一道高考椭圆试题的多视角解答

摘" 要：文章利用余弦定理、焦点三角形面积公式、中线长定理、极化恒等式、等面积法、椭圆参数方程等不同方法对2023年高考全国甲卷第12题进行分析，促进学生掌握基础知识、基本技能.

关键词：圆锥曲线；焦点三角形；一题多解

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0002-04

收稿日期：2024-05-05

作者简介：杜海洋（1976.9—），男，四川省仪陇人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：成都市教育科研一般课题“高中数学单元主体教学实践研究”（项目编号：CY2021Y063）.

2023年高考全国甲卷第12题是一道解析几何试题，此题与三角形结合属于典型的“形形组合”.由于涉及知识交汇，此题题干虽短，但考查灵活，解答入口宽，是一道考查学生掌握基础知识、基本技能的好题.

1" 真题呈现

题目" （2023年全国甲卷第12题）已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=（" ）.

A．25" B．302" C．35" D．352

2" 试题分析

本题以椭圆为载体，着力焦点三角形中的线段，即可通过椭圆的定义及性质将问题转化化归到三角形问题进行突破.由于涉及椭圆上的点和三角形中线，

而且焦点三角形中又属于典型的“爪子”型，对于这类题型切入口众多，作为一道选择题，本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决［1］.

3" 试题解答

解法1" 利用余弦定理+向量.

因为椭圆方程为x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，

所以c=3.

设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨mgt;n，可得

m+n=6.

又因为cos∠F1PF2=35，

所以4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2.

即12=m2+n2-65mn.

则mn=152.

即m2+n2=21.

因为PO=12（PF1+PF2），

所以|PO|2=14（PF12+PF22+2PF1·PF2）

=14（m2+n2+2mncos∠F1PF2）

=14（m2+n2+65mn）

=14（21+65×152）

=152．

解得|PO|=302．

故选B．

点评" 利用椭圆的定义以及余弦定理求出

|PF1|·|PF2|，|PF1|2+|PF2|2，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出.

解法2" 利用焦点三角形面积公式.

设∠F1PF2=2θ，0lt;θlt;π2，

所以S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tanθ.

由cos∠F1PF2=cos2θ

=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ

=1-tan2θ1+tan2θ=35，

解得tanθ=12.

由椭圆方程可知

a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3.

所以S△PF1F2=12×|F1F2|×|yp|

=12×23×|yp|

=6×12，

解得y2p=3.

即x2p=9×（1-36）=92.

因此|OP|=x2p+y2p=3+92=302．

故选B.

点评" 本法通过找点的坐标求长度，利用等面积关系， 根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积，即可得到点P的坐标，从而得出|OP|的值；椭圆焦点三角形面积公式S△PF1F2=b2tan∠F1PF22与双曲线的焦点三角形面积公式S△PF1F2=b2tan（∠F1PF2/2）结构表达形式相近，容易记住.

解法3" 利用中线长定理.

上同解法1可知m2+n2=21.

由中线定理可知

（2|OP|）2+|F1F2|2=2（|PF1|2+|PF2|2）=42.

易知|F1F2|=23.

解得|OP|=302．

故选B．

点评" 中线长定理其实来源于新教材《数学》必修第二册39页例2：已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？并再次出现在53页习题15题：△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为ma，mb，mc，利用余弦定理证明ma=122（b2+c2）-a2，mb=122（a2+c2）-b2，mc=122（a2+b2）-c2（请读者自行翻阅教材）.进一步说明平时对课本例习题进行多维度探究的必要性［2］.

解法4" 利用极化恒等式.

设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨mgt;n，易得

m+n=6.

由PF1·PF2=PO2-OF22=mncos∠F1PF2，

则PO2=3+3mn5.

因为在△F1PF中，

（2c）2=4×3=m2+n2-2mn×35=36-165mn，

所以mn=152.

即PO2=3+3mn5=152.

所以|OP|=302．

故选B．

点评" 极化恒等式来源于人教A版必修第二册第22页练习第3题，求证：（a+b）2-（a-b）2=4a·b.由极化恒等式a·b=14［（a+b）2-（a-b）2］的表达式可以探得：利用向量的极化恒等式可以快速对共起点（终点）的两向量的数量积问题进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

解法5" 利用等面积法.

