基于运算一致性的小学数学教学实践探索

摘 要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”学习领域中指出，在小学阶段，教师应当注意引导学生感悟数的运算及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。可见，基于运算一致性进行小学数学教学是极为重要的。文章在解读“运算一致性”内涵的基础上，探索了基于运算一致性的小学数学教学意义，提出了基于运算一致性的小学数学教学策略，希望能为广大小学数学教育工作者提供参考借鉴，共同推动小学数学教学质量提升。

关键词：小学数学；运算一致性；教学实践

中图分类号：G427" " " " " " " " " " " " " " " " 文献标识码：A" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "文章编号：2097-1737（2024）31-0008-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，教师应重视数学课程内容的整体化、结构化。基于运算一致性的小学数学教学有助于教师从整体化、结构化的角度统筹规划数学教学内容，从而有效提升数学教学的系统性和质效性。在某种程度上，基于运算一致性的小学数学教学脱离了数在现实世界中的意义，将学生从现实世界引向符号世界，从而带领其掌握数与数的运算的本质。这样的数学教学有助于落实“四基”。然而，就当前小学数学教学现状而言，部分教师对此的重视程度不够，还有部分教师由于缺乏相关理论、经验等的支撑，虽然开展了基于运算一致性的数学教学活动，但是未能获得预期效果。鉴于此，笔者进行了此次实践探索。

一、运算一致性的内涵解读

小学阶段的“运算一致性”，是指小学阶段接触到的所有数的运算，在运算意义、算理、算法方面都是相通的。在运算意义方面，小学阶段总共涉及了加、减、乘、除四则运算，其中减法、乘法、除法运算都可以还原成加法，也就是说，这三则运算都是从加法衍生而来的，加法是这三则运算的基础。在算理方面，小学阶段主要涉及了分配律、交换律、结合律这三种基础运算律，它们与等式的基本性质共同构成加、减、乘、除四则运算的算理基础，这些算理适用于整数、分数、小数，也就是适用于小学阶段所有数的运算。在算法方面，加、减、乘、除四则运算在一般情况下都能还原为计数单位之间以及计数单位的个数之间的运算[1]。

二、基于运算一致性的小学数学教学意义

第一，基于运算一致性的小学数学教学有助于培养学生的运算能力。就小学阶段而言，基于运算一致性的小学数学教学重在引导学生感受整数、分数和小数在算理、算法等方面的共性，这种共性有助于学生抓住数的运算的本质，有利于学生提升运算能力。

第二，基于运算一致性的小学数学教学能够帮助学生将琐碎的数学知识串联起来，建构起系统性、结构化的数学知识网络。基于运算一致性的小学数学教学通过寻找整数、分数、小数在概念及运算上的一致性，或者说共通性，让学生能够将原本琐碎的数学知识关联起来，在整数、分数、小数的运算与数量关系等相关数学知识之间建立起本质联系，组成一个框架更清晰、内容更明了的数学知识网络，从而更好地学习并掌握“数与运算”领域知识。

第三，基于运算一致性的小学数学教学有助于培养学生的符号意识。数学学习本质上是对数的关系、运算、规律等的讨论和研究，其结论指向各种抽象化的数学符号、公式与定律，而非具有现实背景的各种数量。基于运算一致性的小学数学教学就是一种脱离现实背景，从数学本质出发的数学化教学，此种教学方式有助于学生形成和发展符号意识[2]。

三、基于运算一致性的小学数学教学策略

（一）概念切入，理解运算一致性

人教版小学数学教材中涉及的数，包括整数、分数、小数，从数的概念角度来看，这些数都是以计数单位为基础构建而成的。由此可见，整数、分数、小数在概念层面具有一致性，这是数的运算一致性的基础。因此，教师在教学时，可以从数的概念一致性的角度切入，帮助学生更好地理解数的运算一致性。整数通常以个、十、百等作为计数单位，小数通常以十分之

