高中数学概念课作业的分层设计

周顺钿

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学学科的核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析等基本要素.核心素养的落地，不仅依靠教师在课堂上的精准切入，还需要教师在作业上巧妙设计，以实现知识的巩固融合.预习作业作为课前的铺垫，要引导学生带着问题进入课堂；课后作业作为课堂教学的延伸，是学生巩固课堂所学知识、反馈教学效果的重要手段；巩固复习作业可以很好的帮助学生整合单元所学知识，形成完备的知识体系.因此，教师应认真研究数学作业的价值和功能，结合课前、课后和复习阶段的实际需要，分层设计有针对性的作业，加深学生对知识的认知和理解，感受数学的魅力.

本文以2019年人教A版新教材中《函数奇偶性》为例，结合课前、课后和复习阶段三个层次设计作业，让学生聚焦概念的本质属性，感受数学概念学习从概念生成、内涵揭示到外延拓展的过程.

1．设置课前作业，聚焦概念的本质属性

预习是指学生在正式进入课堂教学之前的准备活动.如能在课前设置一组有针对性的作业，让学生了解学习内容的重点和难点，了解新旧知识之间的联系，找出自己的疑问和困惑，可以激发学生自主探索的求知欲望，为他们接下来的学习做好准备.

问题1  画出函数f（x）=x2、f（x）=1－x2、f（x）=x、f（x）=2－x的图象，观察这些图象的共同特征，探究函数值f（－x）与f（x）之间的关系，抽象出偶函数的定义.

问题2  画出函数f（x）=x、f（x）=1x、f（x）=x3的图象，观察这些图象的共同特征，探究函数值f（－x）与f（x）之间的关系，抽象出奇函数的定义.

设置意图：从具体的函数出发，通过列表、描点、作图，形数对照、直观感知、聚焦目标，在熟悉的情境中，抽象出函数奇偶性的概念和规则.

预设学生经抽象概括得到如下定义：

（1）设函数的定义域为I，对x∈I，都有－x∈I，且f（－x）=f（x），称f（x）为偶函数．

（2）设函数的定义域为I，对x∈I，都有－x∈I，且f（－x）=－f（x），称f（x）为奇函数．

问题3  判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=x2n（n∈Z）；（2）f（x）=x2n－1（n∈Z）；

（3）f（x）=（1－x）1+x1－x；（4）f（x）=x2－1+1－x2；

（5）f（x）=x+kx（k>0）；（6）f（x）=ax2+1x（a∈R）.

设置意图：预设通过概念辨析，能揭示函数奇偶性概念蕴含的以下特征：

（1）幂函数f（x）=xnn∈Z的奇偶性.当n为偶数时，f（x）为偶函数;当n为奇数时，f（x）为奇函数，感受“奇偶函数”称谓的合理性.

（2）判断一个函数是奇（偶）函数，需要严格的证明，而判断一个函数不是奇（偶）函数，只需要举出一个反例，感受“演绎推理”对于理性思维的重要意义.

（3）奇偶函数分为四类，即奇函数但不是偶函数、偶函数但不是奇函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数，感受“逻辑划分”的标准和规则.

（4）既奇又偶函数的表达式可简化为f（x）=0，但它不是唯一的，因为关于原点对称的定义域可以有无穷多个.

（5）f（x）=x+kxk>0是经常用到的 “对勾”函数，配合教材P85综合运用8（3）讨论函数f（x）=x+kxk>0在0，+∞上的单调性，可以让学生更好地了解“对勾”函数的图象和性质.

问题4  若函数f（x）=x+a，x∈［－m－2，2m］是奇函数，求a，m的值.

简析：由函数定义域关于原点对称，可得－m－2+2m=0，即m=2；由奇函数满足f（－x）+f（x）=0，可得a=0.

设置意图：聚焦奇（偶）函数定义的两个关键信息.一是共性：对x∈I，都有－x∈I，说明定义域关于原点对称是函数f（x）为奇（偶）函数的必要条件；二是个性：满足f（－x）=f（x）的f（x）为偶函数，满足f（－x）=－f（x）的f（x）为奇函数．

奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断它的奇偶性应先明确它的定义域，体现定义域优先原则，其次，再判断f（－x）与f（x）的关系.

概念形成实质上可以概括为两个阶段：从完整的表象蒸发为抽象的规定；使抽象的规定在思维过程中导致具体再现．课前预习作业的设计要把握这两个阶段的基本要求：如何让学生产生完整的表象，并从中抽象出概念的内涵，以及如何使概念成为思维中的具體．

2．设置课后作业，形成良好的知识结构

数学概念是进行推理、判断、证明的依据，是建立定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点．概念课教学后，作业的设计应很好的延续课堂的教学内容，需要在总结数学思想和方法的基础上，进行变式训练，归纳数学模型，达到做一题通一类、举一反三、触类旁通的效果.

