数学表征视角下高中数学问题解决教学策略探析

【摘要】数学表征是指学生运用数学符号、图形、文字等多种形式，将数学概念、关系及问题转化为具体、可操作的表征形式的过程.这一过程不仅反映了学生的数学思维水平，还直接影响着他们对数学问题的解决能力.基于数学表征视角的高中数学问题解决教学，强调学生在学习过程中对数学知识的主动表征与建构，鼓励学生运用多种表征形式理解和解决问题，从而培养他们的数学学科核心素养.文章首先剖析了高中数学问题解决教学的现存问题，其次阐述了数学表征在高中数学教学中的重要性，最后提出了基于文字、图形、符号三种表征形式的具体教学策略，旨在为学生数学学科核心素养的发展奠定坚实基础.

【关键词】高中数学；数学表征；问题解决；核心素养

引 言

在当今的高中数学教学中，教师往往面临一个挑战：如何使抽象的数学概念与复杂的问题解决过程更加贴近学生的认知水平，从而提高教学效果？传统的讲授式教学往往侧重于知识的传授与解题技巧的灌输，忽视了学生在学习过程中对数学知识的主动表征与建构.这里被忽视的数学表征既是解决数学问题的第一环节，又是学生学习数学知识的重要环节.因此，高中数学教师应积极探究基于数学表征视角的问题解决教学策略，进一步提高问题解决教学效率，培养学生的数学核心素养.

一、高中数学问题解决教学现存问题

（一）创新意识匮乏：思维禁锢严重

在新课程改革的浪潮下，创新意识的培养成为教育的重要目标.然而，高中数学“问题解决”教学中，创新意识的缺失却成为一道难以跨越的鸿沟.对于学生而言，长期受传统教育模式的影响，习惯于按部就班地接受知识，思维逐渐僵化，难以在数学问题解决中展现出独特的创造力.他们无法将所学知识灵活运用，难以从不同角度思考问题，导致在面对新的数学挑战时，往往束手无策.同时，部分教师在教学过程中，过于注重数学知识的传授和解题方法的讲解，忽视了对学生创新思维的激发和引导.这种重理论轻实践、重结果轻过程的教学方式，使得学生的创新潜能被压抑，无法在数学学习中释放出应有的活力.

（二）课堂氛围沉闷：缺乏学习活力

良好的课堂氛围是教学成功的关键因素之一.但是，在当前的高中数学“问题解决”教学中，课堂氛围却显得沉闷而压抑.一方面，学生在课堂上表现出积极性不高的状态，缺乏主动参与的热情.他们被动地接受教师的讲解，很少主动提出问题或参与讨论，使得课堂互动极为有限.另一方面，在“问题解决”的活动中，学生之间的合作与交流不足，缺乏思想的碰撞和灵感的激发.这种沉滞的课堂氛围，不仅限制了学生思维的拓展，也降低了他们学习数学的兴趣和效率.教师未能充分调动学生的积极性，未能创造出一个充满活力和竞争的学习环境，导致课堂教学效果大打折扣.

（三）生活元素缺失：知识应用脱节

数学与生活息息相关，然而在高中数学“问题解决”教学中，生活元素的融入却不令人满意.部分教师在教学中，仅仅关注数学知识的逻辑性和系统性，而忽视了其与实际生活的联系.学生在学习过程中，无法感受到数学在生活中的应用价值，难以产生浓厚的学习兴趣.部分教师只是一味地传授知识，忽视了学生的主体地位及其实际需求.在这种教学方式下，学生只能被动接受知识，难以将所学数学知识与自身生活经验相融合，从而使得数学知识与生活实践之间产生了明显的脱节.这一现象不仅阻碍了学生对数学知识的深度理解和掌握，也削弱了他们运用数学知识解决实际问题的能力.

（四）质疑能力薄弱：探索精神匮乏

在新课标背景下，培养学生的探索精神十分重要，质疑是探索精神的重要组成部分.但是，在高中数学问题解决教学中，学生的质疑能力普遍较为薄弱.面对数学问题，学生往往缺乏深入思考和探究的精神，对问题的本质和内涵认识不足，难以提出有针对性的疑问.在解决复杂问题时，他们依赖教师的指导，缺乏自主判断和独立思考的能力，无法有效地分析和解决问题，更无法从中发现新的问题和思考方向.学生质疑能力的缺失，使得他们在数学学习中缺乏主动性和创造性，无法真正培养起探索数学世界的精神和勇气.

二、数学表征在高中数学问题解决教学中的重要性

（一）为教师教学研究提供视角

数学表征在高中数学问题解决教学中的应用，为教师的教学研究开辟了一个全新的视角.传统的教学研究往往侧重于教学内容、方法及效果的评估，却容易忽视学生在数学学习过程中的内在思维活动及知识表征方式.数学表征视角下的数学问题解决教学，能使教师能够更准确地把握学生的学习难点与误区，从而制订更加精准、有效的教学策略.这一新视角的引入，不仅丰富了教师的教学研究内容，还提升了教学研究的针对性和实效性.

