含参不等式恒成立问题解题策略探究

李世文

【摘要】含参不等式恒成立问题是新高考数学试卷中的重点与热点，设置的场景与知识模块新颖多样，内涵丰富，解法灵活，成为高考命题者青睐的一种基本题型.文章结合一道高考模拟卷中的函数与导数问题，就含参不等式恒成立问题的破解策略与技巧方法加以“一题多解”剖析，旨在提升学生的数学解题能力，开拓其数学思维，引领并指导其进行解题研究与复习备考.

【关键词】含参不等式；恒成立；策略探究

【基金项目】本文系甘肃省教育科学“十四五”规划2023年度“普通高中数学新课程实验跟踪与质量监测教改实验项目”专项课题《高中数学选择性必修课程“函数”主题教学设计与实施研究》（课题立项号：GS[2023]GHBZX0003）.

含参不等式恒成立问题，是近年新高考数学命题中的一类非常典型的热点题型，有时以小题（选择题或填空题）形式出现，有时以解答题形式出现，均是难得的压轴题，题型新颖，变化多样.此类问题难度较大，解题思维灵活多变，能够很好地考查学生的基础知识、基本能力與解题经验，具有较好的选拔性与区分度，深受各方关注.下面笔者就以一道高考数学模拟卷中的含参不等式恒成立背景下求参数取值范围的问题来展开探究，剖析解决此类问题的基本策略与技巧方法.

解后反思 根据题设条件中不等式恒成立的恒等变形与转化，通过参数的整体化思维，利用两相关函数互为反函数，结合反函数的图像与性质恒等变形并优化对应的不等式，进而借助分离变量、结构对应函数的构建以及函数的单调性判断，利用函数最值的求解来转化，进而得以确定对应的参数取值范围.反函数法可以很好地优化恒成立的不等式，合理使问题得以简捷化处理.

三、变式拓展

含参不等式恒成立问题具有灵活多变的解题方式，是“一题多解”的重要场所，而且在各类题型中均能较好展开.而在此“一题多解”的基础上，深度学习，进行“一题多变”，可以充分展开此类创新综合应用题的魅力，达到发散思维、开拓方法、巩固相关基础知识与基本方法的目的.

四、教学启示

（一）总结方法，归纳策略

破解此类含参不等式恒成立问题，主要从以下三个方面入手：函数视角切入、不等式视角切入、数形直观切入，基本的技巧策略主要有：构造函数法与隐零点法，基于不等式基本性质或重要不等式的放缩法，基于函数图像的数形结合法，以及反函数法、判别式法、更换主元法等，学生应结合具体问题场景，合理选择对应的视角切入，利用对应的方法进行解题、应用.

（二）交汇思想，提升能力

含参不等式恒成立问题的创设场景多变，自身可以巧妙融合函数与方程、不等式、函数与导数等众多的数学基础知识，同时在求解过程中还涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论及数形结合等基本数学思想方法，求解方法多种多样，需要学生不断去领悟、体会与总结，对于锻炼学生的综合解题能力与逻辑推理能力，培养学生思维的灵活性、创造性等都有着非常独特的作用.

结 语

对于含参不等式恒成立问题，教师应巧妙地通过对问题的深入分析与挖掘，进行合理的“一题多解”，并依托“一题多解”的思维拓展与探究，引导学生深度学习，进而“一题多变”，从而在解题研究与学习的层面上有效深入探究与应用，构建更加完善的数学知识网络体系，优化数学思维品质，提升数学解题能力，合理培养数学核心素养.

【参考文献】

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