从一道题的解答看核心素养的培育

杨洪庄 吴冬梅

一、问题提出

已知函数f（x）=x－lnx－2.

（1）求函数的最小值；

（2）若方程f（x）=a有两个不同的实数根x1，x2，证明：x1+x2>2.

由（1）知，f′（x）=1－1x，故易知当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增，所以x=1为函数f（x）的极小值点.

对于第（2）问，显然是学生学过导数之后遇到的偏极值问题型，此类问题的处理，常常是通过构造函数F（x）=f（x）－f（2－x）（01，令F（x）=f（x）－f（2－x）（0F（1）=0，即f（x）>f（2－x），又x1∈（0，1），则f（x1）>f（2－x1），又f（x1）=f（x2），所以f（x2）>f（2－x1），因为x2>1，2－x1>1，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增，故x2>2－x1，即x1+x2>2.

对于上述教学解答思路，是怎么想到构造函数F（x）=f（x）－f（2－x）（0

二、问题解决

我们知道，当从题设条件去寻找解题思路达到目标有困难时，我们就要采用“分析法”入手，即从欲证的结论入手，去寻找求解目标成立的充分条件，这才是提升学生解决问题的思维之道.如本问题第（2）问，由題意条件f（x1）=f（x2）=a，去论证x1+x2>2成立，显然思路不清晰，此时，我们只能从求解目标x1+x2>2上去分析其成因，故可以将欲证的不等式x1+x2>2施行变换，以得到一个我们熟悉的数学模型，从而就找到了解题目标的形成思路.针对此题，具体分析如下：欲证x1+x2>2成立，即证x1>2－x2，可考虑f（x1）>f（2－x2）或f（x1）f（2－x2）或f（x2）1，这样就转化为f（x2）>f（2－x2）或f（x2）1上是否成立的问题，即证f（x2）－f（2－x2）>0或f（x2）－f（2－x2）<0在x2>1上是否成立的问题，这样一来构造函数F（x）=f（x）－f（2－x）（0

当然，构造函数的方式不唯一，此题也可通过构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）（x>1）也可解答.

三、教学反思

平时，不少教师感叹，讲过几遍的问题，学生还是掌握不住，出现这种现象，作为教师要反思自己的教学理念与行为，切勿将原因一味归结于学生身上.实际上，有些问题不是学生的问题，而是我们的教学出了问题，主要表现在我们教师对欲求解的问题理解和把握没有达到一定的深度，难以将问题解决的原理呈现在学生面前，仅停留在操作的层面，从而学生听了之后也只能囫囵吞枣，这是培养“解题机器”的教学行为，而不是培养学生核心素养的教学，应该摒弃.

由于核心素养在教育教学目标结构中是一个“居中”层面的目标，它上接宏观的教育方针和目标，下接微观的教学目标，所以做好“核心素养”的培育工作至关重要，当然数学学科核心素养的培养并不是无源之水、无本之木，而是“接地气”的，其中良好的学习基础与具体教学过程目标是核心素养培育的两大支柱.数学核心素养的培养，其结构比过去的“双基”更为科学、合理.其中，数学基础知识、基本技能主要体现为结构性的知识、客观性的事实，而数学思想、基本活动经验则是在学习过程中学生学习主体获得的主观性体验和感悟，这样一个学习基础结构，使数学学习的结果与过程、客观与主观、静态与动态，外在与内化有机地结合起来，无疑为学生数学素养的发展奠定了坚实的数学学习基础.

如，本案例中的问题第（2）题的求解，如果教师不帮助分析构造函数F（x）=f（x）－f（2－x）（0

当然，数学解题是有规律的，所以教学也需要讲套路的，但解题套路的揭示不可少，如果只介绍解题“规律”，而不让学生明晰解题规律的由来，则极易造成学生“机械刷题”的发生.但是教师在解题教学中，注重引导解题套路或规律的形成过程，让学生看到、感受到解题套路来得自然、合理，明白解题思路从何来又去何方，这样一来，学生就从打心眼里掌握了解题套路与规律，再遇到类似问题就能做到灵活运用了，则这样的教学就不仅仅是套路的教学，更为重要的是发展学生核心素养的教学.