带领初中生破解数学问题之“难”的策略分析

曹岭红

【摘要】数学是由问题组成的学科，问题教学是数学教学的主要特征，但是，数学问题之“难”往往成为困扰教师教和学生学的主要障碍，因此，文章从破解数学问题之“难”入手，详细阐述了沟通联系、解后反思等教学策略来解构、破解问题之“难”，从而提升解题者的解题能力，并达到提升数学核心素养的课程目标.

【关键词】问题；破解；联系；反思；概括

问题是数学的重要表征，解答问题是数学学习的重要环节，数学问题指在数学领域运用数学知识去解决的问题.从人类意识到问题并致力于解决问题开始，数学便开始萌芽.人类对现实问题的理解和分析也在不断推动数学的发展：古埃及尼罗河河水经常泛滥，需要重新丈量土地，于是几何学出现并得到发展；我国古人将246个用数学解决的问题集中到了《九章算术》中，成为闻名世界的数学著作.为了培养具备问题探究能力的未来人才，《义務教育数学课程标准（2022年版）》的课程总目标明确提出“在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题”，因此，数学问题探索是数学学习的重要组成部分.但是在解答数学问题时，大家往往为“难”所阻，因此，文章试图讨论并提出一种工作路径，破解数学问题之“难”，从而提高解决问题的能力.

一、沟通联系，解构问题之“难”

数学问题通常由已知条件和求解目标两部分所组成，问题中所含的数学知识有外显的，但更多是内隐的，求解目标是已知条件通过一定的数学途径所能达到的某种可能结果，获得这个途径的过程就是问题分析的过程，呈现这个途径的过程就是解决问题的过程.数学问题之“难”体现在获取这个途径上，而将已知条件和求解目标进行沟通联系，外显数学知识，便可解构数学问题之“难”，从而获得解决问题的途径.

二、解后反思，破解问题之“难”

数学问题的解答仅仅是培养学生核心素养的一次开始，进行问题和解答过程反思，从更为宏观的角度探索问题“难”之所在，理解问题“难”之本质，才能进一步提升数学核心素养.

（一）解法反思，丰富思考路径

解法是解决数学问题的方法，通常情况下，数学问题的解法存在多种可能性，越是复杂的数学问题，其解法的多种可能性特征往往越明显，并且，不同解法往往呈现不同的思维特征，而众多解法中还存在最优解的情形，因此，解法反思是挖掘数学问题育人价值的不可或缺的环节，也是对学生思维能力培养和核心素养提升的重要路径.解法反思是解题者获得数学问题解法后所进行的思考，一般包括解法合理性反思、解法丰富性探索和解法最优化思考等内容.

1.解法合理性反思

解题者获得数学问题的解法，并不代表其解法是正确的，因此，还应对其合理性进行反思，从而确保解法正确，合理性反思的方法包括将解代入数学问题后的理论推演、解题环节依据的逐一论证、解的合理性与多样性思考等.

2.解法丰富性探索

解法丰富性探索指对数学问题多种解法的探索，即一题多解的探索，这需要解题者从不同角度，运用不同的思维方式进行思考，探索过程可以培养解题者多种思维能力.如：解方程|x-3|=1.

解法一，利用绝对值的代数意义去绝对值符号，将其变成两个方程：x-3=1和x-3=-1，然后分别求解.此解法培养了解题者的运算能力，提升了解题者数学运算方面的核心素养.

解法二，利用绝对值的几何意义，在数轴上找到符合要求的点，然后根据点所表示的数获得方程的解.此解法培养了解题者的数形结合的数学思想，提升了解题者直观想象方面的核心素养.

多种解法的探索，是抵达目标的多路径探索，它对于培养解题者的发散性思维和丰富解题者的思维方式都起到至关重要的作用，也是提升解题者数学核心素养的重要途径.

3.解法最优化思考

解法一，利用代入消元法解方程组；

解法二，利用加减消元法解方程组；

解法三，先将三个方程相加进行增元，然后利用新方程与原方程组中的方程进行减法消元得到方程的解.

以上三种方法中，前两种属于消元法解方程组，第三种属于先增元后消元的方式解方程组，显然第三种方法优于前两种方法，在三种方法中属于最优解法.

（二）问题概括，理解解题逻辑

问题概括是用最简洁的数学语言对问题本身和问题解法所进行的概括性表达，其中，对问题本身的概括是对问题所含数学知识的建构性表达，它是外显问题所含知识后的表达，是清晰知晓数学知识构建问题方式后的表达；对问题解法的概括是成功解答数学问题后的表达；是对解法策略充分理解后的表达，并且，不管是对问题本身的概括，还是对问题解法的概括，都是解题者通过对反思结果的语言凝练后的思维抽象，是解构数学问题“难”之要素的重要途径，因此，问题概括是解后反思的重要内容，有助于解题者理解解题逻辑，提升思维能力.

以上问题是有对应法则的问题概括，概括起来比较容易，但有些问题所对应的法则或定理相对模糊，这需要解题者对解法进行深度思考，高度凝练，也正因为这样，对这类数学问题进行问题概括对解题者的理解问题逻辑和凝练能力等方面具有更大的价值.

如：如下图所示，已知正方形ABCD内有一点P，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

解题者在成功解答后，可以通过三提炼来完成问题概括，从而理解解题逻辑.

