构造二阶递推数列 速解一类概率问题

于健 郭建华

本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“自组织视域下高中数学教学模式的研究”（编号：D/2021/02/579）；江苏省教育科学“十四五”规划课题——新教材背景下的高中“数学建模与探究活动”的实践研究（D/2021/02/573）的研究成果之一.

数列中连续两项的递推关系an＋1＝qan＋p（其中p，q为常数，pq≠0，q≠1）是一种常用的数学模型．该模型在概率问题中也有着其独特的用法．

1  试题与解答

（2023年高考数学全国Ⅰ卷21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，… ，n，则E（∑ni=1Xi）＝∑ni=1qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．

参考解答：（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P（B2）＝P（A1B2∪B1B2）＝P（A1B2）＋P（B1B2）＝P（A1）P（B2|A1）＋P（B1）P（B2|B1）＝0.5×（1－0.6）＋0.5×0.8＝0.6.

（2）设P（Ai）＝pi，根据题设条件易得P（Bi）＝1－pi，

所以P（Ai）＝P（Ai－1Ai∪Bi－1Ai）＝P（Ai－1Ai）＋P（Bi－1Ai）＝P（Ai－1）·P（Ai|Ai－1）＋P（Bi－1）·P（Ai|Bi－1）＝0.6pi－1＋（1－0.8）×（1－pi－1）＝0.4pi－1＋0.2，

所以pi＝0.4pi－1＋0.2.

于是，构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋λ＝25（pi－1＋λ），解得λ＝－13，则pi－13＝25（pi－1－13），又p1＝12，p1－13＝16，

所以{pi－13}是首项为16，公比为25的等比数列，即pi－13＝16×（25）i－1，pi＝16×（25）i－1＋13.

（3）设Xi是第i次甲投篮次数，则P（Xi＝1）＝pi＝16×（25）i－1＋13，且Y＝X1＋X2＋…＋Xn，所以E（Y）＝p1＋p2＋…＋pn＝16×1-（25）n1-25＋n3＝518［1－（25）n］＋n3．

2  试题分析

概率论是课程标准中设置的重要知识，是高中数学的必备知识，是体现核心素养和关键能力的重要组成部分．试题以选择两人投篮比赛这一生活实践情境设计概率问题，充分体现了高考评价体系对德智体美劳全面发展的要求，既引导学生积极参与体育锻炼和思维训练，又注重培养学生的兴趣与爱好．本题情境又具有较强的理论背景．运用概率和数列的知识分析、解决问题的能力，突出考查综合性和应用性．试题设计了三个小问，各问之间层层递进，体现了从特殊到一般的研究思路以及提出问题、探究问题、应用问题、解决问题的解题过程．

第（1）问主要考查全概率公式．

第（2）问，找到和发现概率的递推关系是解题的关键和难点，即pi＝0.4pi－1＋0.2，再根据其形式联想到数列的递推公式，转化为数列问题求解，不妨设an＝25 an－1＋15 ，其解法较多，比如，配凑法an－13 ＝25 （an－1－13 ）；迭代法an＝25 an－1＋15 ＝25 （25 ai－1＋15 ）＋15 ＝…；累加法an（25）n-an-1（25）n-1＝15 ×（52 ）n；待定系数法an＋t＝25 （an－1＋t），不动点法等，其中不动点法是求an的优法，否则将带来繁琐的运算，当然，在解题的过程也可以融合多种方法，加快问题的求解．

第（3）问，理解两点分布模型是前提，判断前n次中甲投篮次数服从两点分布是关键，对题设条件E（∑ni=1Xi）＝∑ni=1qi的理解是难点．第（1）问是第（2）问的特殊化，第（3）問与第（2）问的延伸，第（2）问是该题命制的一个“亮点”．

为了更好地解决问题，可以借助“思维导图”理解图形语言、符号语言、文字语言的相互转化，探寻符号语言背后的逻辑关系，进而将复杂情形简单化，抽象问题具体化．

本题重点考查对知识的理解、迁移和应用，通过递进式设问，增强试题的开放性和探究性．不仅能让不同水平的学生选择不同解题路径提供可能，而且考查学生的理性思维、创新与探索精神，充分体现高考的改革精神，落实立德树人的根本任务．3  数列递推关系在概率问题中的应用

例1  甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n（n∈N*）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn，则下列结论正确的是（  ）.

