第四类切比雪夫型方程组的通解

曹嘉芮， 吴 康

(华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631)

第四类切比雪夫型方程组的通解

曹嘉芮， 吴 康

(华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631)

定义了第四类切比雪夫型一元方程(组)，通过各个方程根的两两配对，得到二阶乃至高阶方程组通解的表达形式.

切比雪夫型方程(组)；第四类；高阶；配对；通解

1 预备知识

第一类切比雪夫多项式(Tn(x))和第二类切比雪夫多项式(Un(x))是以俄国著名数学家切比雪夫的名字命名的特殊函数，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是当前研究的一个热点,并得到了广泛应用.目前对第一至第三类切比雪夫型方程组的通解[1-4]有一定的研究，但对第四类切比雪夫方程组的通解问题尚未研究，本文基于切比雪夫多项式的实用性，对第四类切比雪夫型方程(组)进行深入的研究.

第四类切比雪夫多项式序列{Wn(x)}定义[5-6]为

其中n∈N,x∈R,且x<1,Wn(x)称为第n个第四类切比雪夫多项式.

2 引理

证明用数学归纳法证明.

当m=2时，由引理1知命题成立；

证明由数学归纳法证明.

当m=2时，由引理2知命题成立.

当m=n+1时，

又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,rn+1).则

又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,2rn+1+1).

综上，命题成立.

3 第四类切比雪夫型方程(组)

3.1 第四类切比雪夫型方程

定义1设n,m∈N,n>m,称方程Wn(x)=Wm(x)为第四类切比雪夫型一元方程.

3.2 第四类切比雪夫型一元二阶方程组

定义2设n1,n2,m1,m2∈N,n1>m1,n2>m2,称方程组

(1)

为第四类切比雪夫型一元二阶方程组.

情况3)同情况2)，不赘.

③同②，不详述.

3.3 第四类切比雪夫型一元三阶方程组

定义3设n1,n2,n3,m1,m2,m3∈N,n1>m1,n2>m2,n3>m3,称方程组

(2)

为第四类切比雪夫型一元三阶方程组.

情况3).证明同情况2),不赘.

3.4 第四类切比雪夫型一元r阶方程组

定义4设ni,mi,∈N,ni>ml,称方程组

(3)

为第四类切比雪夫型一元r阶方程组.

且2mi+2ri+2=ds(2si+1),i∈Z(t+1,2r).

证明

3.5 第四类切比雪夫型一元高阶方程组的应用

例3方程组

例4方程组

中,a11=5,b21=5,b31=15,a12=21,b22=8,b32=22,故d1=(5,5,15)=5,d8=(21,8,22).

[1] 吴康，龙开奋.关于切比雪夫多项式的一些研究[J].中学数学研究，2006(3)：27-30.

[2] 凌明灿.第一类切比雪夫多项式方程的重根规律[J].五邑大学学报(自然科学版)，2013(5)：13-15.

[3] 凌明灿.第二类切比雪夫型和式方程的研究[J].河南教育学院学报(自然科学版)，2012(12)：11-13.

[4] 凌明灿.一类切比雪夫型方程组的通解[J].江苏师范大学学报(自然科学版)，2012(12)：46-49.

[5] 吴兰.关于四类切比雪夫多项式的研究[D].广州：华南师范大学，2014.

[6] 王中德.两类新的切比雪夫多项式[J].北京邮电学院学报(自然科学版)，1989(12)：46-54.

GeneralSolutionsoftheForthKindofChebyshevEquations

CAO Jiarui, WU Kang

(SchoolofMathematics,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

The forth kind of Chebyshev equations with one unknown are defined. Get the general solutions of the two-order and high-order equations by pairing each root of equation.

Chebyshev equations; the forth kind; high-order; pair; general solutions

2017-05-06

华南师范大学研究生创新计划资助项目(2016LKXM71)

曹嘉芮(1994—)，女，福建长汀人，华南师范大学数学科学学院硕士研究生.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.005

O15

A

1007-0834(2017)03-0023-06