新高考理念下高中立体几何的函数建模探究

【摘要】新课标、新教材、新高考不仅对学习内容，更重要的是在提高综合素养方面作出规定.在高中立体几何部分，除对学生独立思考能力、科学探究能力和团队合作能力等综合素质提出要求，对学生空间想象能力、逻辑思维能力、数学建模能力又提出了更高的要求.针对新高考对空间几何体的表面积、体积以及对空间角和距离的计算能力的要求，教师不仅要加大训练力度，更要注重对学生建模能力的培养，让学生能找到适合自己的解题方法.动态翻折中的函数问题主要以立体几何为背景，这类问题通常以中档题的形式呈现.解决方法是根据动态特征，引入变量，抓住不变规律，建立函数关系.

【关键词】立体几何;动态翻折;数学建模

典型问题

方法点拨在求解以上关于立体几何中的面积或体积的最值问题时，要有意识通过研究关键元素与面积或体积之间的关系，合理选择函数关系，以便实现准确建模.翻折是由平面向空间的一个转化，解决问题的过程中，要保持头脑的灵活，条理清楚.明确翻折前后的图形既有区别，又存在一定的联系.确定好哪些量变了，哪些没变.要善于“动中取静”，抓住不变量，这些不变的量往往能够起到“纽带”的关键作用.

方法点拨在求解以上问题时，要从已知条件中所给的情境出发，分析关键信息与所求问题的关联性，分析运动中的关键时刻，以便准确判断取得最值时的动点位置；也可以考虑利用空间向量，或者建立空间直角坐标系，把与几何相关的最值问题等价转化成与函数相关的最值问题来求解.

方法总结

（1）图形的翻折问题，是比较常见的一类题目.这类问题的解决，需要经历从平面到空间的转化，分析图形的运动轨迹，并勾勒出最终的图案.翻折的过程中，有的量变了，有的量并不发生变化.在解题过程中，往往可以将研究的重点放在不变的量上，这些量往往是解决问题的关键所在.它就像一根纽带，使反转前后的两个图形不再孤立，将它们紧密联系在一起，所以这些不变量或许暗示着解题的突破口.

（2）与翻折有关的最值问题是常考题型，通常考查包括长度、面积、体积的最值和范围，多数情况下，会以常见的几何体为研究载体，利用元素之间在变化过程中变与不变的位置和数量关系来解决，经常用以下三种方法来作为解决问题的切入点：

①等价转化，把三维的立体几何问题通过等价降维处理，最终利用平面图形来研究；

②函数建模，把翻折所产生的核心元素设为变量，建立目标问题与变量之间的函数关系，把最值或范围问题转化为研究函数问题来解决；

③综合探究，合理运用数形结合与函数建模，分层次、有次序地将所求问题不断等价转化，以便更加高效解决.

参考文献：

[1]尉根强.平面与空间的转化，变与不变的升华——立体几何翻折问题探究[J].科教文汇（下旬刊），2014（12）：150-151.

[2]焦随心.三角函数在翻折型立体几何小题中的应用[J].中学生理科应试，2021（11）：3-5.