小学数学“数学广角”中的数学思想的渗透策略探究

【摘要】“数学广角”依托学生熟悉且富有趣味的场景引出数学问题，意在渗透数学思想，指导学生在发现、分析、解决问题的过程中感悟数学思想的内涵，提升学生数学水平.文章说明了小学数学教学中数学思想的渗透要点，介绍了小学数学“数学广角”的数学思想，以人教版五年级数学上册“植树问题”为例，指出通过汇总资源、制订目标、组织活动、引导反思等方式渗透数学思想的策略，旨在为优化教学课堂，促进学生综合发展提供参考.

【关键词】小学数学；数学广角；数学思想；渗透

数学思想是对数学现象、规律与理论的本质认识，具有统率性与普适性，对于指导学生理解数学问题本质，掌握解决数学问题的通性通法有着积极意义.小学数学“数学广角”内蕴藏丰富的数学思想，如化归思想、对应思想、模型思想等.挖掘“数学广角”中数学思想教学素材，并以恰当方法组织教学活动，是指导学生感悟数学思想，提高思维水平的不二法门.以人教版五年级数学上册“植树问题”为例，综合分析课程涉及的数学思想，并以恰当形式进行数学思想的渗透与应用教学，可加速学生数学思维的发展，进一步提高学生的数学理解、应用水平.

一、小学数学教学中数学思想的渗透要点

数学思想是对数学事实、解题规律的本质概括，是数学思维活动的产物.小学数学“数学广角”教学中渗透数学思想，要以学生认知发展规律为根本，注重教学实效性.一方面，数学思想的渗透教学要回归生活.以现实生活中的素材为依托创设情境，让学生认识到数学知识在现实生活中的应用价值，进而强化学生的自主学习意愿，激发学生的数学思想应用意识.另一方面，数学思想的渗透教学要体现层次.教师应当先呈现简单示例，消除学生的数学思想学习畏难心理，之后逐渐提出难度更高的数学问题，驱动学生探索数学问题中蕴藏的数学思想，引领学生的逐级提高.

二、小学数学“数学广角”中的数学思想

（一）化归思想

化归思想是将数学问题由难化简、由抽象化直观、由陌生化熟悉的一种思想，是基于数学问题本质关联而产生的.当学生面对复杂问题，或仅凭当下所掌握的知识难以解答的问题时，可运用化归思想对问题进行转化，使其变成结构更加简单、内容更加明了的数学问题，继而解决问题.化归思想在小学数学“数学广角”中广泛体现，如：运用化归思想化繁为简，解决“鸡兔同笼”问题；运用化归思想化一般为特殊问题，解决“找次品”问题、“优化”问题等.

（二）对应思想

对应思想是将两个集合因素进行对应联系的一种思想，一般用于对应直观的图表，并以此分析事物数量关系，确定问题解决的突破口.小学数学“数学广角”中，对应思想一般用于对比事物的“多”与“少”的关系，确定数对与平面上的点的一一对应关系等.以“植树问题”为例，明确一端栽树一端不栽、两端都栽树、两端都不栽三种情况后，学生需要分析间隔（段）与树（点）两者之间存在的一一对应关系，根据所谓的“加一”、“减一”等法则对具体公式作出适当变化，实现对“植树问题”的灵活解答.

（三）模型思想

模型思想是基于特定目的，应用数学符号、公式对数学问题的主要特征进行抽象表达的一种数学思想，一般体现在等式、方程、图表模型的建立.人教版四年级下册“数学广角———鸡兔同笼”、五年级下册“数学广角———植树问题”、六年级下册“数学广角———鸽巢问题”等均涉及模型思想.以“植树问题”为例，根据植树路段的全长、间隔数（段数）、棵树三种数量之间的关系，可得到“植树问题”的解题模型，如：直线种树两端都种，解题模型为“棵树=全长÷间隔数+1”；直线种树两端都不种，解题模型为“棵树=全长÷间隔数-1”.

（四）数形结合思想

数形结合思想是通过转化“数”与“形”达到解题目的的一种数学思想，包括“以形助数”及“以数解形”.数形结合思想的重点在于将抽象的代数问题转化为直观的几何图像简化问题，为直观的几何图形赋值找到几何问题的解题突破口.小学数学“数学广角”中，数形结合思想得到广泛应用，如：人教版四年级下册“数学广角———鸡兔同笼”、五年级下册“数学广角———植树问题”、六年级上册“数学广角———数与形”等.以“植树问题”为例，学生可应用“_”代表间隔段，“|”代表树，画一个“|”代表种植了一棵树等，通过绘图得到具体的植树数量.

