一道不等式竞赛题的加强、变式及推广

刘远桃 张涛 陈明万

1  试题呈现

题目  已知a，b，c>0，满足a+b+c=1，求证：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c≥8ab+bc+ca.

这是2017年希腊数学奥林匹克竞赛题中的一道不等式证明题，文中陈老师给出了一个加强，笔者对该试题做进一步的探索，得到了该不等式的加强、变式和一般性的推广.

2  试题析证

析证：条件a+b+c=1是不等式证明题的经典类型，证明此类不等式，总体思路是通过对不等式进行变换，“凑出”a+b+c=1项，或者在变换过程中进行整体代换，简化不等式从而得到证明.即由均值不等式得a+12a1－a=［2a+（b+c）］2ab+c≥22ab+c·2ab+c=4ab+c=4ab+4ac，当且仅当2a=b+c时，等号成立，此时a=13.

同理可得b+12b1－b≥4ab+4bc，（c+1）2c1－c≥4ac+4bc，所以（a+1）2a1－a+b+12b1－b+（c+1）2c1－c≥4ab+4ac+4ab+4bc+4ac+4bc

=8ab+bc+ca，当且仅当a=b=c=13时，等号成立.

评注：该证明思路主要是利用不等式“a，b>0，a+b≥2ab”将原不等式放缩得到证明，同时也可以利用不等式“a，b>0，ab≥21a+1b”對原不等式进行放缩来证明.

3  试题加强

加强  已知a，b，c>0，满足a+b+c=1，求证：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c≤83.

证明： 先证明a+12a1－a≤43a+49，只需证明2a1－aa+12≤43a+492，化简得3a－129a2+15a+8≥0，当00恒成立，所以a+12a1－a≤43a+49，当且仅当a=13时，等号成立.同理可得b+12b1－b≤43b+49，（c+1）2c1－c≤43c+49，所以（a+1）2a1－a+（b+1）2b1－b+（c+1）2c1－c≤43a+49+43b+49+43c+49=43a+b+c+43=83.综上得证，当且仅当a=b=c=13时，等号成立.

加强的推广  已知ai>0，i=1，2，….n，μ>0，满足∑ni=1ai=λ，求证：

∑ni=1［（n－2）ai+λ］.μaiλ－ai≤2λ2n－1μn－1n.

评注：在加强的基础上将未知数个数从“3”推广到“n”，条件式子的结果从“1”推广到“λ”，不等式的结构没有改变，证明方法与加强不等式的证明完全相同.

4  试题变式

变式  已知a，b，c>0，满足a+b+c=1，求证：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c≥6.证明：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c=a+12a1－a2a1－a+b+12b1－b2b1－b+c+12c1－c2c1－c

=2a+b+c2ab+c2ab+c+2b+a+c2ba+c2ba+c+2c+a+b2ca+b2ca+b≥4ab+c2ab+c+4ba+c2ba+c+4ca+b2ca+b=6，当且仅当a=b=c=13时，等号成立.

评注：试题中的式子是以整式形式呈现的，而变式中的式子是以分式形式呈现的.

5  试题推广

推广1  已知a，b，c>0，μ>0，满足a+b+c=λ，求证：（a+λ）μaλ－a+（b+λ）μbλ－b+c+λμcλ－c≥42μ（ab+bc+ca）.

推广2  已知ai>0，i=1，2…n，满足∑ni=1ai=1，求证：∑ni=1n－2ai+12ai1－ai≥42n－1∑i≠jaiaj.

推广3  已知ai>0，i=1，2，…，n，μ>0，满足∑ni=1ai=λ，求证：∑ni=1n－2ai+λμaiλ－ai≥4μn－1∑i≠jaiaj.

分析：在推广2的基础上将式子结构中的“2”推广到“μ”，条件式子的结果“1”推广到“λ”.下面给出推广3的证明，推广1、2的证明不再叙述.

证明：由均值不等式得n－2a1+λμa1λ－a1=［（n－1）a1+（a2+a3+…+an）］μa1a2+a3+…+an

≥2n－1a1a2+a3+…+an·n－1a1a2+a3+…+an·μn－1

=2μn－1a1a2+a3+…+an，

当且仅当n－1a1=a2+a3+…+an时，等号成立，此时a1=λn.同理得其他n－1个式子，所以∑ni=1［n－2ai+λ］μaiλ－ai≥4μn－1∑i≠jaiaj，当且仅当a1=a2=a3=…=an=λn时，等号成立.

参考文献

［1］陈罗英.几道2017年数学竞赛不等式加强及推广［J］.中学数学研究（江西师大），2017（12）：48-50.