（二）为学生知识建构搭建平台

数学表征是数学学习的一个关键环节，在学生数学知识有效构建方面发挥着无可替代的重要作用.通过数学表征的应用，可以使学生把抽象的数学概念，关系和问题变成具体的，可操作性强的符号、图形或者文字等形式，进而加深学生对数学知识的认识与记忆.另外，数学表征促使学生知识结构系统化、网络化，从而能灵活地运用已学过的知识来处理复杂问题.这一高效的知识建构方式在提升学生数学素养的同时，为学生今后的学习与成长打下坚实基础.

（三）为核心素养提升开拓路径

将数学表征应用于高中数学问题解决教学，对发展学生数学学科核心素养至关重要.数学学科核心素养由数学抽象，逻辑推理和数学建模几个层面构成，数学表征是培育这几个素养的主要媒介.通过指导学生利用数学表征解决数学问题，能够帮助教师培养学生科学的思维方式与严谨的数学态度；同时经过不断的实践与运用，还将显著提高学生数学抽象能力，逻辑推理能力及数学建模能力.发展这些核心素养，既有利于学生更好地面对数学学习与考试的挑战，也可为他们今后的发展提供强有力的支撑.

三、数学表征视角下的高中数学问题解决教学策略

基于数学表征视角的高中数学问题解决教学，应注重培养学生的多元表征能力，即能够灵活运用文字、图形、符号等多种形式对问题进行表征与转化.在这一过程中，教师在分析和解决问题时，需要指导学生注意问题内在结构和特征，并选择合适的表征形式.与此同时，教师需要重视对学生表征转换能力的培养，让学生在各种表征形式间灵活地进行切换和转化，以达到全面认识和深入分析问题的目的.

（一）基于文字表征，促进问题结构化

文字表征作为数学表征的基本和主要形式.在解决数学问题时，学生首先要准确地理解题中文字信息，把它转化成数学问题.所以教师有必要引导学生注意题中关键词句及其逻辑关系，并借助准确的文字表述梳理出试题的结构框架与解题思路，通过指导学生运用准确的语言表达数学概念及关系，能够帮助他们加深对于数学知识的认识和记忆，并且能够培养他们的逻辑推理能力.

例1 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，对称美也无处不在，如建筑、器物、书法、诗歌等.在数学中，这种对称美也得以体现，如回文数.回文数是指从左向右读和从右向左读都一样的数.例如，20200202是一个回文数.两位数的回文数有9个（11，22，…，99）.一共有多少个这样的三位回文数？

这一道题以古希腊哲学家的名言和中华传统文化中的对称美为引子，巧妙地引出了“回文数”的概念，并通过具体实例加深了学生对这一概念的直观感受.教师要引导学生在理解了题目中的文字信息后，将这些信息转化为数学问题，并进行结构化处理.

首先，提取关键信息.从题目中提取出与解决问题直接相关的信息，如“回文数”的定义、两位回文数的数量以及问题要求的三位回文数的数量，根据题目要求，明确需要求解的是三位回文数的总数.然后，分析问题结构.通过分析回文数的结构特点（即首尾数字相同），发现三位回文数可以由百位和个位数字确定，而十位数字则可以是0～9中的任意一个（但需要注意0不能作为百位数字）.其次，构建数学模型：基于上述分析，可以构建出一个简单的数学模型来表示三位回文数的数量.具体来说，对于百位和个位上的每一个数字（1～9），都可以与0～9中的任意一个数字（作为十位数字）组合成一个回文数，但由于百位和个位数字必须相同且不能为0，因此实际上只需要考虑百位和个位数字的组合情况.最后，求解数学模型：根据构建的数学模型，即可以计算出三位回文数的总数.具体来说，以1为百位和个位的回文数有10个，十位可以是0～9中的任意一个，以2～9为百位和个位的回文数也各有10个，同样地，十位可以是0～9中的任意一个.因此，三位回文数的总数为10（以1为百位和个位的回文数）+8（以2～9为百位和个位的回文数组合数）×10（每种组合下十位的选择数）=90个.

从以上案例可以看出，文字表征在促进数学问题结构化中发挥着不可替代的作用.它不仅能帮助学生准确理解了题目中的信息并提取出关键要素，还能引导学生通过逻辑推理和模型构建将复杂问题转化为简单的数学问题进而求解.