一、百分之一等作为计数单位，分数虽然没有固定的计数单位，但是每个分数仍旧是若干相同分数计数单位的集合。从这一角度来看，整数、分数、小数的运算，

本质上都是计数单位以及计数单位个数之间的运算，

这也是小学阶段数的运算一致性的直接体现。教师在进行数的运算的教学时，可以从“计数单位”的角度切入，引导学生抓住数的运算的本质，感受并理解数的运算一致性[3]。

以人教版数学四年级（下册）“四则运算”这一单元为例。教材将本单元内容分为了两个部分，其一为“加、减法的意义和各部分间的关系”，其二为“乘、除法的意义和各部分间的关系”。这种编排方式很容易让学生感受到加、减法之间有关系，乘、除法之间有关系，但是却容易让学生忽视加、减、乘、除四则运算之间的关系。针对这一问题，教师可引导学生从数的概念一致性的角度入手，感受加、减、乘、除四则运算之间的运算一致性。因为本单元只涉及整数的加、减、乘、除四则运算，所以本文从数的概念一致性角度切入的四则运算教学也只涉及到整数。例如：

整数加法：814＋1142＝（100×8＋10×1＋1×4）＋（1000×1＋100×1＋10×4＋1×2）＝1000×1＋100×（8＋1）＋10×（1＋4）＋1×（4＋2）＝1000＋900＋50＋6＝1956。前述整数加法运算中，以1000、100、10、1为计数单位，加法运算本质上就是各个计数单位个数的合并。

整数减法：1956－1142＝（1000×1＋100×9＋10×5＋1×6）－（1000×1＋100×1＋10×4＋1×2）＝1000×（1－1）＋100×（9－1）＋10×（5－4）＋1×（6－2）＝0＋800＋10＋4＝814。前述整数减法运算中，同样以1000、100、10、1为计数单位，减法运算本质上就是各个计数单位个数的拆分。

整数乘法：3×4＝3＋3＋3＋3＝12。前述整数乘法运算以3为计数单位，4则是计数单位的个数，乘法运算本质上就是计数单位个数的合并。

整数除法：12÷3＝4。可将其转化为减法12－3－3－3－3＝0。前述整数除法运算以3为计数单位，4是计数单位的个数，除法运算本质上就是将被除数拆分为若干个计数单位。

由上可知，加、减、乘、除四则运算本质上就是计数单位以及计数单位个数之间的运算，由此学生就能感受到四则运算之间的运算一致性。有此认知后，学生进行四则混合运算时，就能通过四则运算之间的灵活转换，找到更为简捷的运算方法，这对于其运算能力的提升是极为有益的。

（二）类比教学，感受运算一致性

数的运算一致性，不仅体现在运算意义的一致性上，还体现在算法的一致性上。就小学阶段而言，教师应在学生理解数的算法一致性的基础上进行整数的运算教学。因此，在整数运算教学时，教师应重视对算法的教学。推导数的算法仍应以计数单位为基础。加、减法运算，本质上是相同计数单位之间的个数合并或拆分；乘、除法运算，本质上是计数单位以及计数单位个数之间的运算（整数除法例外）[4]。由于整数、分数、小数的四则运算在算法方面基本上是相通的，具有一致性，所以教师在引导学生理解整数的算法后，就可以通过类比整数的相关运算，引导学生感受整数、分数、小数的运算在算法方面的一致性。

例如，人教版数学三年级（上册）“分数的初步认识”这一单元的第2部分为“分数的简单计算”，主要介绍了简单的分数加、减法运算。教材介绍分数加法的算法就是从计数单位的角度出发的（如图1）。在图1的分数加法运算中，本质上就是将“”当作计数单位，所以，“＋”其实就是2个计数单位和1个计数单位合并，即3个计数单位，也就是“”。

在进行上述分数的加法运算教学时，教师可类比整数的加法运算教学，以此引导学生感受整数和分数的加法运算在算法上的一致性。具体而言，教师可举如下整数加法运算案例：2＋1＝3。该整数加法运算以“1”为计数单位，加法运算其实就是“1”这一计数单位个数的合并或叠加。由此可见，无论是分数加法还是整数加法，本质上都是某一计数单位个数的合并或叠加。

