“多题一解”视角下的高考数学解题教学——椭圆焦半径公式推导及在高考解题中的应用

南京市天印高级中学(211100) 袁根福

1 问题的缘起

课堂解题教学中,提倡多角度、多解法、多层面看待和解决问题的教学方式诚然对培养学生发散性思维、创新思想等关键能力大有裨益,在此基础上帮助学生形成创造性学习模式、批判性认知模式,以期发挥数学的育人价值.但就目前高中数学教学实况而言,相当一部分学生达不到中档题与难题一题多解的思维水准.甚至部分基础扎实的学生在学习多种解法时不求甚解,或长时间后遗忘,导致考试过程中因解法多样,无法在短时间内调取解决问题的关键逻辑通路,运算指向不明而导致答题失败,浪费大量时间.“多题一解”教学方式在上述问题和要求的基础上被提出,教师指导学生主动发现不同数学问题中的联系与共性,寻求通性通法,为不同层次学生提供适合自己的解题范式,从知识本位向学生中心转变,提高高中数学教与学的质量.

2 椭圆焦半径公式推导及在高考解题中的应用

问题解决的本质要牢牢契合思维发展的本质: 知其然,知其所以然,公式的学习并不是简单地记忆与套用.公式的推导是理解、记忆、掌握和应用的基础,公式推导的过程给学生呈现的应当是一种甚至多种问题处理的新的思维方式或运算技巧.焦半径公式的推导即可从两点间长度处理的通法——两点距离公式或椭圆的第二定义展开,明晰公式的算理可以帮助学生更好地应用公式解决相关高考问题,从容应对高考.

2.1 焦半径公式的推导

荷兰数学教育家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中写到: 学一个活动的最好方法是做[1],焦半径公式熟练使用的前提是学生理解并掌握公式的推导与生成过程,并将之内化到自身的知识结构与体系中.从学生解题的基本活动经验出发,椭圆=1 两焦半径PF1,PF2,F1(-c,0),F2(c,0)分别为椭圆左右两焦点,P(x,y)为椭圆上任意一点,x ∈[-a,a].本质上为两点间的线段,故可使用两点距离公式证明;从学生概念学习的基本思想出发,依据椭圆第二定义,椭圆上任意一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比为一个常数,这个常数就是椭圆的离心率以左焦点F1为例,=e.

下面介绍焦半径公式的两种证明方法(本文只研究焦半径长与点P位置间的关系,对焦半径其他形式的推导与呈现不作赘述).

2.2 高考真题中的应用

理在用中方识妙,学生在关于原理性知识的运用中,熟悉知识的结构,从而理解知识,记忆知识,进而掌握知识.在椭圆中存在着至简的焦半径公式,如何应用到解决具体问题中去呢? 我们看几个例子:

例1(2019 年高考全国ⅠⅠ卷(文)第20 题)已知点F1,F2是椭圆C:=1(a ＞b ＞0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.

(1)若ΔPOF2为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且ΔF1PF2的面积等于16,求b的值与a的取值范围.

分析(1)略;(2)由题意知,PF1·PF2=(a+ex)(aex)=a2-e2x2=16×2=32.又有勾股定理+==4c2,即(a+ex)2+(a-ex)2=2a2+2e2x2=4c2,e2x2=2c2-a2=c2-b2≥0,a2-(c2-b2)=32,

则2b2=32,b=4.a2=c2+b2≥2b2=32,a≥

本题作为必做题倒数第二题,主流参考答案无外乎需借助向量数量积为0 或斜率之积为-1,再联立点P纵坐标与面积的关系求解,大量的演算过程随之伴生,给学生解题造成困难.但学生若能善用焦半径公式解决本题,不仅可以绕开对图形的观察,还能将演算锁定在点P横坐标,运算程序优化,在高考中脱颖而出.

例2(2021 年新高考Ⅰ卷第5 题) 已知F1,F2是椭圆C:=1 的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为()

A.13 B.12 C.9 D.6

分析利用焦半径公式可知

分析∠F1PF2作为椭圆两焦半径的夹角,OP此时也作为中线,立刻可以联想到以极化恒等式为媒介,将焦半径和所求联系起来,设点P(x,y),即

解得x2,回代得|OP|.一道单选压轴题,利用焦半径公式一步得到答案,深刻体现了知识间的紧密联系,强化了形与数之间的联系,不仅能培养学生理性思维,还能在此间渗透数学运算这一核心素养.

