2023 年宜春联考第11 题的解法探究及变式拓展

江西省宜春市第九中学(336099) 范水平 黄亚玲

圆锥曲线试题综合性较强,每年高考必考,重点考查学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养.在日常教学中,核心素养主要表现在数学方法应用和解题思想方面.基于以上理念,笔者对宜春十校联考第11 题D 选项的解法进行探究,并对结论进行推广、教学反思.

1 试题呈现

题目已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点,O为坐标原点,M为x轴正半轴上一点,过B作C的准线的垂线,垂足为B1,AB的中点为E,则()

A.若|BB1|=2|OF|,则四边形OFBB1的周长为3+

B.若|AF|=3,则ΔAOF的面积为

C.若|AB|=6,则E到y轴的最短距离为3

D.若直线AB过点M(2,0),则为定值

2 解法探究

以下仅考虑D 选项的解答.

解法1(直线普通方程)

评析圆锥曲线问题解决的一般策略: 设直线方程、联立方程、消元化简、韦达定理、判别式、代数运算、检验等.

解法2(平移法)

评析本题的背景就是斜率之和为定值问题,针对此类问题可以通过平移(齐次化)转化到过原点的几何度量问题,求解过程简洁易懂.

解法3(向量法)

解法4(几何法)

评析作垂线并利用三角形相似是几何法解决圆锥曲线常采用的手段.

解法5(直线参数方程)

评析题目中出现|MA|,|MB|,点M又是定点,自然想到直线参数方程中t的几何意义,利用参数方程法可以把目标式子直接化为韦达定理形式,计算简洁高效.

3 拓展推广

2023年宜春十校联考第11 题已知的抛物线可以改为一般的抛物线,M(2,0)改为M(p,0),可以得到一般性的结论.

定理1已知抛物线C:y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点,若直线AB过点M(p,0),则

定理1 条件不变,可以得到如下结论.

定理2 的结论kNA+kNB=0 作为条件,可得到如下结论.

4 反思

4.1 重视基本概念,构建思维导图,加深本质理解

解析几何教学要注重有关概念复习并对概念本质进行剖析,在概念复习的基础上加强知识内在逻辑思维导图构建,特别是二轮复习,一方面师生一起完成数学知识导图创建,还要加大在整体框架基础上的微专题复习力度.总之,只有理解概念本质,才能构建良好的思维导图,且思维能力,核心素养都将得到一定提高.

4.2 注重数学运算,提高核心素养

解析几何避免不了代数运算,研究发现,在日常的解析几何教学过程当中,学生碰到的一大难题就是数学运算.圆锥曲线综合题的代数运算一般比较大,比如联立方程,代入化简计算常出现错误.在解法1-5 的教学探究过程中,教师不能只讲思路而点到为止.除了分析问题过程,解法路径,教师还要舍得花时间和学生一起进行数学演算,在演算过程当中,教给学生一定的计算技巧并进行针对性训练.

4.3 探究典型试题解法,变式训练能力

通过对解析几何典型题的解法探究,训练学生解析几何的一般思路.在研究当中,多总结反思,加强对解析几何问题本质的理解,为什么要这样设方程? 设别的形式行不行? 为什么要联立? 为什么可以联立? 消元消哪个比较好? 要不要考虑判别式? 降低代数运算难度的方法技巧有哪些? 求定值、最值模型的方法有哪些? 通过变式训练检测能力.解析几何的变式一般有: 一般化,类比,结论条件反置,强化弱化条件结论.