核心素养视域下GeoGebra软件在高中数学教学中的应用探究

戚晶

【摘要】GeoGebra软件给学生提供了一个可靠的探究问题、解决问题的途径，是一种高效的学习工具，丰富了学生的学习方式.借助GeoGebra软件的强大功能，学生能够直观准确地观察到立体几何图形的几何特征和数量特征，领略数形结合的思想，发展直观想象素养.基于此，文章对核心素养视域下GeoGebra软件在高中数学教学中的应用展开探究，概述了GeoGebra软件在高中数学教学中的应用意义，并以圆柱、圆锥、圆台的表面积知识教学为例进行了案例呈现，旨在充分发挥GeoGebra软件的教学功能，促进理论与实践的结合，促进学生全面发展.

【关键词】核心素养；GeoGebra软件；高中数学；应用

【基金项目】本文系徐州市教育科学“十四五”规划2022年度课题《核心素养视域下VR技术在高中数学教学中的应用研究》（编号：GH14-22-Q005）阶段性研究成果.

引 言

信息技术的融入，无疑为传统教学模式注入了新的活力.它如同一把钥匙，打开了学生探索知识、理解概念的新世界大门.在数学教学中，这种变革尤为明显.以往，数学课堂往往局限于黑板和粉笔的二维世界.教师在黑板上写下公式和定理，学生则在纸上做着相应的练习.然而，这种方式在表达复杂的数学概念和问题时，往往显得力不从心.而信息技术的融入，使得数学教学内容得以立体化、形象化.通过计算机和相关软件，教师可以轻松地创建三维图形和动画，将抽象的数学概念变得直观易懂.比如，在教授几何体时，教师可以利用GeoGebra软件，让学生看到几何体的立体形态和内部结构，从而更好地理解和掌握相关知识.信息技术融入教学，不仅丰富了教学手段，而且改变了学生的学习方式.学生不再是被动的知识接收者，而是成为主动学习的知识探索者.他们可以利用信息技术自主学习、合作学习，与他人分享知识和经验，形成良好的学习氛围和团队协作精神.

一、核心素养视域下GeoGebra软件在高中数学教学中的应用意义

GeoGebra软件作为一种动态数学软件，能够有效地支持高中数学教学，并通过多种方式促进学生核心素养的全面发展.教师可以根据高中数学教材内容，合理利用GeoGebra软件的在线资源，设计富有挑战性和探究性的学习活动，以提高学生的综合数学素养.教师自身可以借助GeoGebra软件进行数学教学，提高专业能力；同时在利用GeoGebra软件进行教学设计的过程中，教师使用计算机的能力在不断提高，对教材的熟悉度也在逐步加深.几何和代数能够同时在GeoGebra软件中处理.GeoGebra软件分为几何区域和代数区域，分别用于显示图形和相应参数.在几何区域，用户可以直接执行制作点、线、矢量、曲线等操作，并可以更改其属性.例如，通过点击工具栏上的按钮，用户可以轻松地创建直线、圆、椭圆等基本几何图形.为了确保几何和代数区域的同步变化，GeoGebra软件提供了两种方法.这两种方法使得学生在操作过程中能更加直观地感受到数形结合的魅力. GeoGebra软件充分发挥了高中数学数形结合的重要思想方法.教师在三维空间几何教学中利用GeoGebra软件，能够帮助学生直观地理解几何体的特性，包括其形状和体积等量化属性.这种直观的认识促进了学生“数形合一”的思维方式的发展，并锻炼了学生的空间直觉.教师利用GeoGebra创建3D模型，引导学生分析问题，发现规律，从而提高他们的数学建模能力.通过软件，学生能够观察几何体的动态变化，这有助于他们整体理解问题，提炼问题的核心，并理解各部分知识之间的逻辑联系.这样的过程不仅提高了学生的数学抽象和逻辑推理能力，还全面提升了他们的核心数学素养.

