《数学通讯》628 问题的多解探究及变式推广

贵州师范大学数学科学学院(550025) 徐凤旺 尹正波 成敏

1 问题呈现

分析这是《数学通讯》2023 年第9 期问题解答的628问题,求函数的最值问题.可以看出该题的条件式子和结论结构对称,具有数学的美感.本文拟对该题的求解方法、变式及推广做进一步的探究,与大家一起分享.

2 问题解析

分析此解法首先根据问题中等号成立的条件通过基本不等式进行放缩,对式子进行配凑并再次结合基本不等式,即可求得E的最大值.

解法2(基本不等式+权方和不等式)由基本不等式得

分析此解法首先利用基本不等式进行放缩,然后结合权方和不等式即可求得E的最大值.

分析此解法将其转化为函数问题,利用函数切线的性质求得E的最大值.

分析此解法通过对函数二阶求导,与函数的凹凸性结合起来,利用琴生不等式即可就得E的最大值.

3 问题变式

变式1(2022 年克罗地亚女子MO 试题) 已知正数a,b,c,d,满足a+b+c+d=4,求证:

分析此变式是通过改变条件式子和不等式左边每一项分母的未知数的幂得到的,证明方法与解法2 类似.

故变式2 得证.

分析此变式是通过改变条件式子和不等式左边每一项的分母的结构得到的.

分析变式3 和变式4 是通过改变条件式子和不等式左边每一项的结构得到的,其证明方法分别与下面的推广6 和推广8 的证明方法一致.

4 问题推广

分析此推广是在不等式的基础上,将条件式子从“2”推广到“4”,不等式左边每一项分母的常数项从“2”推广到“λ”得到.

分析此推广是在推广1 的基础上,将不等式左边每一项分母的未知数的幂从“2”推广到“m”得到的.

推广3已知正数a,b,c,d,满足a+b+c+d=4,m ＞1且m ∈N*,λ≥m-1,求证:

分析此推广是在推广2 的基础上,将不等式左边每一项分母的结构从二项推广为三项得到的.

推广5已知正数a,b,c,d,满足a+b+c+d=4,mn且m,n ∈N*,求证:

分析此推广是在变式3 的基础上,将不等式左边每一项分母的未知数的幂分别从“4”和“3”推广到“m”和“n”,分母的常数项从“5”推广到“m+n-2”.

推广7已知正数a,b,c,d,满足a2+b2+c2+d2=4,m ∈N*,求证:

分析此推广是在变式4 的基础上,将不等式左边每一项分母的未知数的幂分别从“4”和“4”推广到“m”和“m”,分母的常数项从“6”推广到“2m-2”.

分析推广4、推广6 和推广8 分别是在推广3、推广5和推广7 的基础上,将条件式子的“4”推广到“µ”,未知数的个数从“4”元推广到“n”元得到的,推广的形式不变.

上述推广1 到推广8 的证明方法与解法2 类似,下面给出推广4、推广6 和推广8 的证明过程,其余推广的证明过程不再叙述.

推广4 的证明由基本不等式的推广得

推广6 的证明由基本不等式的推广得

推广8 的证明由基本不等式的推广得

故推广8 得证.