关于立体几何最值问题的解法探究与教学建议

徐静

[摘要]立体几何最值问题是高中数学的重难点问题，探究解析问题、总结解题方法、生成解题策略是课堂教学重点．文章引例探究，总结解法，结合实例强化应用，并提出相应的教学建议．

[关键词]立体几何；最值；构造；参数；特殊位置

将平面图形空间化是立体几何问题构建的重要形式．对于该类立体几何最值问题．可将空间图形平面化．降低思维难度，利用平面几何相关知识来解析．该策略适用于折叠型空间几何问题、规则型空间几何问题，解析过程分两步：

第一步．把握几何特征，展开图形；

第二步，把握性质间的关系．利用几何知识解析最值．

策略2：构造函数，妙求最值

函数也可作为解析工具．应用于立体几何最值问题的求解中，即利用函数的性质（函数的值域、单调性等）分析最值．或构造函数后利用均值不等式求最值，解析过程分两步：

第一步，分析几何条件．设定变量，构造该变量的函数；

第二步，根据函数特征，确定求解方法，如“配方法”“求导法”“单调性法”“均值不等式法”等，解析最值．

策略3：特殊位置，确定最值

对于空间几何最值问题．还可以通过研究特殊位置来解析，如通过分析动点、动线段的轨迹求最值，解析过程也分两步：

第一步，分析几何运动，准确把握运动中的临界点、极限点，构建模型；

第二步．根据模型分析运动变化，确定最值情形．求解最值．

应用探究

上面总结了三种立体几何最值问题解析策略．下面结合实例展开应用探究．

1．侧面展开．巧求最值

例1如图2所示．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，点P在侧面BCC1B1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面BCD的距离与它到点B的距离之和最小是_____.

分析本题以正方体为背景．构建空间动态模型．求解距离之和的最小值，求解时可采用“侧面展开”策略．将正方体展开为平面图形．利用空间与平面的性质关系，构建距离模型，解析最值.

评析上述求解先设定具体几何模型，分析点的运动轨迹，以及图形周长的变化规律．然后结合几何周长与面积之间的关系确定最值情形．

教学建议

上面针对立体几何最值问题展开解法探究，总结了三种常用策略，下面结合教学实践提几点建议．

1．挖掘问题特征．提取几何模型

立体几何最值问题是高中数学的重难点问题，其题设条件、图形特征较为特殊．串联了代数与几何相关知识．探究解析时要理解立体条件．挖掘特性特征．结合关联知识转化问题：要注意提取几何模型，如上述提取的翻折模型、正方体截面模型等，教学引导分三个阶段：第一阶段，理解题干条件，读懂空间几何；第二阶段，挖掘几何特征、性质；第三阶段，数形结合，构建解题模型．

2．总结问题解法，形成解题策略

立体几何最值问题类型多样．解法也不唯一（上述探究就总结了三种常用策略）．因此，在解题教学中，教师要引导学生主动总结问题解法．完善对应策略，方法探究总结可按如下思路进行：引例探究—解后分析—方法总结—应用强化．即提炼解法，生成策略．拓展应用．强化解法．方法探究总结要注意两点：一是探究总结要包括方法含义、解题思路、问题题型等内容；二是细化构建过程，完善分步策略．

3．感悟解题方法．体会数学思想

解法探究是拓展学生思维、提升学生解题能力的重要方式，在探究教学中，教师要引导学生感悟解法．体会其中的数学思想．例如“构造函数”策略．就隐含了构造思想、化归与转化思想等．教学引导可从以下三个方面进行：一是从思路过程进行引导．让学生思考构造函数的方法；二是从思想内涵进行引导．让学生感悟“构造”的含义；三是从思维层面进行引导．让学生体验构造过程．感知应用思想方法解题的便利．