基于问题驱动的“导数的几何意义”的教学设计

熊佳　韦煜　袁晓亮

[摘要]导数的几何意义的学习使学生从“形”的角度理解导数，是学生掌握导数概念的重要途径．基于问题驱动教学理念，精心设计问题，使学生经历概念的形成过程，感受数学知识的“再创造”过程，最终理解导数的本质，体会数形结合思想方法，培养思辨能力．

[关键词]问题驱动；导数的几何意义；核心素养

引言

问题是促进学科发展的原始动力，数学也不例外．美国数学史家M．Kline曾指出：每一个数学分支均是为攻克一类问题而发展起来的．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题……教学情境包括：现实情境、数学情境、科学情境……情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养．这凸显了问题与情境教学对数学教学的重要性．教师需要通过问题与情境引导学生经历知识的生成过程．揭示数学的本质并学会思考．

问题驱动教学为高中数学教师践行新教育理念、培养学生数学学科核心素养、落实立德树人根本任务提供了新思路．以问题驱动教学，让学生在习得“四基”与“四能”的同时．学会“用数学眼光观察世界．用数学思维思考世界．用数学语言表达世界”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展．本文以“导数的几何意义”为例，以数学知识为导向、以数学学科核心素养为引领，引发学生认知冲突．从动态的角度来研究曲线的切线，启发学生独立思考．以期培养学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．

“导数的几何意义”是“一元函数的导数及其应用”中的重要组成部分．第1课时从“数”的角度．通过平均变化率逼近瞬时变化率抽象得到导数的概念，本节课则从“形”的角度进一步讲解导数的概念，渗透数形结合思想方法，从已有经验来看，学生在九年级学习了圆的切线．知道直线与圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线；掌握了直线的点斜式方程，积累了一定的数学活动经验．具有一定的观察能力和概括能力．从思维来看．学生先前根据公共点的个数认识到圆锥曲线和圆的切线的定义．而本节课则从“形”的角度来理解切线的概念——由割线逼近来定义切线，由此上升到新的思维层面．

教学过程设计

1.问题驱动，引出课题

问题1 在初中我们学习了圆的切线，你还记得是怎样定义的吗？

教师提问圆的切线的定义．学生回答后，课件呈现几何图形（如图1所示）．通过回忆圆的切线的定义．引导学生将已学知识迁移到本节课的学习中．应用已学知识解决问题2．

问题2 求曲线f（x）=x-在点（1，1）处的切线方程．

大部分学生在解决问题2时思路清晰，但过点（1，1）还存在一条直线x=1．直线斜率不存在的情况是学生容易忽略的．因此．教师在讲解过程中要渗透分类讨论思想，经计算，学生解出了两条直线，由切线的唯一性可知，所得到的结果与事实不符合，但两条直线都符合“与曲线只有一个交点”这一条件，“哪一条直线才是切线”会使学生感到很困惑．这时．教师不妨引导学生作图来看看．片刻后．教师用PPT展示图2．

通过图象观察．学生很快发现切线是y=2x-1，而x=1不是切线．当学生沉浸在喜悦中时．教师继续追问学生．使学生在已有认知的基础上产生新的冲突．促进新知的学习．

追问1 与曲线只有一个交点的直线一定是曲线的切线吗？

学生有了问题2的求解经历．再来思考追问1就显得很轻松，意识到通过曲线与直线的交点个数来判断其是否为切线是有漏洞的，在教师的引导和追问下．学生又会产生新的疑惑：“该如何判断切线？”“对于一般曲线的切线是如何定义的？”“该怎样去找一般曲线的切线？”等等.

为了弥补学生在认知上的“缺口”．化解认知冲突，体验知识的生成过程，教师引导学生先从圆的切线人手．通过GGB动画演示（如图3所示）．发现圆的切线绕着切点P0逆时针方向旋转一点．直线与圆就会有两个交点．圆的切线就变成了割线．

追问2 反过来．圆的割线运动会不会变成切线呢？

学生本能的反应是．割线运动到达某一个位置时就会变成切线．这时，借助信息技术继续展示运动过程：当割线绕着点P0顺时针方向旋转，直到与圆只有一个交点P0时，割线就变成了切线．

