两道征解题的多解探究与统一推广

广东省佛山市石门实验学校(528200) 李辉义

安徽师范大学数学与统计学院(241002) 曹明响

1 引言

《数学通讯》2023 年第2 期问题征解系列有如下两个问题:

2 三个引理

为证明主要结论,先引入三个引理.

证明(1)p=q+1 时,即为我们所熟知的权方和不等式,此时结论成立,这里不再证明.

(2)p ＞q+1 时,由(1)的结论和幂平均不等式可得

综上,引理3 得证.

3 问题的证明

3.1 问题1 的证明

证法2由引理3 可得

不妨设a≥b≥c,则有a2≥b2≥c2,从而,由切比雪夫不等式得

3.2 问题2 的证明

证法1由均值不等式有a2+1 ≥2a,可得

4 问题的统一推广

推广1设a,b,c,k都是正数,p,m,n ∈N+,a+b+c=3s,m≥n≥p,则有

(2)p=n时,由1○的证明显然可得.

注需要说明的是m≥p ＞n时不等式仍然成立,这从证明的过程中显然可以得到,因此本题条件可放宽至m≥max{p,n},在推广1 中取s=,m=6,n=3,p=2,k=2即为问题1,取s=1,m=3,n=2,p=1,k=即为问题2,在证明的过程中,我们发现了两个特殊情况.

1○m=2 max{n,p}时,还可以通过问题1 的第二种证明思路来证明,先利用引理3 放缩,再运用切比雪夫不等式也可证明结论.

在推广1 中,取s=p=2,n=3,m=4,k=5,可以得到以下试题:

改编题1已知正数a,b,c满足a+b+c=6,证明:

后续证明由推广1 的证明可得,这里不再赘述.

在推广2 中,取k=λ=4,b1=2,b2=3,b3=4,b4=5,c1=2,c2=8,c3=5,可以得到以下试题:

改编题2已知正数a,b,c,d满足a+b+c+d=4,证明: