新课标背景下运用“新五环”培养学生的问题意识

林丽珊

本文为广东省2023年度教育科学规划课题《新五环渐进式教学对培养学生数学问题意识的研究》（项目批准号：2023YQJK020）部分研究成果.

在平时教学中，学生对教师课堂上所讲的知识往往只是被动地学习，不能灵活运用.无论在课堂上还是课外，都很少有学生能主动去发现问题、提出问题.课堂上教师提问题，学生答问题的教学方式依然普遍，即使是进行小组合作学习，也是按照教师实现设计的教学意图而交流，学生在回答问题时往往也遵循老师的提问意图和思路，抑制了学生对发现问题的兴趣，影响了学生创新意识和创造能力的培养.

响应新课标，学生学习方式要向发现式学习转变，这种转变重视了学生在教学中的主体地位，凸显了培养学生问题意识的重要性.于是，笔者践行新课标理念，运用“新五环渐进式教学”，力求培养学生的问题意识，发展学生的核心素养.

1  新五环渐进式活动过程

1.1  “一环”集思广益，精准集备

此环节组织学生小组在课前合作活动，根据一到两个星期所学内容的重难点、作业、练习中常错题等涉及的相关知识点，发现近阶段存在的问题，进行小组“集备”，提出问题.例如，某学习小组对广州数学中考的一道问题的学习中，溯源到该题是人教版教材八上习题12.3复习巩固中的第7题的基础上命题的，由此开展学习活动.

图1

首先，该学习小组成员组内开展原题剖析、问题评析及一题多解活动.

（1）多思多解 剖析评析

学生小组在课余时间深入研究原题“如图1，∠B=∠C=90°，E为BC中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.”探究多种解法，如：图2

解法一：如图2，过E作EF⊥AD于点F，证明△DCE≌△DFE，得CE=EF，又由E为BC的中点得EF=EB，证得△AFE≌△ABE，得∠FAE=∠BAE，得证AE是∠DAB的平分线.

解法二：在AD上截取DG=DC，连接FG，证△DCE≌△DGE，再证得△AGE≌△ABE，得证AE是∠DAB的平分线.

图3

解法三：如图3，延长DE、 AB相交于点H，证△DCE≌△HBE，得DE=HE，∠CDE=∠BHE，加上条件DE平分∠ADC，可证得AD=AH，又因DE=HE，得证AE是∠DAB的平分线.

问题剖析：本题图形简洁，题目信息量适中，综合考查三角形全等、等腰三角形等核心知识，同时考查学生基于图形的性质或关系作图，建立几何直观.解题关键是根据角相等或线段相等构造全等三角形.

（2）不变条件  深挖结论

小组在证明此题的过程中，由三角形全等发现了线段的数量关系，由双角平分线及平行发现了∠AED=90°，根据∠AED=90°，还可以取AD中点，从而发现点A、D、E三点共圆.从而给题目添加了两个问题：“（1）求证：AE⊥DE；（2）线段CD、AB、AD是否存在数量关系？请说明理由.”

图4

学习小组发现：当以AD为直径画一个圆O，又产生了一个问题：圆O和直线BC相切吗？引起小组成员积极思考.进一步得出结论：如图4，由半径OE=OA及AE是角平分線，可证得∠OEB=90°，或证得OE∥AB，最终可得到OE⊥BC，又因OE是半径，从而得证圆O和直线BC相切.

学习小组在原条件的基础上证得相关结论，还发现了问题，产生了疑问，并严谨证明猜想的正确性，在小组合作交流学习中培养了问题意识.

1.2  “二环”师生合作，精心二备

（1）添砖加瓦 创新问题

图5

通过“一环”小组交流的基础上，教师和学生学习小组一起再次研究问题，激发新灵感，引导学生深入思维.如添加条件，在原图基础上添加新的几何元素，创造新问题1：“如图5，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD.作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE，若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是线段DE，线段AE上的动点，且MN=4，H为AD的中点，P为MN的中点，求HP的最小值    .”

