一般观念统领下的初中数学探究活动课

郑为勤 蔡海涛

基金项目：福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《新课标视域下培育学生数学能力的初高中衔接教学模式研究》（JSZJ22115）；三明学院 2023 年面向三明市基础教育合作项目《三明学院与三明一中陈景润初中部“三习”教育实践体系构建研究》（课题编号：SMJY2325）的研究成果.

“一般观念”是指对本学科学习和研究具有广泛、持久、深刻影响的基本数学思想方法和基本思维策略［1］.数学教学中，为帮助学生获得“四基”，发展“四能”，教师可以通过探究活动的选择与设计，课堂活动的规划与开展，引导学生在掌握知识与技能的同时，感悟数学思想，培养思维能力，积累活动经验，发展核心素养.初中阶段的“图形与几何”包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题，从演绎推理、运动变化、量化分析研究图形的基本性质和相互关系.笔者以一般观念统领，设计“坐标与旋转”探究活动课，下呈现本节课的教学过程与反思，期抛砖引玉.

1  教学实施

1.1  复习引入

填空：（1）已知点M和点N关于x轴对称，点M（2，3），则点N的坐标是；

（2）已知点M（2，a），点N（a+b，3）.若点M和点N关于y轴对称，则a=，b=；

（3）在平面直角坐标系中，将点A（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是.

设计意图：引导学生回忆已学习过的两种图形变换，在复习“坐标表示平移”“坐标表示轴对称”相关知识点的过程中，促进学生回忆在前面的学习中是如何探索、总结用坐标表示对称、平移的.点的几何变换有对称、平移、旋转.学习旋转后，应该能想到提出新的问题：能用坐标表示旋转吗？类比对称、平移的研究，把问题特殊化为“一个点绕定点旋转一个定角度后的坐标”.

1.2  自主探究

操作探索：把点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标是什么？

引导学生可以从特殊的点入手，在格点纸上完成以下步骤：

画图：把点M（3，4）绕原点顺时针旋转90°后的对应点的坐标是.

观察：把点M（3，4）绕原点顺时针旋转90°后的对应点的坐标是（4，-3）.

学生小组合作，小组中四人分别在格点纸上描不同象限的点，画出它绕原点顺时针旋转90°后的对应点，并写出坐标；收集旋转前后点的坐标填入表格，观察旋转前后的坐标间有什么联系.

图1

猜想：点P（a，b） 绕原点顺时针旋转90°后的对应点P′的坐标是（b，－a），验证猜想是一个从特殊到一般的过程.如图1，假设点（a＞0，b＞0），画出旋转后的点P′.通过作垂线把点的坐标与线段长联系起来，并构造全等三角形，得到对应线段的长，从面确定出旋转后的点P′的坐标是（b，－a）.

设计意图：该环节自主探究的内容是把点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°后对应点P′的坐标是什

么？运用了“特殊与一般”“操作——观察——猜想——验证”的探究策略，让课堂充满了挑战性、探究性和思维性，同时引导学生从解决问题的角度方法、思维策略等方面进行反思和归纳，寻求问题解决的规律和思维方法，有效渗透数学思想，发展学生抽象素养.

图2

1.3  类比迁移

例1  如图2，把点P（3，4）绕点（1，0）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？

分析：（法一）类比绕原点旋转求点坐标的思路，如图3，构造“一线三直角”，从三角形图3全等中得线段长PC=O′D=2，O′C=P′D=4，进一步得OB=2，P′B=5，再结合点所在的象限写出点P′的坐標为（5，-2）.

（法二）如图4，把点P（3，4），点（1，0）均向左平移1个单位，图4问题也可变式为点M（2，4）绕原点顺时针旋转，得旋转后点M的坐标（4，-2），再平移回原有的位置确定点P′坐标（5，-2）.

（法三）用转化的方法，如图5，把y轴向右平移1个单位，那么问题就变式为点（2，4）绕原点顺时针旋转，得旋转后点的坐标为

图5

（4，-2），再考虑旋转后的点P′在原直角坐标系中的坐标为（5，-2）.

拓展：（选做）

（1）把点P（a，b）绕点（1，0）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？

（2）把点P（a，b）绕点（0，1）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？

（3）把点P（a，b）绕点（1，1）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？图6

设计意图：本环节通过类比第二环节，着力探索当旋转中心改变时如何用坐标表示，既检验对基本的思路、通性通法的掌握程度，同时渗透转化化归的数学思想.

1.4  综合运用

例2  如图6，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别与x轴、y轴交于点A、B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线表达式为.

分析：易得点坐标为A（-2，0），点B坐标为（4，0）.

根据“两点确定一条直线”，所以要确定旋转后直线的表达式，只需再确定一个点的坐标，再用待定系数法求旋转后直线的表达式即可.图7

（法一）如图7，先确定点B（4，0）绕点A（-2，0）顺时针旋转90°后的点B′的坐标为（2，-2）；用点A、B′确定旋转后直线的解析式.

（法二）如图8，由直角平面坐标系和旋转提供的直角，AO是Rt△ABC斜边上的高.这个

图8

基本图形中已知AO=2，BO=4，由勾股定理、三角形相似可得OC长是1，即求出旋转后直线与y轴的交点C坐标（0，-1），用点A、C确定旋转后直线的解析式.

