积累策略 合理转化 推理分析

1 试题呈现

（2022年武汉市中考第23题）

问题提出：如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究AFAB的值．

问题探究：（1）先将问题特殊化．如图2，当∠BAC＝60°时，直接写出AFAB的值.

（2）再探究一般情形．如图1，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC＝1n（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出AFAB的值（用含n的式子表示）．

2 解题探究

本题问题探究的第（1）问可以使用特殊三角形进行计算，比较容易，问题拓展在问题探究第（2）问的基础上即可完成，不做探究.下面主要针对问题探究中的第（2）问展开探究.

2.1 分析条件，调动积累

本题中有两个等腰三角形，自然联想到使用等腰三角形“等边对等角”和“顶角的角平分线与底边中线、高线三线合一”的性质，比如，分别过点A或点D作底边的垂线.同时给推导角的关系一定的启示，由AB＝AC，DE＝DB，得∠ABC＝∠BCA，∠DBC＝∠E，再根据∠ABD＝∠ABC-∠DBC，∠EDC＝∠ACB-∠E，可得∠ABD＝∠EDC（结论①）.

另一个重要条件是“D是AC的中点”.中点的应用十分丰富，直接体现是AD=DC，进一步调动积累的解题经验，会联想到多种处理办法.例如中线倍长，取中点构造中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中线平分面积，等腰三角形底边上的中线是底边上的高线也是顶角的角平分线，等等.

2.2 转化结论，寻找策略

第（2）问是计算线段的比值，一般解决办法是求出线段的具体长度，或者间接寻找线段与线段之间的数量关系.本题由于没有线段长度的条件，所以应考虑后者.求AF∶AB也就是求AF∶BF或BF∶AB，即F是线段AB的几等分点，于是会联想到作平行线构造相似得对应线段的比的做法.例如，过点A作BC的平行线与EF的延长线相交的方法.再结合第（1）问特殊情况下的结论，可以猜想F仍是线段AB的四等分点.通过将目标问题逐步转化为更明了的待证结论，解题思路也就逐渐“浮出水面”.

2.3 推而理之，分而析之

在充分调动积累的解题策略、分析已知条件和转化问题结论的基础上，进行逻辑推理，解题思路渐渐清晰，可以有多种尝试，得到了不少于以下介绍的9种方法.这种前后联系、推理分析的能力是对学生逻辑推理素养的考查.

方法1：由结论①，可得到△ADF∽△ABD，所以AFAD=ADAB.又D是AC中点，所以可得AF=12AD=14AC=14AB，则AFAB=14.

此方法不需要添加任何辅助线，通过角的关系就能发现相似三角形，从而找到AF与AD的数量关系，问题迎刃而解.这种解法体现出，条件的透彻分析和解读对解题有很好的启示作用.

方法1的两种等价证法：如图4，过点C作CM∥AB交EF于点M，可证△ADF≌△CDM，△CDM∽△ABD，所以AF=CM=12AD=14AB.

如图5，过点E作EN∥AB交AC的延长线于点N，可证△ADB≌△NED，可得DN=AB=AC，所以AD=DC=CN=EN=12AB.又因为△AFD∽△NED，所以AF=12EN=14AB.

这两种证法相对方法1需要多证一次全等三角形来转化线段，第二种方法在推导边的关系时稍微复杂点，但本质还是证明△ADF∽△ABD作为破题的关键点，所以倘若没有直接想到解法1，可以在反思中优化解法.

方法2：如图6，取BC中点H，连接DH，则可证得DH∥AB，△DBH≌△DEC，则EC=HC=BH，AB=2DH.根据△EDH∽△EFB，可得FBDH=EBEH=32，易得AF=14AB.

此证法过点D作DH∥AB交BC于点H，可类似证出.

方法3：如图7，过点D作DH∥BC交BA于点H，可证△BDH≌△DEC，△ADH∽△ACB，则BC=2DH=2EC.由于可证△BCD∽△EBF，因此FBDC=EBBC=32，BF=32CD=34AB，易得AFAB=14.

此证法取BA中点H，连DH，亦可证出.

方法4：如图8，过点A作AP∥BC交EF延长线于点P，过点D作DH∥BC交BA于点H，可以证得△APD≌△CEB，△BDH≌△DED，于是AP=EC=DH=12BC，再由△APF∽△BEF，易得FAFB=APBE=13，即AFAB=14.

