学科育人背景下提升学生数学“四能”的实践研究

在全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，荣获全国一等奖的“浙教版数学九年级上册《3.4圆周角（1）》”一课，赢得了评委们的阵阵掌声.作为一起参赛且同样获一等奖的我有幸观摩了该课.该课不但能为学生进一步研究圆的性质奠定基础，而且圆周角概念的形成和定理的证明，能使学生领悟分类、归纳等思想方法，对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括等思维能力有帮助，同时对培养学生运动变化等辩证唯物主义观点和形成良好的个性品质也有作用.现撷取几个片段与大家共赏.

1 创设情境——以学习兴趣为切入点

情境1：在一个圆形喷水池的中心安装彩色的投射灯，每盏投射灯的投射角度为30°，安装效果如图1所示，问至少要安装几盏这样的投射灯，可以同时照亮整个水面？

生：360÷30=12（盏）.

点评：由学生熟悉的生活实际问题引入，回顾圆心角的概念以及圆心角与所对弧的关系.既利用学生已有的知识解决了生活中的问题，又提高了学生学习的兴趣，帮助学生摆脱了枯燥单调的知识回顾，并在无形之中渗透了重要的数学基本思想——数学抽象.

情境2：设计师发现，将投射灯移至水池周围，如图2所示，则所需盏数将有所减少，从节约材料与能源的角度来看，你知道至少需要几盏灯才能照亮整个水面吗？

众生：1个、2个、3个、4个、5个、6个……

师：这么多答案，到底哪个同学说的是正确的呢？通过今天的学习相信同学们能顺利地解决这个问题.

点评：根据初中生的年龄特征，依靠生活背景，引发学生注意，使学生产生好奇心，激发学习的兴趣.通过情境中问题的变化，提出了用学生已有知识无法解决的问题，产生了认知上的冲突，为引出新知识埋下伏笔，使学生对新知识的探究产生兴趣.

2 定义辨析——以自主学习为探究点

师：图1和图2中∠AOB和∠DCE有什么联系和区别？

生：联系是∠AOB，∠DCE都等于30°；两边都与圆相交；……

区别是∠AOB为圆心角，角的顶点在圆心上，两边与圆相交;∠DCE的顶点在圆周上，两边也与圆相交.

师：正确，像∠DCE这类顶点在圆周上，两边也与圆相交的角叫圆周角.请同学们总结下圆周角具备的条件.

点评：“学生原有的知识和经验是教学活动的起点”，通过两个基本图形的对比，类比圆心角的定义，师生共同归纳出圆周角的概念，为圆周角定理的学习奠定基础.概念教学设置了辨析巩固，从正反两个方面加深学生对圆周角特征的理解，为及时引出定理证明做好铺垫.同时培养学生将实际生活中的问题抽象为数学问题的能力，使学生体会到数学来源于生活.

师：（1）图3中各角是不是圆周角？为什么？

（2）说出图4中有哪些圆周角？

点评：让学生动手实践，通过探究、讨论、交流得到圆周角有各种各样的图案.通过学生口答的方式进行相互评价，实现课堂评价的多元化，重视学生的课堂参与.让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理地进行思考和表达，从而提高分析问题和解决问题的能力.

3 合作探究——以思维能力为关键点

针对情境2的问题，让学生进行合作探究.

学生经过利用圆规画图、猜想、实验，在教师的启发和点拨下，再共同讨论，最后得出“∠C所对的弧是60°弧”.

师：能否通过已有知识，求出弧DE的度数为60°呢？

生：在图2中连接OD，OE，连接CO并延长交⊙O于点F，将圆心角和圆周角通过等腰三角形和三角形的外角得到“当∠DCE=30°时，∠DOE=60°”，从而得到弧DE的度数为60°.

点评：通过情境引入对圆周角与圆心角的关系进行了具体分析，由此学生可以做出“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”的猜想.在30°和60°的特殊情况下，学生确立了证明的思考方向，形成定理猜想，定理在表述时包含各种同时成立的情况.分情况进行证明是说理过程完整性的一个体现.苏霍姆林斯基说过，应该让我们的学生在每一节课上都感到热烈的、沸腾的、多姿多彩的精神生活.通过求弧DE的度数这一活动，学生能够真正“动”起来、“活”起来，使学习热情高涨，并通过小组讨论交流得出两种不同的图形，体会分类讨论的数学思想.

师：工人师傅在安装的过程中进行了多种尝试，图5中的方案你认为弧DE的度数一样吗？

首先通过观察，学生根据圆的对称性和旋转不变形，得到图②与图④是一样的、图③和图⑤是一样的，图5中的图①可根据图2的方法得出弧DE的度数为60°.下面讨论图②和图③中的弧DE的度数.对于弧DE的度数需要分三种情况进行讨论，这三种情况的区别在哪里，学生进行分析，三种情况是按照圆周角和圆心的位置关系进行分类的，渗透了数学的分类讨论思想.

在图①的求解过程中，学生已经形成了已有的解决问题的方法，通过小组讨论能够成功地解决图②中弧DE的度数问题，图③中弧DE的度数需要学生合作探究以及教师适当点拨分析才能解决.

完成了三种情形下的计算分析，当∠DCE=30°时，∠DOE=60°，学生形成了初步的猜想，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半（结合图形即∠DOE=2∠DCE）.此时，教师借助几何画板课件改变点C的位置对学生的猜想加以验证，并提出刚才分类的情况是否全面，是按照什么标准进行分类的，在改变点C的过程中验证了分类的完整性与合理性，接下来就是从特殊到一般的知识提升过程.