A．p2＝1627，q2＝727

B．数列{2pn＋qn－1}是等比数列

C．Xn的数学期望E（Xn）＝1＋（13）n（n∈N*）

D．数列{pn}的通项公式为pn＝310（－19）n－12（13）n＋15（n∈N*）

解析：重复n次这样的操作，记甲口袋的黑球个数为Xn，其取值为0，1，2，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn，此时，甲口袋的球为以下三种情况之一，即：2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，3个白球和0个黑球，所对应的概率分别为pn，qn，1－pn－qn．

从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋为一次操作．

图1

（1）若重复（n＋1）次这样的操作，甲口袋中黑球个数Xn＋1恰好为2，即甲口袋装有2个黑球和1个白球，则重复n次这样的操作时，甲口袋中黑球的个数Xn为1或2，包含以下两个互斥事件，即：①当Xn＝2时，此时，甲口袋装有2个黑球和1个白球，乙口袋装有3个白球，进行一次操作（甲给乙一个白球，同时乙给甲一个白球）后Xn＋1＝2，于是甲口

袋装有2个黑球和1个白球，乙口袋也装有2个黑球和1个白球，其交换过程如图1所示.因此，这种情形

图2

发生的概率为C11C13·C13C13·pn；②当Xn＝1时，此时，甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有1个黑球和2个白球，进行一次操作（甲给乙一个白球，同时乙给甲一个黑球）后Xn＋1＝2，其交换过程如图2所示.因此，这种情形发生的概率为C12C13·C11C13·qn.所以pn＋1＝C11C13·C13C13·pn＋C12C13·C11C13

·qn＝13pn＋29qn，即pn＋1＝13pn＋29qn．（☆）

（2）若重复（n＋1）次这样的操作，甲口袋中黑球个数Xn＋1恰好为1，此时，甲口袋装有1个黑球和2个白球，则重复n次这样的操作时，甲口袋中黑球的个数Xn为0，1或2，包含以下三个互斥事件，即

①当Xn＝2时，此时，甲口袋装有2个黑球和1个白球，乙口袋装有3个白球，进行一次操作（甲给乙一个黑球，同时，乙给甲一个白球）后Xn＋1＝1，即甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋也装有1个黑球和2个白球，其交换过程的图略，因此，这种情形发生的概率为C12C13·C13C13·pn；

②当Xn＝1时，此时，甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋也装有1个黑球和2个白球，进行一次操作（甲给乙一个白球，同时，乙给甲一个白球，或者甲给乙一个黑球，同时，乙给甲一个黑球）后Xn＋1＝1，即甲口袋仍然装有1个黑球和2个白球，乙口袋也装有1个黑球和2个白球，其交换过程的图略，因此，这种情形发生的概率为（C12C13·C13C13+

C11C13·C11C13）·qn；

③当Xn＝0时，此时，甲口袋装3个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，进行一次操作（甲给乙一个白球，同时，乙给甲一个黑球）后Xn＋1＝1，即甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋也装有1个黑球和2个白球，其交换过程的图略.因此，这种情形发生的概率为C13C13·C12C13·（1-pn-qn）.所以qn＋1＝C12C13

·C13C13·pn＋（

C12C13·C12C13+C11C13

·C11C13）·qn＋C13C13·C12C13·（1－pn－qn）＝－19qn＋23，即qn＋1＝－19qn＋23（☆☆），由2×（☆）＋（☆☆）得2pn＋1＋qn＋1＝23pn＋13qn＋23，所以2pn＋1＋qn＋1－1＝23pn＋13qn－13＝13（2pn＋qn－1）.

当n＝1时，得p1＝C11C13

·C13C13＝13，q1＝C12C13·C13C13＝23，故2p1＋q1－1＝13，所以{2pn＋qn－1}是首项为13，公比为13的等比数列，故B正确；由2pn＋qn－1＝（13）n，得2pn＋qn＝1＋（13）n，由（☆☆）得qn＋1－35＝－19（qn－35），又q1＝23，故qn＝115（－19）n－1＋35，所以pn＝12＋12×（13）n－12qn＝12＋12×（13）n－12［115（－19）n－1＋35］＝310（－19）n＋12（13）n＋15，故选项D错误；

Xn的概率分布如下表所示.

Xn012

P1－pn－qnqnpn

故E（Xn）＝1×qn＋2×pn＝1＋（13）n（n∈N*），故选项C正确；

当n＝2时，得p2＝C11C13

·C13C13·p1＋C12C13·C11C13·q1＝727，q2＝

C12C13·C13C13·p1＋

C12C13·

C12C13＋

C11C13·

C11C13·q1＋

C13C13·C12C13·（1－p1－q1）＝1627，故A错误.綜上选BC．

评注：四个选项的形式多样，考查了概率和数列的重要知识点，达到了交汇考查的目的.从选项中可以猜想pn与qn之间存在一定的联系．如何厘清它们之间的关联，就要分析从第（n－1）次操作到第n次操作会产生怎样的变化．为了将抽象问题具体化，更易于学生理解，把从第（n－1）次的操作到第n次的操作过程采取“思维导图”的形式呈现，即采取先研究一般化再考虑特殊化的问题探究方式．也可以从特殊化入手，寻找概率变化的规律，进而猜想pn与qn的一般化形式，再结合概率的知识求解．另外，学生还要熟练掌握具有递推关系an＋1＝qan＋p （p≠0，且q≠0，1）的数列通项的求法，再结合数列的知识求解．

图3

例2  设一个正三棱柱ABC－A1B1C1，如图3，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行.它选择三个方向爬行的概率相等，当蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率记为Pn，则下列选项正确的是（  ）.