方法5：如图9，过点A作PH∥BC交EF的延长线于点P，交BD的延长线于点H，可证△APD≌△CED，△ADH≌△CDB，则AP=EC，BC=AH.由结论①可证△ABH∽△CDE，则CEAH=CDAB=12，于是AP=12BC，AP=13BE.所以FAFB=APBE=13，即AFAB=14.

解法2～5构造的全等三角形和相似三角形不完全相同，但是核心思想接近，都是通过等腰三角形“等边对等角”的性质得到角的关系，从而证明出有用的全等和相似三角形，进而得到边之间的数量关系.同时都是从待解决的问题入手，进行合理转化，明晰需要的相似三角形，形成正确的解题思路.其中方法2和方法3将问题中的目标线段AF和AB之间的比例关系，转化为求BF和AB之间的比值，方法4和方法5则是转化为求AF∶BF.

方法6：如图10所示，过点A作AH⊥BC于点H，连接DH，过点C作CP∥AB交EF于点P，易证△BDH≌△EDC.由等腰三角形“三线合一”的性质，可得BH=HC=CE，DH∥AB，再根据△AFD≌△CPD，得AF=CP，则CPBF=CEEB=13，所以BF=3AF，即AFAB=14.

方法7：如图11，过点A作AM∥BC交EF的延长线于点M，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，易证△AMD≌△CED，GH=HC=14BC，BH=HE=12BE，则AM=CE=13BE，所以FAFB=AMBE=13，则AFAB=14.

方法8：如图12，过点A作AH⊥BC于点H，过点A作AP∥BC交EF的延长线于点P，连接BP，易证△APD≌△CED，则PD=DE=BD，可得∠PBE=90°，所以四边形PBHA是矩形，则AP=BH=HC=CE=13BE，易得AFAB=14.

方法6～8都通过作垂线的办法，很好地运用了等腰三角形“三线合一”的性质，这是不同于前面几种方法之处，因此，对条件进行不同的解读和分析，会有不一样的解题思路.其中方法8十分巧妙地运用“等边对等角”判定出直角进而得到矩形，进一步利用矩形对边相等的性质解决问题.

方法9：如图13，在BF上取点P，使得PF=AF，连接CP，则CP∥EF，可证△PBC≌△DCB（ASA），因此AF=PF=14AB.

此方法从中点出发，构造中位线，已知D是线段AC的中点，将点F创造为中点，从而得到平行，进一步证明出全等三角形，线段的数量关系即刻击破.

同样是中点，使用不同的策略形成不同的解法，足以体现解题者对平日常见的数学解题策略的积累沉淀，使得解题方法异彩纷呈.

3 解题反思

通过对一道中考题问题探究第（2）问的一题多解，可以看出之所以产生百花齐放的精彩解法，源于解题者对解题策略的积累，否则无法形成解题策略，其次是对条件的个性化解读与分析，另外如何转化结论，对寻找适当解题思路也有一定的指引作用.

3.1 注重积累常规解题策略

数学需要思维的训练，同时也需要基础知识与基本技能的夯实和积累.面对常规概念或条件信息，有正确常规的“条件反射”是打开思路的第一把钥匙，否则寸步难行.积累多样的解题策略可为解题者提供更多思考路径，即使思考方向并不正确也能及时调整改换策略.基于此，教师在教学中应注重对基础知识和基本技能的落实，重视一题多解，开拓思路，并且归纳总结常规解题策略，以便学生在解题时迅速调取需要的技能、技巧.

3.2 重视分析转化能力的培养

有了基本技能，而没有逻辑推理、分析转化的数学能力，在解题过程中亦是举步维艰.对于条件提供的已知信息，往往需要做适当的加工和解析，而题目的问题结果，是思考的方向，所有的努力都要围绕所求问题展开.只有做到目标清晰明确，才不会思路混乱.因此，教师在平时教学中，要指导学生深入问题情境，成为解决问题的主人翁，锻炼他们的逻辑推理和分析转化的能力，重视思维连贯性、多样性的训练，提升思维品质.

基于一道几何中考题的一题多解，体会到思维具有多样性，成功解题需要解题者积累一定的解题策略，并能够合理转化、推理分析.这启发教师在教学中要注重落实基础知识与基本技能，注重培养学生的数学思维能力.