追问3 对于圆这样一种特殊的曲线．我们可以从动态的角度来研究它．对于一般的曲线是否也能用这样的方法去研究呢？

从问题1到追问3．通过教师提问．一步步引导、启发学生发现问题、解决问题，建构新的知识体系．让学生亲身经历数学知识的生成过程．揭示数学的本质，培养逻辑推理能力．感受数学的美．

2．抽象概括，生成概念

同样地，对于一般曲线y=f（x），我们仍然可以从割线逼近得到切线．

问题3 设曲线y=f（x）的图象如图4所示，P0（x0，y0）为曲线上一点，在曲线上任意找一点P作割线P0P.在点P趋近于P0的过程中割线P0P的变化情况是怎样的？

教师先让学生自己作出点P趋势近于P0的部分图象（当点P无限接近P0时，学生感到作图很困难），然后借助GGB动画演示点P趋近于P0的运动过程．让学生直观感受割线如何逼近成切线．观察动画演示后．让学生自己叙述点P趋近于P0的运动过程以及割线P0P的变化情况．

生1：我发现，当点P从P0右侧趋近于P0时，割线P0P越来越接近在点P0处的切线，这和我作图得到的结果是一样的．

师：这位同学回答问题的思路很清晰，结合自己作图的经历描述了点P趋近于P0的运动过程，非常好，其他同学有不同的观点吗？

生2：我和生1得到的结果是一样的，但我作图是从点P0的左侧开始的，为了验证我作图时的猜想．我重点观察点P从P0左侧趋近于P0的运动过程，发现割线P0P也越来越接近在点P0处的切线．

师：这位同学的逻辑思维非常缜密．带着问题观察动画演示．这样的学习效率是很高的．两位同学分别从点P0的左侧和右侧描述了点P运动过程中割线的变化情况．所以我们可以这样定义曲线的切线：在曲线y=f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P（x，f（x））沿着曲线y=f（x）无限趋近于点P0（x0，f（x0））时，割线PoP无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f（x）在点P0处的切线.

追问4 在这里．我们从动态的角度来看．得到了曲线切线的定义．这只是给我们提供了一个判断切线的方法．要求切线的方程还需要知道切线的斜率，该如何求切线的斜率呢？

学生很难想到在某点处的切线的斜率与该点处的导数值有关系，得到切线的定义后．马上追问学生切线的斜率，学生又会产生新的困惑．追问4对学生的逻辑推理能力和数学思维的要求很高，在学生已有认知中没有导数值与切线斜率之间的关系，对于学生来说，回答追问4有一定难度．在本节课，若教师能引导、启发学生突破追问4．学生对导数概念的理解会有质的飞跃．逻辑推理和直观想象素养也会得到提升．

在教学中，教师可以从切线生成的角度来启发学生．切线是由割线无限趋近于一个确定的位置生成的．自然能够得到当割线逼近切线时．割线的斜率就是切线的斜率．学生知道割线PoP的斜率可以用两交点P，Po的坐标表示出来，即kppo=f（x）-f（x0）/x-x0有了前面的学习经验．学生不难得到当点P沿着曲线y=f（x）无限趋近于点Po时，即当△x=x-x0趋近于0时，割线P0P的斜率就趋近于切线P0T的斜率，引导学生回顾导数的定义，学生能够发现某点处的瞬时变化率（导数）就是该点处的切线斜率．引导学生找到导数与切线斜率之间的关系后，由教师总结导数的几何意义.

导数的几何意义：y=f（x）在x=x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim△x→0（f（x0+△x）-f（x0）/△x），切线方程为y-y0=f'（x0）（x-x0）.

学生容易接受从割线斜率逼近得到切线斜率的方法．利用类比思想将切线斜率和瞬时变化率联系起来，进而得到导数的几何意义．整个过程都在学生的认知范围内．知识间的过渡也自然顺畅、一气呵成．

3．数学应用．理解概念

问题4 求曲线f（x）=x2在点（1，1）处的切线方程，并描述曲线f（x）在x=-1，1，2，3的瞬时变化率.

