tan 20°tan 25°-tan 21°tan 24°+tan 20°tan 21°+tan 24°tan 25°

=4+tan 25°（tan 24°-tan 20°）-tan 21°（tan 24°-tan 20°）

=4+（tan 24°-tan 20°）＼5（tan 25°-tan 21°）gt;4.

故选项C正确

.

4 变式拓展

4.1 改变视角，拓展题型

变式1 （多选）若a=（1+tan 20°）（1+tan 21°），b=（1+tan 24°）（1+tan 25°），则下列结论正确的是（" ）.

A.alt;b

B.ab=4

C.a+bgt;4

D.a2+b2=9

答案：ABC.

由原来的单项选择题改变视角转化为多项选择题，比较吻合新高考数学试卷中多项选择题的创新题型，只是选项D的判断比较困难，也成为该变式多项选择题的一个变点与创新点.

4.2 妙用结论，创新应用

变式2 在锐角三角形ABC中，已知1tan A+1tan B=tan C2，则tan Atan B=.

解析：根据1tan A+1tan B=tan C2，整理可得tan A+tan Btan Atan B=tan C2，即

tan Atan Btan C=2（tan A+tan B）.

根据三角形的三正切公式tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C，得

2（tan A+tan B）=tan A+tan B+tan C，即tan A+tan B=tan C.

代入三角形的三正切公式有tan Atan Btan C=2tan C，即tan Atan B=2.故填答案：2.

5 教学启示

5.1 深耕教材，落实“四基”

对于历年的高考真题以及对应的高考模拟题，众里寻根千百度，根源却在教材例（习）题处.这就再次提醒我们，课堂教学与复习备考时一定要以教材为根本，深耕教材上的例（习）题，把问题研究透彻，充分落实“四基”，全面提升数学能力.这样即使遇到所谓的新颖题目也能以不变应万变！

5.2 开拓思维，总结规律

借助数学“四基”的落实，合理开拓思维与深入研究，巧妙总结归纳一些相应的规律或结论——“二级结论”或变形公式等，是对教材的再加工、再探究，可以更加有效且快速地解决一些相关的数学问题，从而全面掌握数学基础知识与提升数学基本能力，优化解题过程，提升解题效益，拓展数学思维，培养数学核心素养.