例谈求解平面向量问题的几种基本策略

高翠

平面向量具有“数”与“形”的双重特点，是数形结合的“桥梁”，它既可以将几何问题代数化，也可以将代数问题几何化．抽象的代数思维、形象的几何图形，被向量这一重要纽带结合到了一起.这为解决相关平面向量问题提供了更为广阔的空间．本文从“数”和“形”两大方面通过分析、提炼平面向量的几种解题策略，为学生指明解题方向、优化解题过程、提高解题效率，供读者参考．

1．平面向量问题的基底化

图1

基底化关键就是根据平面向量的基本定理选好基向量，如果在平面上能够找到一组向量，其模和夹角都能确定或者部分确定，则该平面内向量的基本运算都可以通过这一组基底来实现．

例1  在直角三角形ABC中，∠C=π2，AC=3，取点D，E，使得BD=2DA，AB=3BE，那么CD·CA+CE·CA=（  ）.

A．－6  B．6

C．－3  D．3

解析：如圖1所示，CD=CA+AD=CA+13·AB=CA+13（CB－CA）=23CA+13CB，所以CD·CA=（23CA+13CB）·CA=23CA2=6．

同理CE=CB+BE=CB+13AB=CB+13（CB－CA）=43CB-13CA，则CE·CA=（43CB－13CA）·CA=－3，故CD·CA+CE·CA=3，故选D．

评注：将平面向量表示成一组基底的线性组合，也是向量数量积的基本策略．本题中虽然不知道|CB|，但由于有垂直关系，所以结果与|CB|无关．

2．平面向量问题的坐标化

由于平面向量既具有代数的特征，又具有几何的特征，故很多向量题，通过巧妙建立平面直角坐标系，构建代数与几何联系的桥梁，实现以形思数，以数解形．这是平面向量问题的坐标意识，体现了化归与转化的思想．

图2

例2  如图2，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴非负半轴，y轴非负半轴上移动，M为AB的中点，则OA·OM的最大值为     ．

解析：如图2，设∠CBO=θ，则在Rt△CBO中，CB=2，OB=2cosθ，OC=2sinθ，即B（2cosθ，0），∠ACO=∠BCO+∠ACB=（90°－θ）+60°=150°－θ，则∠ACy=30°+θ，故xA=2sin（30°+θ）=cosθ+3sinθ，yA=yC+2cos（30°+θ）=2sinθ+2cos（30°+θ）=sinθ+3cosθ，从而可以得出A点的坐标A（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），又M为AB的中点，所以M（32cosθ+32sinθ，12sinθ+32cosθ），则OA·OM=3cos2θ+33sinθcosθ+2sin2θ=2+cos2θ+33sinθcosθ

=52+332sin2θ+12cos2θ=52+7sin（2θ+φ），其中φ为锐角，且tanφ=39，所以OA·OM的最大值为52+7．

评注：凡是点的运动引起了角度的变化，或者动点在圆弧上运动，均可引入角度参数，将角度作为自变量，通过函数思想来解决向量数量积的最值问题和范围问题．

3．平面向量问题的共线化

向量的共线化方法就是利用平面上三点共线的向量表示法，即将同一个平面向量通过两种不同的方式表示成同一组基底的线性关系，由于基底相同，则其表示法是唯一的，便可得到基底的系数对应相等．三点共线的关系可以用平面向量基本定理表示，即OA=λOB+（1－λ）OC，同一向量与不同的三点共线有两种表示形式；或者是一个用OA=λOB+（1－λ）OC，另一个用AB=μAC，最终都表示成同一组基底的形式．

图3

例3  如图3，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC，BE=3EC，AF=2FD，AE与BF交于点O，则 AO=（   ）.

A．37AB+47BC  B．47AB+37BC

C．45AB+35BC  D．27AB+37BC

解析：如图3，因为AE=AB+BE=AB+34BC，又A，O，E三点共线，设AO=λAE=λ（AB+34·BC）=λAB+3λ4BC，因为AD=AB+BC+CD=AB+BC－12AB=12AB+BC，所以AF=23AD=23（12AB+BC）=13AB+23BC，又B，O，F三点共线，则存在实数μ使得AO=μAF+（1－μ）AB=μ（13AB+23BC）+（1－μ）AB=（1－2μ3）AB+2μ3BC，由于向量AO在基底{AB，AC}的表示下结果是唯一的，于是λAB+3λ4BC=（1－2μ3）AB+2μ3BC，所以λ=1－2μ3，

3λ4=2μ3， 解得λ=47，

μ=914， 所以AO=47AB+37BC，故选B．

评注：对于图形中的交点问题，一般不少于两种选择，一是A，O，E三点共线，利用共线向量定理得出AO=λAE，再将AE用基底{AB，AC}表示；二是B，O，F三点共线，利用平面向量基本定理得AO=μAF+（1－μ）AB，根据表示的唯一性，即可突破问题的瓶颈．

4．平面向量问题的数量化

所谓数量化策略，是指在解决由基底表示的向量的系数问题时，把题目中的等式两边施加恰当的数量积运算，使向量运算转化为纯数量运算的方法．通过数量化后可只关注图形的几何特征，利用解三角形的方法把向量运算完全代数化．

例4  已知△ABC的一个内角A=π3，O为△ABC所在平面上一点，且满足|OA|=|OB|=|OC|，设AO=mAB+nAC，则m+n的最大值为（  ）.