三、小学数学“数学广角”教学中数学思想的渗透策略

（一）研读教材汇总资源，奠定思想渗透基础

深入研读教材并汇总教学资源，是有效开展小学数学“数学广角”教学的前提.在“数学广角”教学中渗透数学思想，需要教师先分析教材中蕴藏的数学思想教学内容，同时结合数学思想的渗透教学需要添加教材外的教学素材，由此丰富教学资源，确保学生能够在课上充分了解、探究数学思想.在此过程中，教师要做到审题严格、仔细分析，按照由浅入深的顺序巧妙安排教学素材，为学生初步了解、深入探究、迁移运用提供资源支持.

以人教版五年级数学上册“植树问题”为例.教材中的案例1，2，3直接呈现了对应思想、数形结合思想与化归思想，而案例及习题等教学内容蕴藏模型思想.分析教材，教师可以保留教材已有的关于数学思想的教学内容，同时添加更多有益于学生理解、探究的学习内容.如，教师可以整合对应思想、数形结合思想等数学思想的概念，并将其以文字的形式呈现给学生，使学生能在阅读时形成大致认识；又如，教师可以整理应用对应思想、数形结合思想等思想解决“植树问题”的典型例题，为学生掌握数学思想的应用步骤、学会灵活应用数学思想提供参考.整合资源后，教师可根据学生认知发展特征，先呈现概念性资源，后呈现案例性资源，引导学生循序渐进地提升.

（二）分析学情制订目标，确定思想渗透方向

教学目标对于课程教学活动具有指导意义.在小学数学“数学广角”中渗透数学思想，需要教师提前预设教学目标，并以此为基准设计、组织教学活动，引导学生按照预想逐渐了解、掌握数学思想.教学中，教师可以通过师生讨论、习题检验等方式获取学生的反馈信息，明确学生对数学思想的认识与应用情况.之后，教师可以结合“数学广角”的数学思想渗透要求设置教学目标，为后续的教学工作指明确切方向.

以人教版五年级数学上册“植树问题”为例.根据课前师生对话及阶段性测评结果，可以明确，五年级学生掌握了基本的数学运算法则，对“数”与“形”有了基本认识，能从不同角度出发探究数学问题.指导学生理解对应思想、数形结合思想等数学思想的应用意义及应用技巧，是“植树问题”教学中思想渗透的重点.由此，教师可以设置教学目标，为思想渗透指明确切方向，如：让学生了解“植树问题”中蕴藏的数学思想，体会具体数学思想的内涵，并学会灵活应用数学思想绘图、列式、描点解决“植树问题”.这样，通过综合分析明确数学思想渗透教学目标，为后续教学工作的合理展开指明方向.

（三）活用教法组织活动，提高思想渗透效果

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）建议教师应用启发式、探究式等教学方法优化教学课堂，促进学生综合发展.在小学数学“数学广角”教学中，教师可根据《新课标》的相关要求灵活应用教学方法，组织多样化的教学活动，为学生提供更多数学观察、思考、分析的学习机会，为其深度理解数学思想提供学习平台.

1.视频教学呈现案例，强化思想认识

视频教学是指应用微课、FLASH动画视频展示数学现象，并引入数学教学主题的一种教学方法.在小学数学“数学广角”渗透数学思想时，应用视频教学法可加深学生的直观认识，使其快速进入数学思想的学习状态.教学中，教师可基于数学思想的渗透要求播放FLASH动画，以动画演绎的形式直观呈现数学思想的应用案例，使学生在观看动画的过程中直观认识数学思想的用途用法，为其探究数学思想内涵奠定兴趣基础.

以人教版五年级数学上册“植树问题”为例.渗透对应思想、数形结合思想时，教师可应用FLASH动画呈现案例，引发学生直观认识，如：

例：公园要在甬路一侧栽树，两端都栽.已知甬路18米，两棵树之间的距离是3米，一共要栽多少棵树？

解：画图，对应图中的点与间隔，得到答案.其中，“|”代表树，“_”代表间隔距离

18÷3=6（棵）.

答：一共要栽6棵树.

这样，借助确切案例展示将抽象的代数问题转化为几何图形问题、应用对应思想一一对应计算答案的解题过程，使学生直观认识数形转化思想、对应思想在“植树问题”中的用途用法，从而加深学生认识.