点评：在图5中图①证明解决的前提下提出问题的分类，让学生了解由于点C的位置不同，使圆周角与圆心的位置发生变化，因此分成三种不同的情况进行论证.在30°和60°的特殊情况下，学生确立了证明的思考方向，形成定理猜想，定理在表述时包含各种同时成立的情况.分情况进行证明是说理过程完整性的一个体现.

在数学证明中出现分类讨论，学生会难以理解，甚至课后好长一段时间都不知道为什么要分类证明.圆周角定理区别于圆心角定理的证明，主要是分类讨论.关键在于同弧的情况下，圆心角的顶点是确定的，而圆周角的顶点是不确定的，类似于点与圆的位置关系，随着圆周角顶点的运动，就自然形成了圆心与圆周角之间的三种位置关系.明确了这一点，也就不难理解在证明圆周角定理时为什么要分类了.

师：在30°的特殊情况下我们证明了∠DCE=2∠DOE，那么在其他角度的情况下，是否也存在同弧DE所对的圆周角等于圆心角的一半？

学生在30°，60°特殊计算的基础上，基本能够完成证明，得出猜想的正确性.回归到一般问题的证明上来，同样也分三种情况（如图6）讨论证明.

教师板书“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”.

点评：在特殊情况的基础上，再分三种情况进行一般条件下的数学证明是非常必要的，可以让学生感受到数学证明说理过程不能用特殊代替，说理过程是一个一般情况下完整的严密的数学思维过程.学生在这个过程中会真正体会圆周角定理，突出“以学生的数学活动”为主线，激发学生学习的积极性.以喷水池为背景，向学生提供充分从事数学活动的机会，体现以教师为主导，以学生为主体，以知识为主线，以育人为主旨的教学原则.基于圆周角定理证明中的分类标准较难领会，本节课主要采用引导发现与合作探究的教学法，由质优生领跑，带动全班同学一起前进，再结合多媒体直观演示，启发式设疑诱导为辅的教学方法，引导学生积极思考、勇于探索，使学生达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用.

4 学以致用——以学习信心为结合点

师：由刚才的讨论我们得到了重要的结论——同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.为了加深对这个结论的理解，请先完成下面的练习.

（1）已知一条弧所对的圆周角是50°，则这条弧所对的圆心角是[CD#3]度；

（2）已知一条弧的度数为40°，这条弧所对的圆心角和圆周角分别为[CD#3]，[CD#3].

（3）n°弧所对的圆心角是[CD#3]度，所对的圆周角是[CD#3]度.

（4）半圆所对的圆周角是[CD#3]度，90°的圆周角所对的弦是[CD#3].

学生根据上述结论，都能轻松完成相应练习.

师：对于第（4）题的特殊情况，提出作为圆周角定理的推论.

应用 请你用直角曲尺检查半圆形的工件，图7中哪个是合格的？请说明理由.

生：因为同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，90°圆周角所对的弦是直径.如果工件的凹面所对的弦是直径，那么这个工件就是半圆形的，反之则不是.因此图7中间的工件合格.

点评：通过这几道题目来检测学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础.学生刚刚接触到新的知识需要一个消化过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程.无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标.通过练习及时巩固反馈，有助于学生加深对圆周角定理的理解与应用，再将弧与角度特殊化，自然得出推论，工件的检查也体现了圆周角定理在生活中的应用.教师在学生理解圆周角定义、定理的前提下，引导学生对定理的语言进行正确表述后马上解决实际问题，培养成功感，进一步巩固所学知识，培养学生独立思考、解决问题的能力，同时使学生体会到数学知识服务于生活.

5 范例教学——以学习能力为设计点

例题 如图8，在喷水池的圆周A，B，C，D处安装了四盏投射灯，其投射范围刚好照亮整个水面（四边形ABCD四个顶点在⊙O上）.

求证：∠A+∠C=180°.

师：大家能否运用今天所学习的知识证明呢？

生：设圆心为O，连接OB，OD，圆被分成了优弧BAD和劣弧BCD，其中劣弧BCD所对的圆心角∠BOD=2∠A，优弧BAD所对的圆心角等于2∠C，所以∠A+∠C=180°.

师：通过今天的学习，老师相信同学们一定能解决课堂一开始提出的情境2中的问题——你知道至少需要几盏灯才能照亮整个水面吗？

点评：知识的应用过程是检验学生学习成果的过程，在例题中加入了一个喷水池作为背景，目的只是为了本节课的设计更加具有整体感，让学生的学习存在延续性，加深学生对生活中数学的感受，体现数学来源于生活.

苏联著名教育学家苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.”我们知道，现在初中学生自我意识很强，这种需要表现尤为强烈.因此，本节课教师着力构建一节思维活动的数学课堂，重点放在创造良好的问题情境，唤醒学生的主体意识，激发学生强烈的探究欲望，通过师生之间、生生之间的有效互动，追溯知识的内在联系，渗透数学思想方法，发展学生的数学思维.在此过程中，教师的作用就是更好地组织、引导、激励学生进行自主探究学习.在教学手段上，采用了多媒体辅助教学，将静态知识以动态的形式生成，既吸引了学生的注意力，又加深了学生对知识的理解；在教学方式上，采用了以问题引导思维的方式，很好地培养了学生自己发现问题、提出问题、探究问题并解决问题的能力.数学教师如果都能把培养学生思考、分析、解决问题的能力作为教学的出发点和归宿，那么课堂一定将预设缤纷，生成精彩，收获累累硕果.