上同解法1，设P（x，y），由cos∠F1PF2=35，则

sin∠F1PF2=45.

由4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2，

即12=m2+n2-65mn.

可得mn=152.

所以12×2c×|y|=12mnsin∠F1PF2.

即|y|=3.

所以x2=92.

即|PO|=x2+y2=302．

故选B．

点评" 此法与解法2思路相同，通过求点坐标进行求解长度，其解答面积表达式的路径不一样.

解法6" 利用椭圆的参数方程.

上同解法1，令P（3cosθ，6sinθ），则

m2+n2=21.

则

（3cosθ-3）2+（6sinθ）2+（3cosθ+3）2+（6sinθ）2=21.

即cos2θ=12.

所以sin2θ=12.

即|PO|=9cos2θ+6sin2θ=302.

点评" 椭圆的参数方程本质上具有消元策略（含有一个未知数），尤其当椭圆涉及一些最值（值域）问题时，利用参数方程借助三角函数的有界性可以求得解答.

解法7" 利用焦半径公式.

上同解法1，令P（x，y），由c=3，m+n=6，

所以a=3，e=33.

由焦半径公式，得

m=3+33x，n=3-33x.

则mn=152.

所以（3+33x）×（3-33x）=152.

解得x2=92，则y2=3.

所以|PO|=x2+y2=302．

故选B．

点评" 椭圆的焦半径作用是将“形”化“数”，即可以快速将线段长度用点的坐标表示，焦半径公式来源于椭圆的第二定义.

解法8" 利用两次余弦定理.

由解法1可得m+n=6，mn=152.

则可得m=6+62，n=6-62.

所以在△PF1O与△F1PF2中，

cos∠PF1O=m2+（23）2-n22m×23

=m2+（3）2-PO22m×3，

即|OP|=302．

故选B．

点评"" 利用两次余弦定理或一次余弦定理和正弦定理是解决这类三角形的通性通法，即所谓的同角余弦的两种表达形式.

解法9" 利用斯特瓦尔特（Stewart）定理.

斯特瓦尔特（Stewart）定理" 如图1，设点D为△ABC边BC上的一点，则AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD.

图1" 斯特瓦尔特定理图

由解法1可知：c=3，m2+n2=21.

利用此定理可得

m2×3+n2×3-|PO|2×23=23×3×3.

即|PO|2=152.

所以|OP|=302．

故选B．

点评"" 此法巧妙借用了斯特瓦尔特（Stewart）定理（此定理的推导本质利用互补两角的余弦和再结合余弦定理），不仅步骤简单，计算量也小，极大提高了解题效率，也希望同学们在平时解题中多积累相关的二级结论并加以运用.当然涉及利用斯特瓦尔特（Stewart）定理的试题屡见不鲜，限于篇幅，就不一一赘述，希望读者自行查找相关试题资料.

4" 结束语

本题虽以椭圆为载体，但最终转化为解三角形，由于在椭圆的情形下，所以本题在探究中把与椭圆常见的一些解题“技巧”如焦点三角形面积公式、焦半径公式、参数方程进行灵活运用；试题涉及“爪子”型三角形，所以将常见的极化恒等式、中线长公式等进行合理运用.解这类三角形常见的三大策略：

（1）利用面积相等建立等式，如解法2、5；

（2）利用同角余弦的不同表达建立等式，如解法8；

（3）利用互补角的余弦建立等式，如解法9公式的推导.

以上三种策略均为通性通法，当然平面向量与三角形紧密结合，合理选择利用向量可以优化解决与之相关的一些问题.2023年高考涉及此类试题较多，由于篇幅有限，希望读者自行收集解答.

参考文献：

［1］

杜海洋．不同视角破解一道高考“爪子模型”试题［J］．高中数理化，2023（15）：25-27.

［2］ 杜海洋．围绕“平分”解法溯源：对一道含角平分线试题多视角解析［J］．数理化解题研究，2023（28）：81-83.

［责任编辑：李" 璟］