问题5  （1）已知定义域是R的偶函数f（x）在

［0，+∞）

上单调递增，求不等式f2x－1≤f（x）的解集.

简析：因为f（x）是偶函数，所以原不等式等价于f2x－1≤fx，又f（x）在［0，+∞）上单调递增，不等式等价于2x－1≤x，两边平方化简得3x2－4x+1≤0，解得x∈13，1.这个解法避免了分类讨论.

（2）定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）=x－1.

①求f（x）的表达式；②解不等式f（x）>0；③解不等式f（x）<12；④求fx－1的表达式；⑤解不等式x·f（x－1）<0.

简析：f（x）=x－1，x>0，

0，x=0，

x+1，x<0， 特别注意f（0）=0.

设置意图：掌握奇偶函数的性质，须从“形”和“数”两个角度理解.偶函数满足f（－x）=f（x）（数的特征），它的图象关于y轴对称（形的特征）；奇函数满足f（－x）=－f（x）（数的特征），它的图象关于原点中心对称（形的特征）.预设从这两个方面入手，能归纳出奇偶函数的以下性质：

性质1  如果一个奇函数f（x）在x=0处有意义，那么f0=0.

性质2  如果一个奇函数f（x）有最值，那么f（x）max+f（x）min=0.

性质3  偶函数f（x）满足fx=f（x）．

性质4  奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反.

问题6  （1）判断函数f（x）=x－2－21－x2的奇偶性.

简析：f（x）的定义域为－1，1，此时f（x）=－x1－x2，易知f（x）为奇函数.

（2）若函数f（x）=xx+a是奇函数，求a的值.

简析：要使f（x）=xx+a是奇函数，只需g（x）=x+a是偶函数，从而a=0.

（3）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）=x3+x2+x+1，求f（x），g（x）的表达式.

简析：以－x代x得f（－x）－g（－x）=－x3+x2－x+1，即f（x）+g（x）=－x3+x2－x+1，解得f（x）=x2+1，g（x）=－x3－x.

设置意图：探索函数的和差积商的奇偶性规律，预设能归纳出以下性质.

性质5  已知函数f（x）和g（x）有公共的定义域，且g（x）≠0.

①若函数f（x）和g（x）都是奇函数，则f（x）±g（x）是奇函数，f（x）·g（x）、f（x）g（x）是偶函数；

②若函数f（x）和g（x）都是偶函数，则f（x）±g（x）、f（x）·g（x）、f（x）g（x）都是偶函数；

③若函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）·g（x）、f（x）g（x）是奇函数.

性质6  定义域关于原点对称的函数可分拆为一个奇函数与偶函数之和.

简析：关于原点对称的函数f（x），都可以表示为f（x）=f（x）+f（－x）2

+f（x）－f（－x）2，其中g（x）=f（x）+f（－x）2为偶函数，h（x）=f（x）－f（－x）2为奇函数，即任一定义域关于原点对称的函数f（x），总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和．

特别地，任意一个多项式函数f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，总可以表示为f（x）=（a0+a2x2+…）+（a1x+a3x3+…），显然f（x）中所有偶次项合在一起构成偶函数，所有奇次项合在一起构成奇函数．这也与奇偶函数的称谓相呼应．

学生对概念本质内涵的把握是一个缓慢有序的过程．因此，概念教学阶段的作业设计，要揭示概念的本质属性，让学生清楚概念的来龙去脉，深刻理解概念的本质涵义，促使学生将所学的概念融合到自己相应的知识结构中．

3．设置阶段复习作业，形成完备的知识体系

牢固的数学基础知识是培养学生的数学思想和方法、提升学生数学核心素养的基石.平时的作业，知识点往往是分散的，因此，阶段复习的作业设计，需要对课本问题演绎推广、变式探究，帮助学生梳理知识、拓展结论、提炼方法、感悟思想，进而形成完备的知识体系.