上述三道题都是新课标背景下近五年高考对椭圆焦半径相关计算的考察,外延考察形式不同,内核思路一致.当然,这三道题也有其他优秀的解法,但在审题时,以焦半径为知识起点与思维“启点”,这一类题型都可以被焦半径公式“秒杀”,不仅可以缩短学生的思考和运算时间,还能极大增强学生在后续答题中的自信心,兼顾智力因素与非智力因素,可谓一举两得.2019～2023 年各高考卷也不乏有双曲线与抛物线焦半径的相关题型,若以椭圆焦半径的研究为生长点,促使教师与学生对另两类圆锥曲线的焦半径作出思考,进行类比与迁移,以此提升自身能力与素养,从而决胜高考.

3 “多题一解”教学模式的应用策略

一线教师精研解题与教学,陈述性知识积累丰富,问题处理的程序化手段多样,在高等教育期间也接受过数学学科专业知识与技能培训,多题一解对教师而言可谓信手拈来.但学生囿于数学思维、知识体系、学习经历、学习方法,多题一解的模式对学生来说几乎是全新的、困难的,教师要试图打破这一困境,就要从自身出发,不断提升自身的教学水平,换位思考,尊重学生的认知规律与知识发展规律,适时利用专题教学在“多题”的题组设置中帮助学生认识“一解”的共性,提升学生能力.

3.1 精研课标,精选问题

“精选课程内容,处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系”[2]在《普通高中数学课程标准(2017 年版2020年修订)》中作为课程育人的基本理念被提出.多题一解的施教过程是一个具体到抽象,特殊到一般的过程,它是师生协同从“多题”向“一解”中所含共性推进的一个抽丝剥茧的过程,题的选取是考验教师备课水平的关键.

从宏观教学理念而言,新课程标准颁布,国家和人民对教育的要求进一步提高,人才选拔制度得到进一步完善.在这种新的社会与时代背景下,教育教学人员基于课程标准对数学问题的思考、编写和创新得到进一步加强,也体现在了近几年高考命题的过程中.这就要求教师要熟悉课程标准,利用好这些优秀的教育教学资源,以课程标准为指导进行选题教学.在一线教学过程中,不断学习,不断思考,与时俱进地更新自身的眼界和脑海中的问题库.教师题库容量的多寡很大程度上决定着“多题”的水平,最终也会影响学生对“一解”中共性的理解与掌握.

从微观课堂教学而言,基于维果斯基的“最近发展区”理论,教师选题应重视班级全体学生的实际学情,使用好学生历次作业与统计手段明确学生学情所对应数学问题的难度系数范围,在同一知识技能体系与框架下设置一定难度跨度,激发和提高学生的课堂参与度,以面向全体学生.若将问题都设置于“现有发展区”,则学生无法感受到学习带来的挑战性,就会产生消极怠学的情绪.相反,如果跨度太大,就会加重学生的学习负担而产生逆反厌学的心理[3],所以选题要遵从基础性和发展性两个原则,为全体学生的发展提供共同的基础,在全体学生收获“多题一解”中共性的同时,随着难度水平与思维层次的拔高,不同的学生在学习中汲取不同的收获.

3.2 尊重规律,改进教学

高考试题的命制主要围绕对学生数学学科核心素养的考查展开,故数学教学活动的开展应以发展学生数学学科核心素养为导向,但数学学科核心素养的形成不是一蹴而就的,它依赖于教师通过高考题、教材等教育媒介施教下的学生内在生成与建构.“多题一解”数学教学模式中,课程内容的呈现,应注意数学发展的规律,以及人们的认识规律,体现从具体到抽象,特殊到一般的原则[4].总的来说,教师在进行“多题一解”教学时,教师为主导,学生为主体,要充分尊重学生的认知规律与知识的发展规律.

从学生认知规律的角度出发,学生的知识建构与思维发展依赖于学生熟悉的现有经验,这也是建构主义的基本理论之一.教师在施教前与施教时要注意学生现有的经验水平,以施教内容衔接学生的新问题与旧经验.“多题一解”的施教方式要契合学生的心理偏好,如利用焦半径公式进行高考解题教学时,以上文3 个例题为例,上文例题的呈现以时间线为序,但在解题教学时,首先应呈现例2,例2 难度较低,以图形辅助,学生很容易就能从现有经验中调取焦半径公式解决问题.例3 的图形接着呈现,让学生主动寻找两题求解中都无法避开对焦半径PF1,PF2求解的共性,最后呈现例1,同样方法求解,由易到难,在变化中找共性,符合学生认知.