A．23  B．1  C．43  D．2

图4

解析：如图4所示，过点O作OD⊥AB，易知AD=DB，在△AOD中，ADAO=cos∠OAD，所以AO=AB2cos∠OAD，

则AO·AB=|AO|·|AB|cos∠OAD=12|AB|2=12c2，

同理AO·AC=12b2，又AB·AO=mAB2+nAB·AC=mc2+12nbc，

AC·AO=mAC·AB+nAC2=12mbc+nb2，

所以12c2=mc2+12nbc，

12b2=12mbc+nb2， 化简得m=23－b3c，

n=23－c3b， 即m+n=43－13（bc+cb）≤23，當且仅当b=c时等号成立，故选A．

评注：对于形如AO=mAB+nAC的结构，如果AO，AB，AC的模或者夹角已知，或者部分条件已知，则将向量数量化是一种有效的策略．当然，在问题的处理过程中会出现一些参数，这要看问题指向的目标，如果是求最值或者是求范围，这些参数正好可以作为函数的自变量，如果是求值，则自然要消去这些参数．

5．平面向量问题的特殊化

所谓特殊化策略，就是把问题转化为特殊形式，通过对特殊形式的研究，去获取或探寻解决原问题的思路与方法．

例5  若向量，，满足||=4，||=22，与的夹角为π4，且（－）·（－）=－1，则|－|的最大值为       ．

解析：设=（x，y），=（4，0），由于与的夹角为π4，所以=（2，2），由（－）·（－）=－1（x－4，y）·（x－2，y－2）=－1（x－3）2+（y－1）2=1，|－|=（x－4）2+y2可看成是圆（x－3）2+（y－1）2=1上任意一点与点（4，0）之间的距离，所以|－|max=（4－3）2+（0－1）2+1=2+1．

评注：本题中a与b向量不仅模是确定的，夹角也是确定的，所以这两个向量已经相对固定，从而可以特殊处理．特殊化后再坐标化在向量运算中可以实现简化的目的．若||=1，则可设=（1，0）或=（0，1）或=（cosθ，sinθ）等等，以简化运算．

6．平面向量问题的图形化

所谓向量的图形化方法，就是利用图形的几何特征，将要解决的向量问题体现在图形的某种特征上．如向量的模即为两点之间的距离，当相应的两点在某个特别的图形上运动时，距离就有了一定的范围，这样距离的最值或范围就易于解决．

例6  已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（－）·（－）=0，则||的最大值为（   ）.

A．1  B．2  C．2  D．22

图5

解析：如图5所示，设OA=，OB=，OC=，因为，是两个互相垂直的单位向量，所以△ABO为直角三角形，且|OA|=|OB|=1，|AB|=2，

又因为－与－也是两个互相垂直的向量，

且CA=OA－OC=－，CB=OB－OC=－，

所以O，A，C，B四点共圆，故点C在圆上运动，则0≤||≤2，

所以||max=2，故选C．

评注：向量中的垂直大多可以与直角三角形的外接圆建立联系，所以，以OA，OB为直角边构造直角三角形，则O，A，B三点在以AB为直径的圆上，再通过直观的图形使解题简单化．

7．平面向量问题的重构化

在解一些数学问题时，如果能够重构数学问题的已知条件，将它建成另一个模型，使之成为一个全新的问题，那么就可以用全新问题的模型来解题．

例7  已知||=1，|2+|=2，则|5－4b|的取值范围是     ．

解析：令2+=，则=－2，所以|5－4|=|5－4+8|=|13－4|，又|13||－4|||≤|13－4|≤13||+4||，因为||=1，||=|2+|=2，所以5≤|5－4|≤21，故|5－4|的取值范围是［5，21］．

评注：由于向量与2+的模已知，所以拟用向量与2+表示向量5－4，显然直接表示有困难，于是联想重构向量基底，令2a+=，用与表示5－4，再利用绝对值三角不等式，使问题迎刃而解．

综上，平面向量的求解策略还有很多，本文例析的只是一些常用的基本方法，是学生学习过程中必须掌握的．经过以上分析可知，平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理，通过平面向量基本定理的辐射作用，在求解平面向量问题时，要树立“基底意识”与“坐标意识”．因此，我们在把向量的思想与方法传授给学生时，不能够只浮于解题之上，而忽略对向量思想与方法的理解．