圆锥曲线一类斜率乘积为定值、动点轨迹为圆的优美性质

重庆市綦江中学(401420) 晏炳刚 刘燕

圆锥曲线运动试题模型中,随着点或线的运动,整个体系中关联的点、线、角度、斜率、距离、面积等跟着联动起来.运动变化过程中几何特征或数值的不变性是值得思考和关注的.因此定点、定值等不变特征问题成为这类题目教学研究、考试命题的重要素材.基于此,本文对一道高三联考双曲线题目作背景探究和类比推广,得到了运动中不变性即斜率乘积为定值和到定点距离为定长(点在圆上)的结论.

1 题目分析

题目(23 年11 月浙江9+1 联盟高三联考) 已知双曲线E:=1(a ＞0,b ＞0)过点Q(3,2),且离心率e=2.F2,F1是双曲线E的上下焦点,双曲线E在Q处的切线与圆F2:x2+(y-c)2=10 交于A,B两点.

(1)求ΔF1AB面积;

(2)点P为圆F2上的一动点,过P作双曲线E的两条切线,切点分别为M,N,记F1M,F1N的斜率分别为k1,k2,证明k1k2为定值.

分析第(1)问先求双曲线方程为y2-=1,再由切点求出切线方程为2y-x=1,最后由切线方程和圆方程联立求得面积为第(2)问是因点P在圆F2上运动而产生的运动系统,并证明运动系统中的不变性即斜率乘积为定值.解答此问路径为: 先设P坐标P(x0,y0),并由切点弦知识写出切点弦MN方程,再联立直线MN与双曲线方程得韦达定理,最后用韦达定理和P(x0,y0)满足的式子代入k1k2的式子化简得定值为详细过程略.

2 结论探究

中国高考评价体系要求“设置新颖的试题呈现方式,促使学生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论”[1],结合阅读文献[2-3]的研究思路,做完此题,不难有以下思考:

(1)在一般的双曲线背景下是否有斜率积为定值;

(2)点P运动的圆F2半径有无具体要求;

(3)双曲线焦点在x轴后,结论会有什么变化.带着这些问题研究后有下面结论.

结论证明过程略,由结论知道焦点在x轴和y轴时,斜率积互为倒数,且式子结构都为有关离心率的一个对称优美简洁的式子.

3 横向类比

横向类比到椭圆中有以下结论3 和4.

需要注意的是结论1-4 中,没有指出的特殊情况即直线中有一条斜率不存在时,此刻另一条直线斜率为0.

4 逆向探索

需要说明的是,结论5 和8 中,特殊情况即直线F1M,F1N中有一条斜率不存在时,另一条直线斜率为0,此刻正好可以把P的轨迹补足为整圆.

5 优美结果

由8 个结论知道:

(1)焦点在x轴时,双曲线和椭圆结论是一致的;焦点在y轴,结论也是一致的.区别是焦点在x轴和在y轴时,斜率积互为倒数.

(2)点P所在圆半径平方为2(a2+c2),此结构形式简洁优美.

(4)直线F1M,F1N中当一条斜率不存在时,另一条斜率为0.在椭圆背景中,当考虑这个因素,那么P的轨迹为整圆.

6 结束语

圆锥曲线运动体系下的定点定值定线问题,以其题目多样、背景丰富、理论经典、结果优美而得以长盛不衰.师生在解析几何的题目探究中,无论题目运动变化怎样,寻找变化中的不变性,得到优美简洁的结论,是数学解题的美妙所在,也是培养训练学生数学关键能力的重要途经.教师在此类题目教学上,学生在此类题目的解答里,就不能仅仅思考一般解答过程,更应探究一般情况下的变化中的不变性,若能寻找优美简洁结论更好.只有如此,才能高效培养学生核心素养,并使得考题研究真正能走到“立德树人、服务选材、引导教学,实现高考的核心功能”这一步.