问题7  若函数f（x）=（x+a）（|x－a|+|x－4|）的图像是中心对称的图形，求a的值．

简析1： 由函数g（x）=x+a关于点－a，0对称， h（x）=x－a+x－4关于直线x=a+42对称，要使函数f（x）的图像是中心对称的图形，只需a+42=－a，即a=－43时函数f（x）关于点43，0对称．

简析2：由已知，函数f（x）右平移a个单位应为奇函数，于是g（x）=fx－a=x（|x－2a|+x－a－4），即h（x）=x－2a+x－a－4为偶函数，即2a+a+4=0，从而a=－43，则函数f（x）关于点43，0对称．

问题8  已知函数f（x）=x2-2x，若关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，求实数t的取值范围．

图１

简析： 设g（x）=f（x）+f（a－x），则g（x）=ga－x，可知g（x）的图象關于直线x=a2对称．如图1，设g（x）=t的四个根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x4=x2+x3=a，可得a=1．于是

g（x）=x2－2x+x2－1=2x2－2x－1，x<－1，x>2，

1－2x，－1≤x<0，

－2x2+2x+1，0≤x<1，

2x－1，1≤x≤2，由图可知， t∈1，32．

评注：结合函数图象的对称性，确定a=1是解决本题的关键．

设置意图：著名数学家波利亚曾说过，“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集合．”数学的一般化或普遍化主要表现在对命题的推广过程中.将奇（偶）函数的图象进行平移，就得到中心对称（或轴对称）图形，奇（偶）函数的图象是中心对称（或轴对称）图形的特殊情况．

奇函数f（x）的图像向右平移a个单位，再向上平移b个单位，得g（x）=fx－a+b，由f（－x）+f（x）=0可导出ga－x+ga+x=2b．于是，我们得到：

性质8  若函数g（x）的图像关于点a，b中心对称，则ga－x+ga+x=2b；反之亦然．

偶函数f（x）的图像向右平移a个单位，得g（x）=fx－a，由f（－x）=f（x）可知ga－x=ga+x．于是，我们得到：

性质9  若函数g（x）的图像关于直线x=a对称，则ga－x=ga+x；反之亦然.

教材第87页拓广探索第13题，就是上述结论的实际应用，由于新教材增加了拓广探索栏目，所配备习题的难度有所增加.把数学的共同本质属性推广到同类事物中，可以达到举一反三的目的，但概念的推广要把握一个度，要循序渐进，切忌超出学生的可接受程度.

4．高中数学概念课作业设计的分层要求

数学作业是数学教师了解学生知识和技能掌握的重要途径，高中数学严谨、抽象的特点，使得数学作业的布置与评价方式的探索与研究变得至关重要.高中数学概念课的作业一般按课前、课后和巩固复习的层次设置.课前作业要关注情境和问题的创设，有利于学生理解数学知识的本质；课后作业要注意针对性和层次性，帮助学生在掌握知识技能的同时，进一步感悟数学的基本思想，积累数学思维的经验；巩固复习作业要关注单元知识的系统性，帮助学生理解数学的结构，增进复习的有效性.

（1）课前作业的设计要求

课前作业是教师在教学新知识之前将要学习的内容作为一项课外作业布置给学生，既可以是学生对新知识的整体预习，也是学生把握下一节课内容的主要脉络，是对某些相关问题的思考.课前作业设计应根据教学的重点难点，以课堂教学中需要进一步巩固、应用的重点内容与方法设计作业，以使学生在“脚手架”的问题设计帮助下，完成学习任务，感悟概念实质，体会通解通法，逐步使最近发展水平转化为实际发展水平.

（2）课后作业的设计要求

课后练习是教学反馈的重要手段，是课堂教学的延伸，也是师生信息交流的一个窗口.课后作业设計要基于教材的内容，使作业设计具有恰当的层次，问题与问题之间要基于知识间的联系.要把一个复杂的、难度较大的问题分解成若干个相互联系的小问题，便于学生有效把握，从而引发对教材内容或问题更深层次的思考.

（3）复习课作业的设计要求

复习课作业不能简单地理解为把总复习里的题目做完就算，而是要让学生把所学知识进行系统的整理归纳，使所学知识得到进一步的巩固延伸， 能最大限度开拓学生的思维，培养学生的思考能力，加深学生对知识的理解.复习课作业要寻找与课本习题的联系，探讨课本习题背景与解题方法，通过对课本问题演绎推广、变式探究引导学生梳理知识、拓展结论、提炼方法、感悟思想，使学生在解决问题的过程中获得解题智慧，提高分析问题与解决问题的能力.

总之，作业是培养学生数学核心素养的重要一环，要通过坡度适合、排列有序、环环相扣的作业设计，让学生形成有层次结构的思维链条.通过高效的作业设计，激发学生积极思维，引导学生逐步深入，使学生的数学知识技能、思想方法和活动经验水到渠成，进而促进学生数学核心素养的良性发展.