巧用对称轴 速解三角题

蒋青松 叶国芳

在三角函数y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的图象中，其单调性在对称轴处发生转折，如果我们在解题中能巧妙利用对称轴，找到一些相等或不等关系，能使问题迎刃而解，达到速解目的.现举几例，供大家参考.

例1  已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0<φ<π）的图像关于x=2π3对称，则（  ）.

A.f（x）在0，5π12上单调递减

B.f（x）在－π12，11π12上有两个极值点

C.直线x=7π6是y=f（x）的对称轴D.直线y=－3x－12是y=f（x）的切线

解：直线x=kπk∈Z是y=f（x）的对称轴，故有2·2π3+φ=kπ，又0<φ<π，故取φ=2π3，所以f（x）=cos2x+2π3.令z=2x+2π3，因为x∈0，5π12，则z∈2π3，3π2，此时y=cosz不单调，故A错； 当x∈－π12，11π12，则z∈π2，5π2，此时y=cosz有两个极值点，故B正确；当x=7π6时，f（x）=cos2·7π6+2π3=cos3π=－1，直线x=7π6是y=f（x）的对称轴，故C正确；当y=－3x－12时，可令f′（x）=－2sin2x+2π3=－3，解得x=kπ或x=－π6+kπk∈Z.取x=0，则f0=cos2·0+2π3=－12，此时取x=0时的切线方程是y－－12=－3x－0，即y=－3x－12，故D正确.综上选BCD.

评注： 本题利用已知条件和余弦函数图象的对称轴x=kπk∈Z求得φ=2π3，从而进一步确定f（x）的具体解析式，使得问题得以破解.这里，对称轴x=kπ起到了举足轻重的地位.

例2  函数f（x）=sinωx+π4ω>0在0，π2内有唯一零点的充分条件是（   ）.

A.f（x）的最小正周期为π

B.f（x）在0，π2内单调

C.f（x）在0，π2内有且仅有一条对称轴

D.f（x）在0，π2内的值域为－1，1

解： f（x）的最小正周期为π时，ω=2，故易验证f（x）=sin2x+π4在0，π2内有唯一零点.所以选A;而对于BCD，注意到f0=22，作出f（x）在x>0上的图象，设x=x0是函数f（x）=sinωx+π4ω>0，x>0的图象最靠近y轴的对称轴，若f（x）在0，π2内单调，则有 x0>π2，故没有零点，不能选B;若f（x）在0，π2内有且仅有一条对称轴，则有 x0<π2

评注：对于选项BCD，由于引进函数图象的对称轴x=x0使得图象的增减性以及图象与x轴的交点个数一目了然，达到速解的效果.

图1

例3  如图1，已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π2）的图象，f（x1）=f（x2）=－32，则（  ）.

A.ω=π6      B.φ=π6

C.fx1+x2=1D.cosπ6x2－x1=34

图2

解：由图2可得f0=1，f52=0， 分别代入函数f（x）=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π2） 得φ=π6，ω=π3，故选B不能选A； 令x0=x1+x22，则x=x0是函数f（x）=2sinπ3x+π6的图象的对称轴，故fx0=2sinπ3x0+π6=－2，所以sinπ3x0+π6=－1，从而cosπ3x0+π6=0，f（x1+x2）=2sinπ3x1+x2+π6=2sin2π3x0+π6=2sin2π3x0+π12=4sinπ3x0+π12cosπ3x0+π12=4sinπ3x0+π6－π12cosπ3x0+π6－π12 =4sinπ3x0+π6cosπ12－cosπ3x0+π6sinπ12·cosπ3x0+π6cosπ12+sinπ3x0+π6sinπ12，又sinπ3x0+π6=－1，cosπ3x0+π6=0，所以上式變为fx1+x2=4－1cosπ12－00－1sinπ12=4sinπ12cosπ12=2sinπ6=1，所以fx1+x2=1，故选C；又由已知f（x1）+f（x2）=－3，故2sinπ3x1+π6+sinπ3x2+π6=－3，运用和化积，得2×2sinπ3·x1+x22+π6cosπ3·x1－x22=－3，

2×2sinπ3·x0+π6cosπ6·x1－x2=－3，又sinπ3x0+π6=－1，所以上式变为cosπ6·x1－x2=34，故选D.综上，选BCD.

评注：对于选项CD，由于引进函数图象的对称轴x=x0，使得未知的x1+x2，转化为已知的f（x0）=2sinπ3x0+π6=－2，然后运用角的变换得解.

上述3例中，例1的函数的图象的对称轴是可以具体求得的，而例2与例3的函数的图象的对称轴是虚拟的、假设的，但所起的作用是关键的因而后面两例的难度稍大.从中可以看到，在解一些三角题时，其函数图像的对称轴是一个及其重要的考虑因素，有时能达到速解的目的.