（二）利用图形表征，促进问题可视化

图形表征是数学表征中最为直观和形象的一种形式.通过图形表征可以将复杂的数学问题转化为直观的图像或图形模型，从而帮助学生更好地理解和解决问题.在问题解决过程中，教师需要引导学生关注问题的几何特征和空间关系，通过绘制图形或构建几何模型呈现问题的可视化形式.图形表征的优势在于其直观性和形象性能够帮助学生更好地把握问题的本质和规律.同时，通过图形表征的训练学生还可以提高空间想象能力和几何直观能力.这些能力的培养不仅有助于学生更好地解决数学问题，还可以为其未来的学习和工作提供有力支持.

例2 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i，-2+i，0.这个正方形的第四个顶点对应的复数是（ ）.

A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i

对于这一道题，大多数学生选择了错误的选项A，这背后的原因复杂多样，但主要可以归结为以下几点：一是受思维定式的影响.学生可能受到以往类似题目的影响，如平行四边形问题，其顶点大多是按顺序给出的.这种思维定式导致学生在面对新问题时，没有仔细分析题目中的新条件，而是直接套用旧有的解题模式.二是对题目理解的偏差：题目明确指出三个顶点“按顺序”对应给定的复数，但这里的“顺序”并非指它们在正方形中的位置顺序，而是指题目给出的复数序列的顺序.学生若未能准确理解这一点，便容易将这三个点误认为是正方形的连续顶点，从而得出错误的结论.三是受惰性思维和行为的干扰.部分学生可能出于懒惰或时间紧迫，选择不进行图形表征，而是直接心算或凭感觉选择答案.这种不严谨的思维方式往往导致错误频发，尤其是在需要精确计算和细致分析的数学问题中.

在解决这道关于复平面上正方形顶点的复数表示问题时，引导学生采用图形表征的方法显得尤为重要.教师需要先引导学生在复平面上清晰地标出题目给出的三个复数点，这有助于学生直观地理解这些点在空间中的位置关系.接着，教师引导学生通过假设与验证的方法尝试不同的组合来确定正方形的一条边，并利用正方形的性质——对角线互相垂直且等长——来辅助学生找到第四个顶点.在作图过程中，学生需要计算中点、边长和半径等关键参数，这些计算不仅锻炼了学生的数学运算能力，还加深了他们对几何图形的理解.通过图形表征，学生可以清晰地看到各个点之间的相对位置，从而避免了因思维定式或误解而导致的错误.当学生找到满足条件的第四个顶点，并将其对应的复数表示出来时，他们不仅解决了问题，还体验到了图形表征在解决复杂数学问题中的强大作用.这个过程不仅提升了学生的解题能力，还培养了他们的逻辑思维和严谨态度，为他们未来的数学学习奠定了坚实的基础.因此，在解决此类问题时，教师应该鼓励学生积极采用图形表征的方法，让数学变得更加直观和有趣.

从以上案例可以看出，图形表征对于数学解题有着无可取代的重要作用.从引导学生注意题目的几何特征及空间关系，发展其图形表征意识及能力，重视对题目的分析理解，能帮助学生较好地运用图形表征来解决数学问题，提高解题的正确率与效率.通过这道题目，要使学生懂得，在数学问题的求解过程中，特别是那些涉及几何图形与空间之间关系的题目中，图形表征就是一个十分有效的手段，这有助于他们对问题有更深入的了解，揭示隐藏的模式和联系，减少由于思维误区引发的失误，从而增强问题解决的精确度和高效性.

（三）借助符号表征，促进问题清晰化

通过符号表征可使复杂的数学问题变成简明的数学表达式或者方程组等形式，以达到清晰，明确地表述和解决问题.在解题过程中，教师需引导学生注意题目的数学本质及其内在规律，并通过利用数学符号，公式等推导与计算，从而达到解题目的.符号表征具有简洁性，抽象性等优点，可以帮助学生更加有效地处理数学问题.与此同时，对符号表征进行训练能发展学生符号识别与运算能力.

在解决这个问题的过程中，学生不仅运用了符号表征的转换技巧，还展现了他们灵活运用所学知识解决问题的能力.他们通过化未知为已知的策略，将复杂的问题逐步简化为已经学过的知识范畴内的问题.这种转化过程不仅使问题变得清晰易懂，还为学生提供了丰富的解题策略.这道题也给大家一个启发：发展学生表征意识与表征能力是高中数学学习的重中之重，表征是沟通数学概念与实际问题的一座桥梁，有助于学生把抽象的数学概念变成具体的，可操作的数学形式，在表征转换与转译过程中，学生能够对数学问题的实质与内在联系有更深刻的认识，以建构更完整、更系统的知识体系.

结 语

综上，以数学表征为基础研究高中数学问题解决教学策略，有着重要研究意义与实践价值.在具体教学实践中，教师可从文字、图形、符号三个方面探究数学表征的合理应用策略，以此更好地掌握学生学习过程和思维活动情况，并制订出较为科学合理的教学策略，引导学生在多元表征过程中提升问题解决能力，发展数学学科核心素养.

【参考文献】

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