（2）立足基础  二次创问

教师鼓励学生大胆创新，抓住问题本质：由角平分线得到角相等的基础问题出发，尝试寻求再次发现问题.学生小组通过积极尝试，积极地去研学关于“角相等”的相关问题，攻克相关广州数学中考问题，还借助了几何画板辅助验证.最终，从轴对称入手去发现问题，图6并提出新问题2：“如图6，已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=2，AD=6，E为线段BC上的一个动点，将△ABE关于AE对称得到△AB＇E.（1）如图7，当点B＇落在线段AD上时，求证：DE平分∠ADC.（2）连接BB＇交AE点F，当点E在线段BC上移动时，求CF的最小值.”

图7

学生利用轴对称提出问题并解决问题，获得满满的成就感.教师再次引导：图形的变化除了轴对称、平移、选择.大家不妨尝试通过旋转来提出问题.

该小组经过对前两次综合练习后面三题的研究，提出新问题3：”如图7，已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，

图8

图9

AB=3，CD=1，∠DAB=60°，E为线段BC上的一个动点.（1）当点E为BC中点时，求证：DE平分∠ADC.（2）以AE为边向左构造等边△AEF.①如图8，当点E与点C重合时，求DF的长；②如图9，在点E移动的过程中，求DF+DE的最小值.”

此环节激发学生的新灵感，引导学生发现新问题，提出新问题，提高学习数学的兴趣.

1.3  “三环”自主探究，合作求真

（1）合作探究 助力提升

本环节以生为本，给予学生平台，在课堂上，同学自主互动交流学习，分析问题，解决问题，提炼通法，力求深度学习，培养创新思维能力.

学习小组成员PPT呈现他们小组“新问题1”.

图10

小组学生1指出：首先，抓住关键条件AD＝AB+CD及DE是∠ADC的平分线，在AD上截取DG=DC，或者过E作EG⊥AD于点G，

图11

证三角形全等，最终可证得AE⊥DE.则点P是Rt△MEN斜边上的中点，所以PE=12MN=2，而AD=AB+DC=6，在Rt△ADE中，HE=12AD=3.即点P的轨迹在以E为圆心，PE为半径的圆上，如图10，连接HE、PE，则HP≥HE-PE，如图11，当且仅当E、P、H共线时，HP最短，此时HP=HE-PE=1.

学生2：我们在原问题图形基础上，添加定值动线段，考查了知识点：①截长补短，②直角三角形斜边中线等于斜边一半，③定点定长寻找轨迹圆，④圆外一点与圆心连线寻找最小值.

教师及时评价：该小组通过给问题中的条件“添砖加瓦”，提出问题，和大家一起分析并解决问题，提升思维.他们清晰地阐述问题，抓住关键点及严谨证明，还小结了考查知识点.其他小组有没有问题要提出呢？

学生3举手提问：我想问的是，说点P的轨迹在以E为圆心，PE为半径的圆上，那它的运动轨迹是可以在整个圆，还是部分圆弧？是在圆弧上哪个点运动到哪个点呢？

该学生的提出新的问题引起大家再一次陷入思考.

（2）借助技术 疑起思通

小组学生4：首先，过点D作DK⊥AB于点K，勾股定理求得DH=42，图12由CB=DK=42，在前面我们证全等得出点E是BC的中点，得CE=BE=，勾股定理求得DE=23＜4，而AE＞4，而MN=4，即MN＜AE，MN＞DE，即M可以移动到与E重合，但N不能移动到与E重合，我们借助几何画板拉动点P生成轨迹，点P运动轨迹如图12中的那段圆弧.当点M与D重合时，Rt△MEN中NE=，即PE=NE=PN，∠PEN=60°.进一步，我们进一步，还能算出点P运动轨迹圆弧的长呢.

图13

学生3：我明白了.还可以把MN=4改为MN=23，即MN=DE的话，点N就能与E重合啦，点P的运动轨迹圆弧所对圆心角则为90°（如图13）呢，也是很有特殊性.

师：很好，善于借助几何画板辅助解决问题，科学严谨.善于发现问题并分析解决问题，好样的.

（3）抓住关键 思维万变 图14

学习小组继续展示他们的“新问题2”，继续和大家进行思维风暴.

