基于ACT-R理论的数列概念的教学设计

摘要：基于ACT-R理论来指导数列的概念教学，优化教学设计，为学生制定更加合理的学习路径.本文中首先阐述了ACT-R理论的主要内涵及应用教学设计的五个原则，然后给出了基于ACT-R理论的数列概念的教学设计案例.

关键词：ACT-R理论；数列；教学设计

1 ACT-R理论内涵

ACT-R理论倡导任何复杂的事物都是由简单的元素构成，掌握简单元素进而便可掌握整个事物概念.将ACT-R理论与数学学习结合起来，将复杂的数学事件简单化，更有助于学生对本质的认识[1].

（1）陈述性知识.陈述性知识即“是什么”，指那些可以表述事实的知识，这类知识可以从他人或者书本直接接收.

（2）程序性知识.程序性知识即“怎么做”.一个产生式规则就等价于一个“条件—反应”，即每一个问题的解决系统都对应一个特定的产生式规则，获得这种产生式规则主要靠类比[2].

（3）目标层级.在知识的获取过程中，要将每一个学习目标进行分解，形成几个小目标再去解决，从而将复杂知识简单化，化成小单元依次完成.

2 ACT-R理论指导教学设计的五个原则

（1）复杂的问题简单化.复杂问题简单化处理，再由这些简单单元构成人的复杂认知.

（2）直观化原则.直观化原则是指通过先前的记忆即学生以往经验对学习的启发进而解决问题，因此教学中应注重将生活实例抽象成数学知识对学生进行导入[3].

（3）主动性原则.新课标倡导“积极主动的学习方式”，一定保证课堂上以学生为主体、教师为主导.

（4）反思性原则.除学生的练习反馈外，教师还需通过及时反思教学过程和教学环节等进一步了解学生的学习情况.

（5）程序性和简单化原则.ACT-R理论中提到了目标层级概念，即将大的目标分成若干个小目标去完成，合理安排教学目标，将教学任务分解，引导学生解决问题.

3 基于ACT-R理论的数列概念的教学设计

3.1 阶段一：陈述新知阶段

环节1创设情境，引入新知

问题1德国天文学家提丢斯通过对一列数3，6，12，24，48，96，192……的研究，得出太阳到行星之间距离的规律！他发现：

①每一个数字恰好是前一个数字的2倍；

②将0加在这列数字的最前面，再将每一个数字加上4然后除以10，得出另一列数字

0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6……

这组数字意义非凡，他揭示了宇宙行星分布，即太阳与周围行星的近似距离……以此类推，他得到一张影响全宇宙的表（表1）.

教师提问：表1中，非阴影部分是科学家先前探索出的行星，而根据这组数，阴影部分是否有两颗未知行星呢？如果你是科学家，通过“计算距离”这组数，你有什么大胆猜测呢？

问题2如何研究“数列”这一新的概念？

设计意图：体现ACT-R理论的直观化原则；通过引人入胜的科学知识激发学生好奇心，初步了解数列实例.

环节2样例类比，明确目标

教师活动：学生对函数的学习过程已经很熟悉，由于数列是一类特殊的函数，因此教师带领学生一起根据函数学习的基本路径来类比学习数列的概念，如图1所示.

由函数学习的基本路径来类比数列的学习，得出本节课总教学目标以及子目标G2，G3，G4，G5.

设计意图：体现ACT-R理论中将复杂问题简单化的原则；体现ACT-R理论中目标分层原则，根据类比函数学习路径来学习数列，告知学生本节课分层目标，让学生学习数列的概念时更具方向性和目的性，从整体到局部，有利于学生系统了解数列概念.

环节3目标分解，任务探究

问题3如何给“数列”下定义？

追问1：一棵大树每年树桩周长的数据为74，88，96，104，111，116，121，129，139，146，154，159，161，它们之间能否交换位置？它们具有确定的顺序吗？

追问2：在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数为6，11，21，41，81，97，113，129，145，161，177，193，209，225，241.它们可否交换位置？它们具有确定的顺序吗？（注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.）

设计意图：体现ACT-R的简单化原则，引出子目标G2即数列的定义.

追问3：将－1/3的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数，即－1/3，1/9，－1/27，1/81……

追问4：上述三个追问中的三组数有什么共同特征吗？

问题4数列的定义是什么？

设计意图：体现ACT-R的简单化原则，解决子目标G2即数列的定义.

追问1：0，2，5，9是一个数列，9，5，2，0也是一个数列，它们是同一个数列吗？

追问2：8，8，8，8，8……是不是一个数列？

问题5如何用一般的符号表示数列？

追问：数列的图象有什么特点？

设计意图：体现ACT-R的简单化原则，解决子目标G3即数列的表示方法；体现ACT-R理论中目标分层原则，类比函数的表示方法来学习数列的表示方法，进而得出数列的通项公式.

问题6数列的单调性是怎样定义的？

设计意图：体现ACT-R的简单化原则，类比函数性质的学习方法，解决子目标G4即数列的性质.

3.2 阶段二：程序练习阶段

环节4知识编码，变式训练

例题根据下列数列的通项公式，写出每个数列的前4项：

（1）a_n=n+n²/2;

（2）a_n=cos（n－1）/2.

追问：你能判断例1（1）中数列的单调性吗？

设计意图：体现ACT-R理论的精致练习原则，加深学生对概念的理解；在本环节选取合适的练习，从而完成总目标数列的学习.

3.3 阶段三：自动系统阶段

环节5小结反思

问题7通过本节课的学习你都收获了什么？结合下列问题反思：

（1）什么是数列？数列的本质是什么？

（2）研究数列的基本方法是什么？

设计意图：体现ACT-R理论的反思性原则，无论教师还是学生都要对学习过的知识进行自我反思.

本教学设计主要是利用ACT-R理论中目标层级的核心理念进行设计的，因为数列是一种特殊函数，并且在此之前学生已经学习过函数，所以通过类比函数学习的基本路径，即概念理解、定义、表示方法、性质、特殊元素来学习数列，可以帮助学生明确学习方向，减少学习负担.

在进行基于ACT-R理论的教学设计前，应该充分理解ACT-R理念的本质，这样才能恰当灵活使用该理论进行教学实践操作，确保其有效性.

参考文献：

[1]宋韵.基于ACT-R理论的高中数学单元教学研究[D].大连：辽宁师范大学，2022.

[2]卒燕芬.基于ACT-R理论指导的深度教学[J].数学教学通讯，2020（6）：13-14，33.

[3]李思文.ACT-R理论在高中函数概念教学中的应用研究[D].信阳：信阳师范学院，2022.