此外，教师还可以为学生呈现以下整数加法案例：22＋11＝33。在该整数加法运算中，同时存在“1”和“10”两个计数单位，加法运算同样是各个计数单位个数的合并或叠加，但要注意，这种合并或叠加是指相同计数单位之间个数的合并或叠加。由此，教师可引导学生思考如下分数加法问题：参考上述整数加法案例，思考＋应该怎么计算。在该分数加法中，这两个加数明显不是同一计数单位，因此要想完成该运算，就要设法将两个加数转变为拥有同一计数单位的分数。由此，学生不仅对异分母分数的加法运算有了一定的解题思路，还能更加了解加法运算的本质，即“相同计数单位之间的个数叠加”。

（三）自主探究，深悟运算一致性

在小学阶段，有关数的运算一致性的探寻最终落脚点基本都在数的计数单位上，也就是说，数的运算基本上都是计数单位的运算[5]。有了上述认知，教师除了可以组织一系列的教学活动引导学生从各个角度感受数的运算一致性外，还可以在与运算相关的教学活动中引导学生自主探究并感悟其中所隐藏的运算一致性。这样不仅有助于学生更好地理解和掌握相关的数学运算知识，还能增强其对数的运算本质的认识。

例如，教师在讲授人教版数学四年级（下册）“小数的加法和减法”中“小数加减法”这部分内容时，由于学生此前已经学习过整数加减法与分数加减法的运算，且在学习分数加减法运算教学时，教师已经带领学生以类比的方式感受了整数与分数加减法运算的一致性，因此，教师可以引导学生以自主探究的方式，深入感受小数与整数、分数在加减法运算方面的一致性。为了引导学生更好地开展本次自主探究活动，教师可借助问题引导学生找到正确的自主探究方向。具体而言，教师可为学生设置以下问题：“我们已经知道，加法运算的本质就是‘相同计数单位之间的个数叠加’，

所以在进行小数加法运算时，大家能结合小数的意义和性质、读法和写法，找到小数运算中需要用到的计数单位吗？”该问题为学生自主探究小数加减法运算中隐藏的运算一致性内涵找准了切入点，而后教师可引导学生就“6.45＋4.29＝10.74”这一小数加法运算案例，展开自主探究活动。

学生在之前“小数的意义和性质”这一单元的学习中，已经知道小数的基本构成情况，由此就能推断出小数的计数单位。例如，6.45和4.29的计数单位包括整数部分的个位“1”，以及小数部分的十分位“”和百分位“”，也就是说6.45是由6个“1”、4个“”、5个“”构成，4.29则是由4个“1”、2个“”、9个“”构成。所以，“6.45+4.29”其实就是6个“1”加4个“1”、4个“”加2个“”、5个“”加9个“”，其运算本质仍旧是“相同计数单位之间的个数叠加”，与整数和分数加法的算法一致。

四、结束语

总之，基于运算一致性的小学数学教学，有助于学生更好地掌握数学学科的本质，从而有效提升数学学习效果。在运算一致性视域下，教师在进行运算教学时应注意从数的概念角度切入，引导学生感受运算一致性，或通过类比教学引导学生感受运算一致性。当然，在这个过程中，教师应注意引导学生在自主探究的过程中深入探寻并感悟数的运算一致性，这样不仅能增强学生对数的运算一致性的理解，还能有效提升运算教学的效果。

参考文献

程丽娜.小学中高段数学教学数的认识与运算一致性的实践探讨：以“数与运算”总复习为例[J].新教育，2023（35）：86-88.

王智明.一致性视角下小学数学运算知识的理解及教学改进[J].小学数学教育，2023（22）：4-5.

王宇驰.大概念视角下小学数学数与运算一致性的实践[J].亚太教育，2023（20）：160-162.

王加林.体会乘法运算本质的一致性：《乘法运算总复习》一课教学与思考[J].教育研究与评论（小学教育教学），2023（8）：92-96.

王岚.“运算一致性”理念下小学数学教学的思与行[J].江苏教育，2023（14）：6.

基金项目：本文系三明市基础教育科学研究2023年度常规课题“基于数理思维的小学数学高效课堂策略研究”（课题立项批准号：JYKT-23034）的研究成果。

作者简介：胡敏华（1978.10-），女，福建三明人，任教于福建省三明市沙县区金沙小学，一级教师，本科学历。