二、核心素养视域下GeoGebra软件在高中数学教学中的应用案例

（一）教材分析

文章以普通高中教科书数学必修第二册人教A版中的第八章第3节第2小节“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积”为例，本案例的主要内容为推导圆柱、圆锥、圆台的表面积公式.

（二）学情分析

在教学之前，学生已经学习了基本立体图形的概念，了解了基本立体图形的结构特征，并知晓了多面体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积与体积计算方式，对于如何研究立体图形的表面积与体积已形成一定的经验.本案例将进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台的表面积.多面体的展开图是比较容易理解的，但是旋转体的展开图对学生数学抽象能力的要求较高，如何让学生明确理解旋转体展开图中的几何元素与原立体图形中的几何元素之间的关系是本案例的重点.

（三）教学任务分析

1.通过直观感知、操作确认的方式，让学生清晰地了解圆柱、圆锥、圆台的展开图形状并能理解几何元素之间的内在关系；

2.体会在基本立体几何结构特征与表面积的探究过程中的数形结合思想和化归思想，感悟“降维”和“平面化”的几何研究方法.

（四）设计思想

从教学理念上来讲，本节课注重发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养.数学核心素养是全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务在数学教育中的落脚点.高中数学课程应以发展学生的核心素养为导向，引导学生把握教学内容的本质，创设合适的教学情境，激发学生的学习兴趣和求知欲，鼓励学生独立思考，自主学习，合作交流，发展实践能力和创新意识.

从教学方法上来讲，这一整节内容的处理，遵循直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的认识过程展开，而圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，通过具体实例与数字实验，按照直观感知、操作确认的方式得出，并用精确的数学符号语言进行归纳.

从教学内容上来看，首先要让学生理解立体几何图形表面积计算的通法，即需要将立体几何图形的表面展开，从数学思想上来说就是要学会将立体问题“平面化”；其次是要让学生理解旋转体展开图的详细情况，学生从具体的实验操作（实物实验与基于GeoGebra软件的数字实验）中发现旋转体的展开图与原图形之间的几何关系与数量關系，从而提高学生直观想象、逻辑推理的核心素养；最后是对圆柱、圆锥、圆台之间内在关系的探究，通过基于GeoGebra软件的数字实验发现三者的结构关系，从而推出表面积公式之间的数量关系，充分体会数形结合思想，形成知识之间的统一性.

（五）教学目标

1.通过展开圆柱、圆锥、圆台的侧面，理解圆柱、圆锥、圆台的表面积公式；

2.通过观察圆柱、圆锥、圆台的结构特征，体会圆柱、圆锥、圆台的内在联系，理解圆柱、圆锥、圆台表面积公式之间的关系.

（六）教学中信息技术的使用分析

在本案例中，教师首先借助GeoGebra软件展示了圆柱、圆锥、圆台侧面的展开过程，让学生可以调整几何体的大小、形状，观察不同情况下展开图的区别与共同点，从而总结出侧面面积的计算公式；其次设计的课件中的圆台的上底面大小是可以放大和缩小的，这样学生就可以通过控制上底面的大小，观察得到圆柱、圆锥、圆台之间的内在关系.在这个过程中，学生通过亲自探索，逐步加深了对知识的理解.

（七）教学过程

1.回顾旧知，导入新课

复习：基本立体图形的结构特征与棱柱、棱锥、棱台的表面积.

【师生活动】学生思考、回答：基本立体图形分为多面体与旋转体，其中多面体包括棱柱、棱锥与棱台，旋转体包括圆柱、圆锥、圆台与球；并且回顾多面体表面积的探究过程.

【设计意图】在回顾多面体的结构特征与表面积计算方式的过程中，引导学生关注旋转体的结构特征，启发学生思考旋转体表面积的算法.

2.探索新知，构建概念

实验与探究：根据已经学过的圆柱、圆锥、圆台的概念结合它们的结构特征，从图1中各种形状的纸张当中选择合适的形状来围成圆柱、圆锥、圆台.

【师生活动】学生选取纸片尝试围出圆柱、圆锥、圆台.不难发现圆柱侧面展开图的形状就是矩形，圆锥侧面展开图的形状就是扇形，圆台侧面展开图的形状就是扇环.

