多角度探究等差数列乘等比数列求和问题

江苏省南京市板桥中学(210039) 纪明亮

等差数列与等比数列是高中数学中的两个最基本的数列.很多数列是由等差数列与等比数列组合而来,等差乘等比数列就是等差数列和等比数列的一种重要组合形式.等差乘等比数列可以概括为数列{(an+b)qn-1},(q0,q1),那么,这类数列如何求和呢? 因为(an+b)qn-1=anqn-1+bqn-1,其中bqn-1项在b0时构成等比数列,所以该项求和可根据等比数列求和公式,则数列{(an+b)qn-1}求和关键是对其中anqn-1项求和,其实就是对nqn-1项进行求和.下面对nqn-1项的求和展开探究.

问题设数列an=nqn-1(q0,q1),求数列{an}前n项和Sn.

1 错位相减求和

评析教材[1]中等比数列求和公式的推导就是运用错位相减消去中间项剩下首位两项得到的.等差数列乘等比数列的求和通过错位相减则能将其转化为等比数列求和,这是对教材中的错位相减法的拓展延伸,因此,这也是求等差数列乘等比数列前n项和的基本方法.

2 分组构造求和

解法2因为an=nqn-1,所以Sn=1+2q+3q2+···+(n-1)qn-2+nqn-1,则

评析将展开式进行分组

各组是等比数列求和,各组的和重新组合又能构成新的等比数列求和.即将等差数列乘等比数列求和转化为两个阶段的等比数列求和.

评析Sn展开式还可分组为

各组仍是等比数列求和,各组的和重新组合也能构成新的等比数列求和.其思路与解法二相同,只是分组方式不同.

3 待定系数法构造等差或数列求和

解法4因为an=nqn-1,所以当n≥2 时,Sn-Sn-1=nqn-1,则构造等差数列{Sn+(xn+y)qn},设Sn+(xn+y)qn=Sn-1+[x(n-1)+y]qn-1,则

4 运用导数求和

解法6因为将q看作变量有(qn)′=nqn-1,所以

评析根据幂函数的求导法则(xn)′=nxn-1,及和函数的求导法则(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x),则Sn=1+2q+3q2+···+(n-1)qn-2+nqn-1=(q+q2+···+qn)′,即可求出Sn.求导可以降阶,这种方法可以推广[x(xn)′]′=n2xn-1,则数列bn=n2qn-1(q0,q1)的前n项和

等差数列是以相邻两项差值关系建立的数列,等比数列是以相邻两项比值关系建立的数列,差值关系与比值关系是数学中的基本相互关系,因此,等差数列与等比数列是两大基本数列.很多数列是由等差数列与等比数列组合而来,等差乘等比数列就是等差数列和等比数列的一种重要组合形式.数列是一种特殊的函数,等差乘等比数列求和更是一类重要的函数模型.本文从等差数列与等比数列角度进行错位相消,各项重新组合,重新构造等比数列或等差数列求和,从函数角度求导求和.得到了一系列探究等差乘等比数列的前n项和的方法.与此同时对每种方法还进行了拓展探究,使知识得到升华.

5 结束语

等差乘等比数列的求和问题蕴含丰富的数列知识,很多数列思想方法及函数思想方法在这里交汇,是数列教学的优秀素材.因此,对等差乘等比数列求和问题进行系统探究能让学生厘清等差等比数列的内在深层次的含义,同时完备数列知识形成完整的知识体系.成体系的探究学习数学知识对学习数学至关重要,能使学生理解知识的本质内涵,还可将碎片化的知识点编制成网,形成完整知识体系.学生亲历探究的过程更能提升学生抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模能力,促进学生数学核心素养的发展.