多重分割组合数有限和计算公式

张来萍，及万会

(银川能源学院 基础部，宁夏 银川750105)

多重分割组合数有限和计算公式

张来萍，及万会

(银川能源学院 基础部，宁夏 银川750105)

设正整数n,m,r，非负整数b,a,利用r次单位根的性质，使用复数方法给出一类多重分割组合数有限和与正负相间多重分割组合数有限和用三角函数表示的计算公式，并给出系数为多重分割组合数的对偶三角函数有限和计算公式．

组合数；三角函数；单位根；多重分割；正负相间；有限和

0 引言

利用r次单位根的性质和复变函数方法，给出这类多重分割组合数序列和式的计算公式．并给出系数为多重分割组合数的对偶三角函数有限和计算公式．文中符号[A]表示A的整数部分．

1 主要结论与证明

(1)

(2)

(3)

在(1)式中令a=0，得(2)式;在(1)式中,令x=1，得到(3)式左端，我们给出(3)式右端表达式．

另一方面，用复数理论计算

在(3)式中，令b=0;或m=1；或m=1,b=0；或m=1,a=0．

推论1下列多重分割组合数和式用三角函数表示的计算公式，

(4)

(5)

(6)

(7)

定理2设奇数r，正整数n,m，非负整数b,a，且r-1≥a，则正负相间多重分割组合数和式

(8)

(9)

(10)

证明(8) (9)式类似(1) (2)式可得，下面证明(10)式

另一方面，用复数理论计算

复数式实部

得到

在(10)式，令b=0;或m=1;或m=1,b=0;或m=1,a=0，

推论2下列正负相间多重分割组合数和式用三角函数表示的计算公式

(11)

(12)

(13)

(14)

推论3设正整数n，r，非负整数a，且r-1≥a，则系数为多重分割组合数的对偶三角函数有限和式

(15)

(16)

(17)

(18)

证明在(1)式中，令m=1,b=0，x=cosβ+isinβ，代入(1)式利用复数相等，计算得到(15)、 (16)式．

在(15)、(16)式中令a=0，得到(17)、(18)式．

推论4设奇数r，正整数n，非负整数a，且r-1≥a，则系数为多重分割组合数的正负相间对偶三角函数有限和式

(19)

(20)

(21)

(22)

证明在(8)式中，令m=1,b=0，x=cosβ+isinβ，代入(8)式利用复数相等，计算得到(19)、 (20)式．

在(19) 、(20)式中， 令a=0，得到(21) 、(22)式．

2 一些多重分割组合数和式的数值计算公式

例1计算下列组合数和式

解用定理1及其推论1结论.

例2计算下列正负相间组合数和式

解利用定理2与推论2 结论.

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TheEvaluationofMultiplePartitionInvolvingCombinatorialNumbers

ZHANG Laiping，JI Wanhui

(DepartmentofBasic，YinChuanEnergyCollege，YinChuan750105,China)

Letm,n,rbe positive integers,b,abe nonnegative integer, use property of unit root ofrtimes and method of complex function. The trigonometric fuctions are used to express the finite sum of a class of multi-partion combinations. The formula of finite sum of positive and negative multi-partition combinations is also presented by trigometric functions. And gives the finite sum of dual trig functions with coefficients of multi-partition involving combinatorial numbers.

combinatorial numbers; trigonometric function; unit root; multi-partition; alternated with positive and negative; finite sum

2016-09-18

宁夏自然科学基金项目(NZ12208);银川能源学院科研基金项目(2015-KY-Y-49)

张来萍(1979—),女，宁夏彭阳人，银川能源学院基础部副教授，主要研究方向：基础数学；通信作者:及万会(1942—)，男，河北泊头人，银川能源学院基础部教授，主要研究方向：数论.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.002

O173

A

1007-0834(2017)03-0007-06