找分界点思想在一类导数题中的应用

臧华

寻找分界点是解决分类讨论问题的关键所在.对于找分界点，就是先对所需分类的参数所代表的数的分界点，都先求出来，然后逐一分类写出.笔者通过几道近几年的高考题和竞赛题为例，谈谈它的应用.

例1（2014年新课标Ⅱ卷理21）已知函数f（x）=ex-e-x-2x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值.

分析本题是一道典型的导数分类讨论题，通常的做法是先求导确定g（x）的单调性，利用g（x）的单调性求出其最小值，进而得到关于b的不等式，再解出b的取值范围，最终确定b的最大值.问题的关键是怎样确定g（x）的单调性？思路虽然清晰，但实际运算比较复杂.

解（1）f′（x）=ex+e-x-2≥0，仅当x=0时等号成立.所以f（x）在R上单调递增.（略）

（2）g′（x）=2f′（2x）-4bf′（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）.

（Ⅰ）当b≤2时，g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（-∞，+∞）单调递增，而g（0）=0，所以对任意x>0，g（x）>0；

（Ⅱ）当b>2时，若x满足2

综上，b的最大值为2.

点评本题g（x）的单调性由ex+e-x-2b+2的正负确定，因此b的“分界点”可以由方程ex+e-x-2b+2=0提供，又b=ex+e-x+22≥2，则b的“分界点”为2，又因为ex+e-x-2b+2=0即（ex）2-（2b-2）ex+1=0，ex的2个值之积等于1，所以ex=（b-1）-（b-1）2-1<1，则x<0；ex=（b-1）+（b-1）2-1>1，则x>0；所以对变量x而言，0又是“分界点”.准确地找到这些“分界点”可以将分类讨论问题“一剑封喉”，讨论分界点时一般采用先小后大的原则.

变式1（2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛11）设f（x）=loga（x-2a）+loga（x-3a），其中a>0且a≠1.若在区间[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范围.

（答案：a的取值范围（0，1））

我们再来看今年全国卷的一道压轴题，找分界点的思想在两问中都体现出来了.

例2（2016年高考新课标Ⅰ卷21）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

分析（1）先求导，得f ′（x）=（x-1）（ex+2a），再根据ex=-2a>0

ln（-2a）=1找到a的“分界点”为0，-e2，然后进行分类讨论确定f（x）的单调性；（2）借助第一问的结论，通过分类讨论函数单调性和最值的正负，确定零点个数，从而确定a的取值范围.

解（1）f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

（ⅰ）设a≥0，则当x∈（-∞，1）时，f ′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，f ′（x）>0.

所以在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.

（ⅱ）设a<0，由f ′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

①若a=-e2，则f ′（x）=（x-1）（ex-e），所以f（x）在（-∞，+∞）单调递增.

②若a>-e2，则ln（-2a）<1，

故当x∈（-∞，ln（-2a））∪（1，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（ln（-2a），1）时，f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）单调递增，在（ln（-2a），1）单调递减.

③若a<-e2，则ln（-2a）>1，

故当x∈（-∞，1）∪（ln（-2a），+∞）时，f ′（x）>0，当x∈（1，ln（-2a））时，f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）单调递增，在（1，ln（-2a））单调递减.

（2）（ⅰ）设a>0，则由（1）知，f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.又f（1）=-e，f（2）=a，取b满足b<0且b2a2（b-2）+a（b-1）2=a（b3-32b）>0，所以f（x）有两个零点.

（ⅱ）设a=0，则f（x）=（x-2）ex，所以f（x）有一个零点.

（ⅲ）设a<0，①若a≥-e2，则由（1）知，f（x）在（1，+∞）单调递增.

又当x≤1时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点；

②若a<-e2，则由（1）知，f（x）在（1，ln（-2a））单调递减，在（ln（-2a），+∞）单调递增.又当x≤1时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点.

综上，a的取值范围为（0，+∞）.

点评在第一问中采用分界点法一次性找出分类点，然后按照先小后大的原则逐一讨论解决；第二问讨论中嵌套讨论，这里有两个讨论的标准，第一个是函数单调性的分界点，第二个是最值正负的分界点，这时宜采用先整体后局部的原则，有些问题仅靠一次分类是不够的， 需要进行二级分类、三级分类等等.

变式2（2010年全国新课标文科21题）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2.

（1）若a=12，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.