2.问题教学驱动讨论，提高思想认知

只有让学生充分参与到问题探究过程当中，才能真正提高学生的认知水平，促进其对教学内容的内化与吸收.小学数学“数学广角”教学中，教师应当围绕数学思想的渗透教学重点、难点设置具体问题，由问题驱动学生与教师、与其他学生互动讨论，使其在提出猜想、推理论证的过程中发现数学思想的本质内涵.因此，教师可通过板书或口头提问组织讨论活动，要求学生在讨论过程中从不同角度出发探究问题的解决方式，为其探索数学思想提供更多路径.

以人教版五年级数学上册“植树问题”为例.渗透数学思想时，教师可以提出问题，如：人民大街计划更换路灯，已知每个路灯相隔20米，更换路段全长500米，如果两端路灯都更换、一端更换一端不更换、两端都不更换，分别需要多少路灯？围绕问题组织学生合作讨论，驱动学生尝试画图法、列表对应法、列式计算法等多种方法解决问题，使学生在深入探究“植树问题”的过程中加深对数学思想的认识，同时总结解题模型，如：“一端栽树另一端不栽，棵树=路段全长÷间隔距离”；“两端都不栽，棵树=路段全长÷间隔距离-1”；“两端都栽树，棵树=路段全长÷间隔距离+1”.这样，通过组织讨论驱动学生充分投入问题探究，使其在提出观点、列式计算等过程中感悟“植树问题”的本质，并概括解题原理与方法，充分理解数形转化思想、对应思想、模型思想内涵.

3.项目教学组织应用，促进思想应用

项目教学法是以真实项目为媒介，通过组织学生合作收集资料、分析问题、制订方案并解决问题丰富学生的应用经历，使其感悟学科知识的应用原理与技巧.小学数学“数学广角”教学中，教师可在讲解理论知识、说明思想方法后组织项目教学活动，通过引入真实的应用项目驱动学生建立数学学科与现实问题的关联，增强学生的应用意识，为其灵活应用数学思想解决现实问题奠定基础.

以人教版五年级数学上册“植树问题”为例.生活中的许多问题均可用“植树问题”的解题模型解决.为此，教师可设计真实项目，驱动学生应用分析，如：李叔叔把一根铁管截成5段需要14分钟.现有另一根等长铁管，领导要求李叔叔将这根铁管截成8段，请你帮李叔叔确定他需要预留多长时间锯铁管.由此真实项目驱动学生应用分析，如：我们可以分析“锯钢管”与“植树问题”的本质关系，应用转化的思想将“锯钢管”的问题转化为“植树问题”，求李叔叔需要锯几下、每锯一下需要用多长时间；求李叔叔“锯几下”的问题时，可以应用数形结合思想，通过绘图确定锯铁管的次数.这样，通过项目教学为学生提供数学思想的应用机会，确保学生在参与项目的过程中掌握数学思想的用途用法.

（四）贯穿评价引导反思，巩固思想渗透成效

《新课标》强调小学数学教学发挥教学评价的检验、反馈作用，指导学生根据教学评价反思不足、矫正问题.教师在小学数学“数学广角”中渗透数学思想时，应时刻关注学生的行为举止，根据其表现指出学生在理解、应用数学思想时的学习问题，帮助学生自我反思.同时，教师还可通过评价为学生提出学习建议，指导学生解决数学思想学习时的疑难问题，进一步巩固数学思想渗透教学成效.

以人教版五年级数学上册“植树问题”为例.教师可预先设置评价标准，为数学思想渗透教学提供评价参考，如：学生是否有兴趣参与“植树问题”的探究；学生是否能认识到画图、数数、抽象计算公式内蕴藏的数形结合思想、对应思想与模型思想；学生是否能有意识地应用相应的数学思想解决“植树问题”；学生是否能认识到生活中更换路灯、栽花、走台阶、挂钟敲钟等问题都可转化为“植树问题”.之后，教师基于评价标准观察学生分析、解决“植树问题”，感悟数学思想的学习行为，并落实评价，以便学生及时发现自身学习不足，为学生自我提高提供参考.

结 语

综上所述，小学数学“数学广角”中的数学思想丰富，对于学生理解“数”与“形”之间、数学问题之间的转化关系，学会用对应、建模的思想方法解决问题有着积极意义.在小学数学“数学广角”教学中渗透数学思想，需要教师提前分析教学内容，设置教学目标，并结合教学需要组织多样化的教学活动，确保学生能够在观察、思考、讨论的过程中感悟数学思想，能够在评价反馈的帮助下掌握数学思想的应用策略，进而提高学生的综合能力.具体教学中，教师要注意教学内容、方式回归生活，训练难度逐级递增，确保学生能够主动地参与数学思想的学习与应用当中，进而提高教学效果.

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