以前学生是用传统的直线与曲线的交点个数来判断直线是否是曲线的切线．即联立曲线与直线的方程．消去y，得到一个关于x的方程，令判别式△=0．解出斜率k．而这里要求学生用本节课所学的知识重新求解问题2．让学生感受导数的工具性价值．对于导数掌握得较好的学生来说，用导数法求解会更方便直接．在描述四个点的瞬时变化率时，绝大部分学生都会想到先算出其导数值再进行描述，这时就顺着学生的思路，引导学生了解导函数这个概念.

由于本节课的主题是导数的几何意义．这时教师通过讲解例题引导学生一起感受导数的几何意义的应用．学生既能巩固新学的知识．又能体会“以直代曲”的思想方法．培养学生数学运算、直观想象等数学素养.

设计说明

本节课涉及的知识有切线的定义、导数的几何意义、导函数（简称导数）．知识间层层递进，与导数的联系密切．主要围绕求曲线的切线这一问题展开，以问题串的形式启发学生思考．有利于发展学生的高阶思维．

本节课分为三个阶段：

第一阶段是引发认知冲突，先通过求解曲线的切线引发学生认知冲突．即让学生感知利用“曲线与直线只有一个交点”来求解切线不适用于所有曲线；再通过曲线割线的运动．启发学生从动态的角度来研究曲线切线的定义．

第二阶段是化解认知冲突．通过割线运动逼近产生切线．得到一般曲线切线的定义，这解决了如何判断直线是曲线的切线问题．由于割线运动产生切线，自然得到割线斜率逼近就是切线斜率．又割线斜率就是平均变化率．平均变化率逼近就是瞬时变化率（也叫导数），引导学生一步步推理得到导数的几何意义．这解决了求曲线的切线斜率问题．

第三阶段是重建知识体系．通过例题比较“联立方程求解曲线的切线”和“用导数的几何意义求解曲线的切线”两种方法．体会导数的工具性价值．得到导函数的概念．渗透“以直代曲”的数学思想.

整堂课以学生为主体．学生已有的经验为中心．在学生认知上建立新的生长点，学生在解决问题的过程中获得新知．重建知识体系，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养．提高分析问题和解决问题的能力．

问题驱动式教学培养数学核心素养的教学思考

问题驱动式教学可以让学生体会数学知识的形成过程，改变传统教学中的单一性逻辑结构．创造多线性交融的教学结构．引领学生深度学习，从而发展“四基”“四能”，培养数学语言和数学思维．发展学生问题意识和质疑精神．例如．在本节课的教学中，以学生的原有认知为基础．引发学生认知冲突，建立更严谨的知识体系．本节课以圆的切线为起点．以问题驱动学生思考，获得新知，这符合切线的产生历史．将导数和切线的斜率联系起来，符合微积分的发展历史．以问题驱动教学，使学生感受到数学知识的生成是符合实际需求的，过渡自然顺畅，因此．在备课时．教师要充分了解学生，找准学生的最近发展区；在教学中，教师要以学生的已有经验为基础，通过不断追问、启发、引导，使学生学会独立思考．

1．问题设计要以教学目标为出发点

问题设计首先应该服务于教学目标．教学目标是教学的出发点和归宿．教学目标是否达成是评判一堂课的标准之一．在明确教学目标之前，要清楚新课标的具体要求．深刻理解教材、了解学生．本节课涉及的切线的概念和导数的几何意义都非常抽象．教师明确好教学目标后，根据学生的整体情况精心设计问题．通过问题串、CCB动画演示帮助学生突破思维瓶颈．由问题引领学生体会、体验知识的生成过程，收获活动基本经验，在最近发展区习得新知，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养．

2．问题设计要立足知识的生成背景

问题源于情境．数学情境是含有相关数学知识和数学思想方法的情境，也可以是数学知识的生成背景．求曲线的切线问题是促使微积分产生的原因之一．切线的产生也是从圆的切线发展到一般曲线的切线，本节课从圆的切线引入，以动态的视角来探究切线的定义，符合数学知识的生成背景．根据学生的认知水平精心设计教学过程，符合数学知识发展的内在逻辑联系．在各个环节中渗透特殊与一般、数形结合、以直代曲等思想方法，使学生感受到数学知识的习得是水到渠成、一气呵成的，培养学生数学抽象、直观想象等核心素养．

基金项目：贵州省民族专项课题“‘三教理念下培养高中生数学核心素养案例研究”（MJ23040）．