巧用二次函数 妙解实际问题

1 “抛物线”形问题

生活中有比较多的常见的问题与抛物线形有关，比如上抛的物体、喷泉、资金收入、隧道、拱形桥等.要解决这类抛物线形的问题，常常需要建立适当的坐标系，将这些实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数的图象和性质来求解即可.

例1 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）.如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2 m，竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.4 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）.其中h＝1.2，EF=0.7 m.

（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

（3）若d＝3.2 m，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带.

解：由题意可得H（0，1.2），A（2，1.6），且上边缘抛物线的顶点为A，设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+1.6，将H（0，1.2）代入，可得a=-110，即上边缘的抛物线为y=-110（x-2）2+1.6.

由-110（x-2）2+1.6＝0，解得x1＝-2（舍去）或x2＝6，即OC＝6 m，所以上边缘抛物线喷出水的最大射程OC为6 m.

（2）由（1）可得，H（0，1.2），上边缘抛物线y=-110（x-2）2+1.6的对称轴为x＝2，则点H关于该对称轴的对称点为（4，1.2），所以下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到的，则下边缘的抛物线解析式为y=-110（x+2）2+1.6.将y＝0代入，可得-110（x+2）2+1.6＝0，

解得x1＝-6（舍去）或x2＝2，所以点B（2，0）.

（3）因为2＜3.2＜6，所以绿化带的左边部分可以灌溉到.由题意可得，点F的横坐标为3.2+2＝5.2，

则F（5.2，0.7）.将x＝5.2代入y=-110（x-2）2+1.6中，得y=-110（5.2-2）2+1.6＝0.576＜0.7，所以灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带.

点评：本题主要考查了生活中关于二次函数类型的实际问题，这类问题的解决主要是依据二次函数的性质以及图象特征，根据题意建立坐标系，求得二次函数的解析式，将实际问题转化为有关二次函数常见的最值问题来解决是解题关键.

2 “生活、生产”实际问题

对于某些实际中的与“生活、生产”相联系的问题，我们需要把实际中的这类问题，首先要转化为函数的形式，然后结合函数的图象和性质来研究这些实际生活问题.这也反应了数形结合和方程思想在解决问题中的重要作用.

例2 某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益y甲（单位：万元）与投入成本x（xgt;0）（单位：万元）的函数表达式为y甲=12x，投资乙机器人一年后的收益y乙（单位：万元）与投入成本x（xgt;0）（单位：万元）的函数表达式为y乙=-14x2+52x.

（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？

（2）请在图3中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？

（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

解：（1）当x=2时，

y乙=-14x2+52x=4（万元）.

答：一年后获得的收益是4万元.

（2）直线y甲=12x过点（0，0），（2，1）.

画出函数y甲=12x的简图，如图4.

抛物线y乙=-14x2+52x的对称轴为x=5，顶点为5，254.当x=0时，y乙=0，当y=0时，解得x1=0，x2=10.

所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）（10，0）.

画出函数y乙=-14x2+52x的简图，如图4.

直线y甲=12x与抛物线y乙=-14x2+52x的两个交点为（0，0），（8，4）.由图象可知：当投入成本x=8万元时，选择投资生产甲、乙两款机器人获得的收益一样；

当投入成本0lt;xlt;8万元时，选择投资生产乙款机器人获得的收益更多；当投入成本xgt;8万元时，选择投资生产甲款机器人获得的收益更多.

（3）设一年后获得的收益之和为w，投入乙款机器人生产n万元，则投入甲款机器人生产（32-n）万元，

所以w=12（32-n）-14n2+52n=-14（n-4）2+20.故当n=4时，w有最大值，最大值为20.

答：当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元.

点评：本题考查了一次函数以及二次函数的实际应用，要在求得一次函数和二次函数解析式的基础上，结合这两个函数的性质以及与方程的关系来解决这类问题.

3 “几何”问题

利用二次函数解决有关几何问题，一定要认真分析几何图形的特点，抓住图形中的关键因素，在理解题意的基础上，确定好变量，然后建立函数模型，构建有关二次函数或者其他函数方程，再利用对应函数的性质求解即可.

例3 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图5，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线的一部分AED构成（以下简记为“抛物线AED”），其中AB＝4 m，BC＝6 m，现取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，OE＝7 m，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图6所示平面直角坐标系.请结合图形解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；y=-13x2+7.

（2）如图7，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，其中L，R在抛物线AED上，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长.33-32.

点评：本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，在读懂题意的基础上，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键.

4 结语

二次函数在实际中的应用问题是初中教学的重要知识点，这种题型往往就是求解函数的最大值、最小值问题，经常与实际生活中的“经济、交通、体育、生产、图形设计”等问题相联系，因此在处理这类问题时，可以贴合生活实际，合理转化为所学的函数问题，然后利用函数的图形和性质来解决问题.这类问题对学生的思维能力要求较高.