1.提炼解题步骤

（1）如图所示，将△PAB绕点B顺时针旋转90°后，点A与点C重合，点P旋转至点E的位置，连接PE；

（2）由△PAB旋转可得△PBE为等腰直角三角形，∠PEB=45°，利用勾股定理可求出PE的长；

（3）利用勾股定理的逆定理可得△PEC为直角三角形，其中，∠PEC=90°；

（4）∠APB=∠BEC=∠PEB+∠PEC=135°.

解题步骤相对于解题过程更为简洁，它是舍去解题过程中的具体计算过程和证明过程后提炼出来的主要解题思路，有利于解题者对解题过程形成整体认知.

2.提炼解决问题的关键点

当解题者解题遇到困难时，他人的一句点拨往往能令其茅塞顿开，这句点拨就是数学问题之“难”的题眼，也是解决问题的关键点，因此，无论是理解问题解题过程，还是解构问题之“难”，都需要提炼出解决问题的关键点.在解题者对问题的解题过程形成整体思路后，就具备了寻找这个关键点的基础.如：这个数学问题解题过程的关键点是将△PAB绕点B顺时针旋转90°，将已知线段转换至同一个直角三角形中.

3.提炼关键点与已知的关联点

当面对有解题困难的数学问题时，经过他人点拨就能成功解答，但解题者不能依赖于他人的点拨，而是要具备与点拨者同样的点拨能力，即弥补自己想不到解题思路方面的能力缺失.点拨者之所以能够成功点拨，是因为他们能够根据已知条件预判出基本的解题思路，这种具有预判特征的点拨能力是数学问题解法之“难”的题眼，它存在于问题解决的关键点与已知条件之间的关联点的提炼过程中.

如：这个数学问题的解答关键点是旋转三角形，那么解题者提炼关键点与已知的关联点时，需要反思的问题是，为什么能想到旋转三角形？下面是在这个反思问题的指引下，提炼关键点与已知的关联点的过程.

（1）因问题中已知长度的三条线段都不在同一个三角形中，根据三角形边角关系求角就必须将这些要素尽量转换到同一个三角形中，这就产生了图形转换的思路；

（2）正方形四边相等，这为旋转时最大程度利用等边或等角进行旋转的思维方法提供了基础，因此，将三角形旋转90°是一种最为可行的解题思路，从而产生了前面的解题方案；

（3）由第（2）步反思可知，此题的旋转方式应该有两种，即还有一种旋转方式可以获得解决问题的方法，这种方法是将△PBC绕点B逆时针旋90°.

（三）问题比较，理解命题逻辑

对数学问题的个体探索是数学问题深度挖掘的个体案例，这样的探索有利于深度理解具体的数学问题，但它在众多数学问题中是一般性特征的代表，还是属于特殊案例，还需要对与此相关联的众多数学问题进行关联比较探索，即对相关联的数学问题进行系统复盘，解构系列问题“难”之内核，关联比较，理解命题逻辑，因此，探索数学问题之“难”的第三个步骤是问题比较，理解命题逻辑.

1.汇集关联数学问题

对相关联的数学问题进行对比探索，首先需要將相关联的数学问题汇集在一起，其汇集方式是在每次解答数学问题时进行关联联想，将与其具有关联特征的数学问题按照一定的标记方式有计划地放置在一起.关联特征一般分为两类：知识关联和解题策略关联，其中，知识关联是指数学问题所含的数学知识相同或同属于一个数学知识系列，如下列数学问题所含的数学知识都含有幂运算法则.

解题策略关联是指数学问题的解答策略相同或相似，如下面两个数学问题都可以使用图形旋转的策略来解决问题.

（1）已知正方形ABCD内有一点P，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若Rt△ABC中有一点P，且∠PAB=∠PBC=∠PCA， PA=a，PC=b.求△PBC与△PCA的面积和.

汇集是为了探索而积累素材，是对繁杂纷乱数学问题的筛查，属于初步分类，但是汇集过程能有效帮助解题者提升想象能力、关联意识和系统思维.

2.探索关联数学问题的异同点

将相关联的数学问题进行汇集时，其关联特征往往比较粗放，分类并不严谨，唯有聚焦分析方可挖掘数学问题的建构特征，理解数学问题的命题逻辑，找到解决数学问题的基本规律，从而形成数学问题思考的系统性思维.这种聚焦分析可以通过找异同的方法进行，即寻找汇集在一起的数学问题组的相同点和不同点，下面以前面所呈现的数学知识关联的幂运算题组为例进行分析说明.

从所含数学知识的角度看，都含有的数学知识是幂运算法则；从数学知识建构数学问题的角度看，（3）和（5）题属于幂运算法则的单次运用，其余都是幂运算法则的复合运用；第（7）题是幂运算法则的直接运用，其余都存在幂运算法则的逆运用.从数学问题的解答策略看，前两题都需要通过幂运算法则的逆运用来拆解所求代数式；第（3）题需要利用方程解答，第（6）题需要建构运算；第（2）和（4）题需要同时对已知代数式和所求代数式进行拆解；除两个计算题外的数学问题的解答策略都是利用幂运算法则将已知代数式和所求代数式相互转换进行解答，都体现了化归思想和整体思想.

结 语

综上，在破解数学问题之“难”方面，沟通数学问题中已知条件和求解目标的联系，是解构数学问题之“难”、成功解答数学问题的重要方法，解后反思，特别是解法反思、问题概括和问题比较等策略是抽象数学方法、形成数学思维、提升数学核心素养，从而破解数学问题之“难”的有效策略.

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