【设计意图】学生通过自己动手操作，了解圆柱、圆锥、圆台的形成过程，对圆柱、圆锥、圆台的展开情况有了初步的图像表征，在脑海中形成大致的空间观念.

观察与提问：观察圆柱、圆锥、圆台的侧面展开的动态过程（如图2所示），你能否得到圆柱、圆锥、圆台的表面积公式.

【师生活动】观察圆柱侧面展开的具体过程：沿圆柱的一条母线，将其展开，得到圆柱的侧面展开图，在这个过程中，学生不难发现所得矩形的长就是圆柱底面圆的周长，宽就是圆柱的母线长，从而得到圆柱表面积公式；观察圆锥侧面展开的具体过程，同样，沿圆锥的母线将其展开，仔细观察展开过程，学生很容易发现，扇形的半径就是圆锥的母线长，扇形的弧长就是底面圆的周长，然后根据扇形面积公式，就可以得到圆锥侧面面积，进而推出圆锥表面积公式；观察圆台侧面展开的具体过程，沿圆台的母线将其展开，就能得到一个扇环，显然，扇环的半径就是圆台母线长，两段弧长分别为圆台上底面周长与下底面周长.扇环面积的计算是一个难点，教师引导学生借助相似三角形推出扇环面积，最后得到圆台表面积公式.

【设计意图】突破以往教学中学生只能凭空想象的困境，教师可以通过GeoGebra软件的三维动力学函数，让他们感受到圆柱、圆锥、圆台的母线被剪切后，伸展到一个平面上的整个加工，从而使他们对侧面展开的图形与侧面积的联系有了一个更好的认识，从而提高他们的空间想象力.

实验与探究：分析圆柱、圆锥、圆台之间的结构关系，探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系（三者之间的转化如图3所示）.

【师生活动】学生在GeoGebra软件中，拉动控制上底面大小的点，观察到如果将圆台的上底面扩大，直到与底面一样大，那么这个圆台就转换成圆柱，将圆台的上底面缩小，直到缩小为一点，此时就变成了圆锥.结合圆柱、圆锥、圆台的定义，学生可以将圆柱、圆锥看作圆台的两种特殊情况.

【设计意图】教学中借助GeoGebra软件动态呈现圆柱、圆台、圆锥的相互转化，为学生理解圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式之间的相互联系提供几何直观，让学生体会数与形的和谐统一，也让学生对所学知识有整体的认识，学会建立知识之间的联系.

3.例题练习，巩固新知

【师生活动】学生独立思考完成题目.

【设计意图】初步运用表面积相关公式解决问题，提高学生在解决具体问题中的实操能力.

4.小结提升，形成结构

1.请归纳一下圆柱、圆锥、圆台表面积的推导过程以及三者之间的关系；

2.在探究学习的过程中体现了什么数学思想方法？

【师生活动】学生进行知识总结，教师点评完善并引导学生体会当中的数形结合思想与化归思想.

【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容及方法，提高学生的归纳总结能力，让学生养成多反思、多体会的学习习惯.

结 语

综上所述，核心素养视域下，GeoGebra软件在高中数学教学中的应用不仅能够增强学生对数学概念的理解，而且有助于培养他们的批判性思维、创造性思维和实践能力.随着教育技术的不断发展，GeoGebra软件将成为高中数学教学中不可或缺的工具，能够为学生核心素养的培养提供强有力的支持.未来的研究可以进一步探讨如何将GeoGebra软件与其他教学资源和方法整合，以及如何评估其在不同教学环境中的效果，从而更好地服务于教育教学改革和学生发展.

【参考文献】

[1]张志勇.GeoGebra软件在高中数学教学中的应用举例[J].福建中学数学，2014（4）：6-9.

[2]何麗萍.在高中数学教学中应用GeoGebra软件的策略[J].基础教育论坛，2022（31）：111-112.

[3]张文香.GeoGebra软件在高中数学教学中的探究性应用[J].家长，2022（29）：55-57.