設计意图：该环节有机地结合函数与直线的旋转，除了用本节课的知识方法外，还引导学生关联拓展到以前学习的知识方法，是一道综合运用题.在题目中的90°角，可以有“构造全等三角形”“利用勾股定理”等解题思路.有的学生还可以直接由垂直关系得k1k2=－1，确定旋转后直线的斜率，再代入A点坐标即可.方法的多样性可以激发培养学生的发散思维.在探究过程中，学生的数学思维在原有的基础上自然生长，形成解决问题有方向、思考问题有思路、解决问题有策略的思考能力.

1.5  课堂小结

今天我们学到了什么？你有什么质疑和发现？

设计意图：从知识层面小结本课内容包括：点的三种几何变换：轴对称、平移、旋转；探索用坐标表示旋转，并运用结论解决问题；从思想、方法层面本课涉及用从特殊到一般，类比、转化等；预设学生能提出问题：如点P（a，b）沿直线y=x或y=－x翻折后的点的坐标是什么？把点P（a，b）绕原点顺时针旋转45°，点P的对应点P′的坐标是什么？

2  教学思考

2.1  以“一般观念”解锁提出问题新密码

学生在数学思维活动中，主要表现形式为提出问题和解决问题［2］.在北师版教材中，“用坐标表示轴对称”研究了“点关于x轴、y轴对称的点的坐标表示”.学习完平移后研究了“点沿x轴、y轴平移后的坐标表示”.因此，学习旋转后，学生能提出“如何用坐标表示旋转”这样的问题.围绕“变换的定义——变换的性质——变换的作图——变换的表示”，形成研究变换的“一般观念”.类比前面的研究，对称确定特殊的对称轴，平移确定特殊的平移方向，旋转三要素中也确定特殊的旋转中心——原点，研究一些特殊的旋转角度——如90°.从“一个点绕原点顺时针旋转90°后的点的坐标表示”这个特殊问题入手，运用“一般观念”，经历“操作——观察——猜想——验证”，得到结论：点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°后的对应点P′的坐标是（b，－a）.改变三要素中的旋转中心，把“绕原点”变式为“绕（1，0）、（0，1）、（1，1）等坐标轴上的点或是坐标系里的任意点”，把旋转方向从顺时针变式为逆时针，把旋转角度变式为180°、270°、360°等，学生沿这一思路可以提出一系列问题.在这个过程中，学生不断提出新问题，兴奋的发现了数学中可以探究的内容、如何探究的方法，由此激发了学习兴趣，实现了“授之以渔”.

2.2  以“类比转化”促进问题解决新发展

类比、转化是重要的数学思想，日常教学中应经常渗透.通过类比、转化，各种经验得到了沟通，经验结构得到了整合.类比、转化好比在新旧知识间架设的桥梁，它不仅促进了学生对于知识的掌握，也帮助学生形成问题解决的“一般观念”.例1中旋转中心是（1，0），学生类比“绕原点旋转的点坐标确定”的思路，构造一线三直角，还想到通过把点（3，4）向左平移或是把y轴向右平移，达到把“绕（1，0）旋转”转化为“绕（0，0）旋转”的目的.例2要确定直线旋转后的解析式，学生通过确定点B绕点A顺时针旋转90°后的点B′的坐标或是确定旋转后直线与y轴的交点C坐标来解决问题.体现了学生掌握化繁为简、化难为易、化未知为已知的数学方法，形成了举一反三的解决问题的能力，并从中对培养其几何直观、抽象能力、推理能力等素养起到积极的作用.类比、转化的运用还渗透了辩证唯物主义观点的教育，使学生了解事物普遍联系和对立统一，有利于学生辩证思维能力的形成.

2.3  以“能力发展”彰显探究活动新样态

能力，是完成一项目标或任务所体现出来的素质.其中数学能力又是针对数学学习过程中的一种特殊能力.如果学生的数学能力足够高，就会根据不同的题目使用不同的方法，甚至是最优的方法.本节课考虑不同层次学生能力的发展需求.首先是起点低，已知点在格点纸上的旋转是比较容易完成的.为了让基础弱点的学生也能掌握，对旋转画图进行了演示.几个环节的设置由易到难，且解法有一致性，中等生可以拾阶而上；课堂中穿插学有余力的学生才需要完成的练习，一题多题的设置，作业分层布置，是为了让优生“吃得饱”，培养思维能力.杜威在《民主主义与教育》中指出：教育就是经验的改造或改组，这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力.在探究过程中，从绕原点旋转变式为绕（1，0）旋转，从点的坐标确定变式为直线解析的确定，从单一的构造三角形全等到可以联想勾股定理，此“能力发展”方式，可形成设计探究活动的“一般观念”.这一探究活动设计策略能指导学生以后独立研究一类数学对象、一类数学问题，实现了学生学习的可持续发展.

参考文献

［1］李昌官.为发展学科 一般观念而教——兼谈解析几何复习起始课教学［J］.数学通报，2019，58（9）：11-15.

［2］张乃达.问题：数学思维活动的载体［J］.中学数学月刊，2019（3）：10-12.