从知识发展规律的角度出发,教育心理学将学生学习的知识大体分为两类,陈述性知识与程序性知识,前者为公式、定理、概念等记忆性内容,后者为解题技能、运算技巧等特定的程序化操作,陈述性知识是程序性知识的操作基础,程序性知识的使用反过来强化陈述性知识的记忆.本文例举的3道例题“一解”的核心技巧都是焦半径公式的使用,其使用基础是焦半径公式的推导、记忆与掌握.学生在学习这一内容时,教师首先要呈现椭圆与焦半径的图象,学生在读图时教师标上焦半径对应的字母符号,激活学生的符号意识,让学生在信息提取阶段以“PF1”“PF2”字符的呈现激活脑海中“焦半径”的概念,达到文字语言、数学符号语言与几何图形的统一,而后基于两点距离公式与第二定义的公式的推导过程和结果则能深刻地内化到学生知识结构中,在解题教学中完成从陈述性知识到程序性知识的跃迁,形成学习正迁移.

3.3 专题教学,潜移默化

波利亚无不在自己的论著中体现着这样一个关于数学学科的基本观点: 数学具有双重性,即数学既是一门演绎科学,又是一门归纳科学.多题一解教学的思路和方法亦如是,从“多题”中逆向归纳出“一解”,从“一解”的策略中高屋建瓴地正向演绎出“多题”的统一解法.但正是由于题与题之间的联系与迁移作为逆向思维难以暴露和发现,多题一解教学方式的实施和效果达成才显得难度颇高.

这时,专题教学的效果得以显现.不同于传统课堂教学的知识逐级萌生与逻辑层次递进,学生所学内容繁复.专题教学的设计与实施依赖于范围小而明确的知识体系与解题技巧,系统性与迁移性强.“多题一解”角度看似单一,但通过专题教学的题组设计(一般以2-5 道题为宜),针对性强、指向性明确后学生参与度高,潜意识中会循着这条知识脉络在审题的过程中不断挖掘“多题”中的数学本质,强化对共性的认知.如焦半径公式专题教学中,由本文例2 设置如下题组.

上述题组的设置由焦半径公式的内部运算、再到公式与函数、向量等知识的杂糅,由易到难、由简及繁,或显或隐都离不开焦半径公式的使用,多题一解的教学目标得到实现.这种层层障碍的设置有助于学生在问题突破后把握问题结构,认清问题本质.专题教学的题组设置可以潜移默化帮助学生形成自身一套独有的“发现、提出问题——分析、解决问题”的逻辑系统.长此以往,这一逻辑系统经过不断完善会形成学生特定的认知模式与问题解决模式.广义上来说,它实现了数学课程目标的根本任务即立德树人,学生形成了自己的世界观方法论,狭义上来说,这套逻辑系统下沉到不同的数学知识技巧,就会形成不同类型数学问题的通性通法,在这一过程中,数学抽象的核心素养得以渗透,学科的育人价值也得到体现,完成“多题一解”教学模式的教育闭环.

4 反思

通过探究具体数学问题解题思路的行为活动,鼓励学生萌生与定型具体的数学观念,进而形成数学观念系统是重要的教学目标[5].本文以椭圆焦半径公式在高考解题教学中的应用作为切入点研究多题一解的教学模式,精心选题,渗透符号意识,以PF1与PF2的呈现触发学生对焦半径公式的信息提取,继而从同一角度思考并解决不同层次的问题,实现知识技能跃迁,培养学生数学学科核心素养,潜移默化提高学生的认知和思维水平.这种教学模式的目标区分于“一题多解”,意在实现全体学生共同基础的夯实与不同层次学生的多样化选择,使不同的学生在数学上得到不同的发展.当学生形成以焦半径为问题中心信息触发利用焦半径公式解决问题的观念机制,此时不失时机地将“椭圆焦半径”格局提高至“圆锥曲线焦半径”,多题一解视角下高屋建瓴地看待所有焦半径问题,学生由知识和技巧的主人蜕变为问题与思维的主人,继而驾驭高考.