A．P1＝23      B．P2＞P1

C．Pn＝13Pn－1＋13  D．∑ni=114Pi-1＞n2n+1

解析：若蚂蚁爬行n次时，仍然在上底面的概率记为Pn，则蚂蚁爬行（n－1）次时，仍然在上底面的概率记为Pn－1，Pn的大小决定于以下两个互斥事件，即：（1）若上一步在上底面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为23Pn－1（n≥2）；（2）若上一步在下底面，则第（n－1）步不在上底面的概率为1－Pn－1（n≥2），若想爬上来，则概率为13（1－Pn－1）（n≥2）．

因为两个事件是互斥的，所以Pn＝23Pn－1＋13（1－Pn－1），即Pn＝13Pn－1＋13，所以Pn－12＝13Pn-1-12，即Pn-12是以13为公比的等比数列，又由P1＝23，所以Pn＝12·13n＋12，故A，C正确，B错误．

对于选项D，用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，左式＝14×23-1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立；当n＝2时，左式＝14×23-1＋14×59-1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②设n＝k（k≥2）时，有∑ki=114Pi-1＞k2k+1．当n＝k＋1时，左式＝∑ki=114Pi-1 ＋14Pk+1-1＞k2k+1＋14（12+12×13k+1）-1＝k2k+1＋3k+13k+1+2．

要证k2k+1＋3k+13k+1+2≥（k+1）2k+2，

只要证3k+13k+1+2≥（k+1）2k+2－k2k+1，

只要证3k+13k+1+2≥k2+3k+1k2+3k+2，

只要证23k+1≤1k2+3k+1，

只要证3k＋1≥2k2＋6k＋2，

因为k≥2，所以3k＋1＝3（1＋2）k≥3（1＋2k＋4C2k）＝6k2＋3＝2k2＋6k＋2＋2k（2k－3）＋1＞2k2＋6k＋2，所以k2k+1＋3k+13k+1+2≥（k+1）2k+2，即n＝k＋1时，不等式也成立．

根据①和②可知，对任何n∈N*不等式∑ni=114Pi－1＞n2n＋1均成立．故D正确.综上，故选ACD．

评注：本题以立体几何作为问题情境，与例1相比四个选项的考查形式较为单一. 求解Pn仍然是本题最核心的问题，关键是要理解爬行的规则，弄清楚Pn与Pn－1之间的关联，分析方法和求解策略同例1．对于选项D，∑ni=114Pi－1＝∑ni=112×13i+1与n2n+1的大小比较难度较大，可以采取先猜后证的方式处理，再利用数学归纳法证明．

例3  A，B二人轮流掷1个骰子，第1次由A先掷，若A掷到1点，下次仍由A掷；若A掷不到1点，下次换B掷，对B同样适用规则．如此依次投掷，记第n次由A擲的概率为Pn．（1）求Pn＋1与Pn的关系；（2）求limn→∞Pn．

解析：（1）由题意，得P1＝1，P2＝16 ，P3＝16 ×16 ＋56 ×56 ＝1318 ．

一般地，由于第n次由A掷的概率为Pn，得第n次由B掷的概率为1－Pn，根据第n＋1次由A掷的条件是第n次由A掷到1点或第n次由B掷不到1点，

得第n＋1次由A掷的概率为Pn＋1＝16 ×Pn＋（1－Pn）56 ＝－23 Pn＋56 ，故Pn＋1与Pn，的关系为Pn＋1＝－23 Pn＋56 ．

（2）由（1）得Pn＋1＝－23 Pn＋56 ①，令Pn＋1＋t＝－23 （Pn＋t），即Pn＋1＝－23 Pn－53 t②，

由①，②得t＝－12 ，即Pn＋1－12 ＝－23 （Pn－12 ），

又P1＝1，得P1－12 ＝12 ，所以{Pn－12 }是首项为12 ，公比为－23 的等比数列，即Pn＝12 ＋12 ×（－23 ）n－1，

所以limn→∞Pn＝

limn→∞12 ＋12 ×（－23 ）n－1＝12 ．

评注：用递推数列解答概率统计题是大学自主招生和竞赛命题的热点，也是学生的难点．该题是一道典型的投骰问题，分析方法同引例，依据思维导图，厘清第（n＋1）次由A掷的条件是求解Pn＋1与Pn的关系及其Pn通项是关键，再结合从特殊到一般的方法求解．

构造an＋1＝qan＋p（其中p，q为常数，pq≠0，q≠1）的数列模型求解概率问题，此类问题情境丰富，综合性强，求解难度大，重点考查数学建模能力以及创新能力，考查转化与化归、分类讨论等数学思想等．它也是落实“四基”，培养“四能”的重要考查形式，为数学核心素养的考查提供重要的载体．