高观点视角下的函数极限保不等式性问题及高考应用

陕西省榆林市吴堡中学(718200) 郭蒙

陕西省榆林市吴堡县教学教研室(718200) 薛小强

《普通高中数学课程标准》(2017 年版2020 年修订)第88 页在考试命题原则中强调: 考查内容应围绕数学内容为主线,聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧.把握数学核心概念的本质,明晰什么是数学的通性通法[1].在第97 页中强调: 我们教师应关注理解与高中数学关系密切的高等数学的内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质[1].函数极限保不等式性属于必要性探路的一种特殊方法,是一种通性通法,本文主要研究其在导数压轴题中的应用.

1 保不等式性[2]

定理设=c.如果存在实数δ ＞0.对满足0＜|x-a|＜δ的x,都有f(x)＜g(x),那么b≤c.

证明因为=c,所以对任给的ε ＞0,分别存在正数δ1,δ2,使得当0＜|x-a|＜δ1时有b-ε ＜f(x);当0＜|x-a|＜δ2时有g(x)＜c+ε.令δ3=min{δ,δ1,δ2},则当0＜|x-a|＜δ3时,再利用不等式f(x)＜g(x)与上两式,就有b-ε ＜f(x)＜g(x)＜c+ε,从而b ＜c+2ε,由ε的任意性知b≤c.

评注此定理是大学《数学分析》的课程内容,现已调整到数学选修课程A 类微积分一书中第二章函数的极限第26页,这样处理为学生高等数学的学习打下坚实的基础.由定理的证明过程知,条件中的f(x)＜g(x)改为f(x) ≤g(x)时,结论仍然是成立的,详细证明参考文献[3]第49 页.

2 函数极限保不等式性在导数中的应用

例1(2023 年高考全国乙卷数学(理) 16 题)设a ∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____.

解法1极限保不等式性+必要性探路

注意到f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a) ≥0 在(0,+∞) 上恒成立,由极限保不等式性质得,lna+ln(1+a)≥0,解得≤a ＜1.下证充分性.

评注此题利用参数将两个指数函数巧妙组合,要求考生利用单调性得到参数的取值范围,试题注重基础,强调函数基本性质,导数的概念,性质,运算法则与应用,符合基础性、综合性、应用性、创新性的要求,突出了函数与导数基本性质之间的关联,利用极限保不等式性得到参数范围,在充分性证明即可,此法为分类讨论法提供了参数的分界点.

解法2分类讨论

评注利用方法一得到的参数分界点进行分类讨论,缩小了参数的范围,降低了思维的成本.

解法3端点策略

由题意可得f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0 在(0,+∞)上恒成立,f′′(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,因此f′(x)在(0,+∞)上单调递增,f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立等价于f′(0) ≥0,解得≤a ＜1,故a的取值范围为

评注此题也可以这样解答,由f′(x)≥0 可得

例2(2023 年新课标全国ⅠⅠ卷数学第6 题)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为()

A.e2B.e C.e-1D.e-2

解法1极限保不等式性+必要性探路

评注试题通过导数将函数的单调性、不等式知识有机融合到问题情境中,考察全面,试题重视基础,考察学生化归与转化的能力,能够很好地引导中学数学教学,有助于实现高考立德树人、服务选材、引导教学的核心功能,利用极限保不等式性得到参数范围,在进行充分性证明,此法是一种通法.

解法2分离参数

评注先对a进行分类讨论,再将参数a分离出来,也可将其转化为≤a,再求出参数a的范围.

例3(2023 年高考全国乙卷文科第20 题) 已知函数f(x)=(+a)ln(1+x),若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.

解法1 极限保不等式性质+必要性探路

由题意得f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因此

评注利用极限保不等式性质,缩小了参数a的范围,在检验其充分性,完美解答,在解题过程中,利用对数单身狗,可以减少求导次数,从而减少运算量.

解法2分类讨论

评注利用极限保不等式性质得到参数a的分界点,以此分界点展开分类讨论,进而完美解答此题,综合考察了考生的逻辑推理、运算求解和推理论证能力以及分类讨论的思想.

评注以方法一中的3 为分界点进行分类讨论,本解法要求学生具有较强的数学运算能力,当a ＞3 时,可以直接对原函数进行放缩或者利用导函数找矛盾区间(矛盾点).

解法3分类讨论+连续函数局部保号性

评注以方法一中的3 为分界点进行分类讨论,当a ＞3时利用连续函数局部的保号性得到g(x)在(0,δ)上大于零,得到矛盾,进而得到参数的取值范围,解题过程中用到了连续函数的保号性.

例5(2023 年高考全国甲卷文科第20 题) 已知函数f(x)=ax-,x ∈(0,),若f(x)+sinx ＜0,求a的取值范围.

解法1分离参数+极限保不等式性质

评注利用极限保不等式性缩小了参数的范围,在进行充分性证明,使得问题得以解决,此法为我们用分类讨论解题提供了参数的分界点.

解法2切线放缩法+分类讨论法

评注本解法要求学生具有较强的数学运算能力,当a ＞0 时,利用切线不等式sinx ＜x,x ∈(0,) 放缩,推导出矛盾,进而得出参数a的取值范围,本题其它解法见文献[5]-[7].

例6(2023 年高考新课标ⅠⅠ卷第22 题)

(1)证明: 当0＜x ＜1 时,x-x2＜sinx ＜x.

(2) 已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

评注此解法充分利用极值点的概念,由于极值点为函数的局部性质,只需将区间限制在充分小的区间上,再利用极限保不等式性,得到答案的必要条件,使得参数范围缩小,在进一步验证充分性,完美解答此题,此题其它解法见[4].

3 应用提升

题1(2019 年高考新课标1 文数第19 题) 已知函数f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.

(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;

(2)若x ∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.

解析(1)略;(2)a的取值范围是(-∞,0].

题2(2018 年新课标3 卷理科第21 题) 已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,证明: 当-1＜x ＜0 时,f(x)＜0;当x ＞0 时,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

解(1)略;(2)a=-

题3(2016 年高考全国2 卷文科数学第20 题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)当a=4 时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)当x ∈(1,+∞)时,f(x)＞0,求a的取值范围.

解(1)略;(2)a的取值范围是(-∞,2].

4.总结

函数极限保不等式性是解决导数恒成立问题的一把利器,是一种通性通法,在高三复习时,要重视教材的基础作用和示范作用,讲清数学概念、原理、方法等,落实四基、四能.对导数中的一些经典问题既要讲清通性通法的求解,又要深入挖掘其中的本质,优化解题方法,要不厌其烦地将其中的分析求解过程呈现给学生,培养学生的分析推理能力,优化学生的思维品质,提升学生数学核心素养.由于历年高考试题具有较强的指导意义,因此要加强真题研究,挖掘高考题的作用,举一反三、融会贯通,进而提升备考效率,希望本文对读者的学习有一定的启发作用.