一道圆锥曲线试题的探究与推广

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

试题已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的动直线l交椭圆E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与直线AB交于点T,点H满足证明: 直线HN过定点.

解析易得椭圆E的方程为=1.先考虑过P的两条特殊直线l1:x=1和l2:y=-2x,分别得到对应的直线HN,这两条直线的交点即定点,通过计算发现定点是A.然后考虑一般情况,设直线l的方程为y=k(x-1)-2,得到M,N,T,H的坐标后,验证直线HA和直线NA的斜率相等(或同时不存在),即可说明直线HN过点A,于是得到解法1.但是解法一运算量较大,能否改进方法,减少运算量? 本文经过探究,发现利用直线l的参数方程,可减少运算量,于是得到解法2.

2.若l的斜率不存在,则l的方程为x=1,同解法一可得直线HN也过点A.所以直线HN过点A.

在试题中,点P,A,B有什么特殊性呢? 经过探究发现,直线PA,PB与椭圆E相切,切点分别为A,B,直线MT平行于x轴,即直线MT平行于PA,T为线段MH的中点.设直线NT与PA交于点C,由H,N,A三点共线可得C为线段PA的中点.本文经过深入探究,将试题一般化,得到以下结论.

结论1点P在椭圆E外,过P作椭圆E的切线,切点分别为A,B,线段PA,PB的中点分别为C,D.过P的动直线l与椭圆E交于M,N两点,过M作PA,PB的平行线,分别与直线AB交于点T,S,则C,T,N三点共线,且D,S,N三点共线.

由MT//PA,MS//PB可得T,S的坐标,然后通过计算得到kT C=kNC,kSD=kND,从而推出C,T,N三点共线,且D,S,N三点共线.这种方法思路可行,但是运算量太大,有没有减少运算量的更好的方法?

结论2点P在圆E外,过P作圆E的切线,切点分别为A,B,线段PA,PB的中点分别为C,D.过P的动直线l与圆E交于M,N两点,过M作PA,PB的平行线,分别与直线AB交于点T,S,则C,T,N三点共线,且D,S,N三点共线.

解析由于结论2 与坐标系无关,为了方便计算,以圆心E为坐标原点,直线AE为y轴,建立平面直角坐标系.

本文通过仿射变换,将椭圆变成圆,通过证明圆中的结论2,从而证明椭圆中的结论1.能否不将椭圆仿射成圆,直接证明结论1 呢? 在结论1 中,注意到直线AB是点P的极线,本文经过深入探究,利用极点极线的性质,直接证明结论1.

在证明结论1 之前,先简单介绍椭圆中极点和极线的相关知识.

引理1已知椭圆E:=1(a ＞b ＞0),点P(x0,y0)不在椭圆E上,且P与原点不重合.

(1)过P的直线l与椭圆E交于A,B两点,l上存在异于P的点Q满足AP·BQ=AQ·BP(点P,Q调和分割线段AB),则Q在P的极线上;

(2)过P的直线l与椭圆E交于A,B两点,与P的极线交于点Q,则AP·BQ=AQ·BP(点P,Q调和分割线段AB).

结论1 的证明设l与直线AB交于点Q,注意到直线AB是点P的极线,由引理1得PM·QN=PN·QM.于是

对于双曲线和抛物线,有类似的结论.

结论3点P在双曲线E外(P不在双曲线E的渐近线上),过P作双曲线E的切线,切点分别为A,B,线段PA,PB的中点分别为C,D.过P的动直线l与双曲线E交于M,N两点,过M作PA,PB的平行线,分别与直线AB交于点T,S,则C,T,N三点共线,且D,S,N三点共线.

结论4点P在抛物线E外,过P作抛物线E的切线,切点分别为A,B,线段PA,PB的中点分别为C,D.过P的动直线l与抛物线E交于M,N两点,过M作PA,PB的平行线,分别与直线AB交于点T,S,则C,T,N三点共线,且D,S,N三点共线.

接下来给出结论4 的证明.