小组成员5：（1）由折叠可知AB＇=AB=4，∠AB＇E=∠B=90°，得∠DB＇E=∠C=90°，DB＇=AD-AB＇=2，则DB＇=DC，证得Rt△EDB＇≌Rt△EDC（HL），得∠EDB＇=∠EDC，得证DE平分∠ADC.（2）如图14，由折叠可知BB＇⊥AE，∴∠AFB=90°，∴点F在以AB为直径的圆上，设AB中点为O，连接OF、OC，则CF≥CO-OF，当O、F、C三点共线时，CF取最小值，为CO-OF，证四边形ADCO为平行四边形，∴CO=AD=6，∴CO-OF=4，即CF的最小值为4.

小组成员6：新问题2从对称变换的角度切入，重点考查对应点连接被折痕垂直，有直角后结合辅助圆轨迹求最值.

师：很棒，该小组善于抓住关键点“角相等”去作轴对称图形，深入研究问题.而且，通过对称轴的不同，得到特殊的情况（1），其实就是点E在特殊位置，即在BC中点时，再到（2），点E的移动带动折痕AE的变化，并抓住轴对称的本质，即对称轴垂直平分对应点连线，就如此问题中的BB＇⊥AE，从而产生圆轨迹问题.

接着，学习小组继续展示他们的“新问题3”，与大家共同分析问题，解决问题，将课堂学习活动引入深度思维.

图15

小组成员7：（1）如图15，作DH⊥AB于点H，可求得AH=AB-CD=2，∴AD=1，AH=4，延長DE交AB于点P，证△DCE≌△PBE，∴AP=AB+CD=4，∠CDE=∠BPE，∴AD=AB，∴∠ADE=∠BPE，∴∠ADE=∠CDE，∴DE平分∠ADC.

图16

（2）①如图16，由（1）知CB=DH=23，在AD上截AQ=AB，则△ABQ为等边三角形，证得△ABC≌△AQF，则FQ=CB=23，∴DF=FQ2+QD2=13.

图17

②如图17，延长AB至点K，使得AK=AD，则△ADK为等边三角形，证△ADF≌△AKE，则EK=DF，∴DF+DE=EK+DE≥DK，∵DK=AD=4，∴DF+DE的最小值为4.

小组成员6：新问题3是从旋转变换的角度切入，主要考查等边三角形的常用处理手段，最后利用变换思想改变线段位置，从而解决两动线段动点不在一起的最值问题.

师：新问题3小组将问题提升为旋转背景的问题，从（1）到（2）的①，再到（2）的②，由易到难，可以是一道不错的中考压轴题.大家今天这节课能积极思考，真正深度学习.

1.4  “四环”分享交流，反思提升

课后小组评价和反思，提高自我评价能力，培养学生学习数学的问题意识和对学习负责的精神.

教师发挥好及时点拨、总结、拓展、调控和激励作用.引导学生互相欣赏、相互鼓励，积极创造团结和谐的展示氛围.课堂交流活动后，教师及时引导学生归纳总结，进行小组自评与互评，逐步培养学生的思维能力.

小组反思：我们小组分工合作，通过书本、近期练习、中考题，去发现问题，寻找突破口，提出新问题，一起探究问题，制作PPT，再三修改的过程中，学习到了许多，充实了彼此，团队意识增强了，也体会到了身为老师的不容易.而讲台下认真听讲的同学们则表示获益良多，对知识点有了更加深入的学习.教师适时总结，肯定我们的成果展示，全班报以热烈的掌声，激励了我们学习数学的热情.

1.5  “五环”双减分层，精准巩固

最后，响应“双减”，根据课堂学习反馈，有针对性地布置练习作业，巩固所学，还通过智慧课堂的课后AI自主学习，鼓励个性化练习，实施分层作业.

2  活动思考

2.1  环环相扣，培问题意识

通过五环渐进式学习过程，学生小组合作，一环生生积极学习发现问题、，二环师生合作提出问题，三环合作探究分析和解决问题，四环反思提升，五环巩固内化，环环相扣，思维品质得到了创新和发展，培养了数学问题意识.

2.2  五环渐进，提核心素养

数学教学可以是从课前到课中到课后的五环渐进式活动过程，在每个环节中激发学生学生自主探究，合作探索，提高自我认识，发展反思能力树立自立、自信良好品质，从而激发学生主动提高自身创新素养.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张文海.“一题一课”：让高三数学复习走向素养落实［J］.数学通报，2020，59（7）：30-34.

［3］李居之，宋庆.关于一道奥地利数学竞赛题的探究［J］.数学通讯，2020（12）：55-58.