“画板”实验 思维可视化

1 引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）指出：“利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构.”几何画板作为一种常用的教学可视化工具，具有强大的演示功能，借助几何画板开展教学实验活动，可以创设真实情境、模拟运动过程、形成几何直观，实现静态问题动态化、抽象问题直观化、隐性问题可视化；尤其是几何画板的动画追踪功能，可以呈现运动轨迹，给学生思考问题、分析和解决问题提供了真实场景，有利于把复杂的问题变得简单、生动、形象.本文中以苏科版九年级上册第2章“对称图形——圆”单元教学中的几节常态课教学片段为例，探讨几何画板的可视化教学价值，以期与同行交流.

2 基于教材处理的着力点引导

在数学教学过程中，尤其是在处理教材的关键点、疑难点和模糊点时，如何正确引导学生认真观察、深度思考、乐于探究，让学生直观形象地感受图形的变化，并掌握一些较为抽象或难以理解的概念，从而突破问题瓶颈，是教材处理的核心，更是一堂课成功与否的关键.

2.1 通过旋转，发现同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间的关系

旋转是探究几何问题的重要方法，利用几何画板辅助教学，实现动态引领，化静为动，将抽象问题直观化，不仅有利于理解圆是中心对称图形，更有利于探讨同圆（或等圆）中的弧、弦、圆心角之间的关系.

课前准备：利用几何画板画一个⊙O，在⊙O中画两个相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，连接线段AB，A′B′，将△A′OB′和AB添加红色，构造旋转运动按钮（如图1）.

画板操作：展示画板界面，将红色部分进行顺时针旋转，使得OA与OA′重合（如图2）.

观察思考：

（1）通过上述旋转实验，你发现了什么？

（2）找一找，图中还有哪些等量关系？请互相交流，说说自己的理由.

（3）如果在两个等圆中，以上的等量关系还成立吗？为什么？

教学分析：通过几何画板旋转实验，实现了由“听”知识到“做”运动的转变，通过化静为动、动静融合，学生容易发现在同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的等量关系；通过思考分析，合作交流，容易找到为什么.这不仅有利于学生对概念和性质的进一步理解，也让思维过程清晰可见，是培养学生几何直观能力的重要方法.

2.2 通过翻折，发现圆中垂直于弦的直径与对应的弦、弧之间的关系

翻折是图形变换的基本方式之一.通过图形的翻折，往往可以找到解决问题的新路径；利用几何画板辅助手工实验，进行直观演示，更有利于实现知识与思维的对接，培养学生动手“做”、用眼“看”和动脑思考的本领，有利于学生清晰、直观、积极地学好数学.

课前准备：利用画板画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如图3），并以AB为对称轴，设计好翻折按钮、还原按钮和翻折路径.

画板操作：展示画板界面（如图3），点击翻折按钮，使直径AB的右边部分沿着对称轴进行翻折（如图4），再点击还原按钮，让图形恢复原状.

观察思考：

（1）在图3中，哪些线段是相等的？哪些弧是相等的？

（2）请你用一句话概括你的发现，并证明你的发现.

教学分析：通过图形的翻折，一方面实现了几何的直观性，有利于将隐性思维显性化，在操作中发现正确的结论，培养学生观察与比较、分析与研讨问题的本领；另一方面，画板演示的动态效果，增强了课堂对美的创造，培养了学生的审美意识.

2.3 通过平移，发现圆与直线、圆与点、圆与圆之间的位置关系

康德说过：“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的.”让数学研究过程直观呈现，是数学教学比较理想的境界.用几何画板模拟平移活动，实验过程清晰明了、实验步骤简洁适用、实验效果全面美观，是突破难点的很好路径.

课前准备：利用画板画⊙O和直线AB（如图5），根据模拟平移的需要，设计好直线AB自下而上的运动路径，在动画中添加平移、暂停、还原按钮.

画板操作：展示画板界面（如图5），点击平移按钮，

使直线AB缓慢向上运动，在运动过程中将会出现上、下相切时的两次停顿，点击还原按钮，让图形恢复原状，多次重复以上操作.

观察思考：

（1）在运动过程中，直线AB与圆的位置关系会发生怎样的变化？

（2）如何用数量关系来描述以上变化情况？

（3）如果直线不动，让圆上下移动，以上对应关系是否会发生变化？

教学分析：通过几何画板演示，培养学生观察、思考、分析、合作交流的能力，学生容易发现直线与圆的三种位置关系，理解圆心与直线的距离是直线与圆位置变化关系的关键因素.当然，我们可以一以贯之地探究点与圆、圆与圆之间的位置关系.

2.4 通过度量，发现同弧所对的圆心角、圆周角的数量关系

我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.”数形结合是数学学习的重要思想，数学研究要经历数据、图形和符号表达才能发挥出强大的价值.

课前准备：在画板中画⊙O，构造圆心角∠AOB和圆周角∠APB，分别度量∠AOB和∠APB.根据研究需要，通过操作按钮中的动画功能，将点P设计为运动点（如图6）.

画板操作：

展示画板界面，点击运动按钮，使点P在圆周上运动，容易发现∠AOB与∠APB大小关系始终不变；移动点A，改变∠AOB的度数，再点击运动按钮，再让点P在圆弧上运动.

观察思考：

（1）在点P运动的过程中，你有什么发现？请用数量关系来描述你的发现.

（2）请同学们自己在纸上画一个圆，并在所画的圆中画一个圆心角和其对应的圆周角，用量角器验证一下你的猜想，说说它们的数量关系成立的理由.

（3）请思考AB的度数与圆周角∠APB有何数量关系？为什么？

教学分析：基于几何画板的动态演示，从数形结合入手，通过度量同弧所对的圆心角与圆周角的度数，培养学生的观察与猜想能力；让学生动手实验和动脑思考，实现在“做中学”，有利于学生对问题进行进一步的思考与分析.

3 结语

几何画板作为功能强大的数学教学软件，是数学教学与研题的重要工具，它具有操作留痕、化静为动、探源溯流的功效，是实现思维可视化的有效载体.在“对称图形——圆”的单元教学中，利用几何画板开展数学实验，可以直观生动地引导教学，给学生一种看得见思维生长的教学过程，有利于突破数学“难以意会，无法言传”的障碍，久而久之，可以提高学生的直观思维能力、深度学习的本领和解决问题的智慧.因此，在数学课堂教学中，合理地运用几何画板开展实验，是数学教师提高教学质量、激发学生学习兴趣、培养学生思维能力和创新意识的有效途径，是验证学生思维正误的得力助手，更是目前落实数学学科“双减”目标的可靠手段.