浅谈数学分析思想在高中数学解题中的应用

作者简介：杨军智（1982～），男，汉族，甘肃庄浪人，甘肃省庄浪县第一中学，研究方向：高中数学教学。

摘 要：在新时代教育中，愈发重视对学生数学思维的培养，引导学生了解并掌握数学分析思想，让学生将视野拓宽，用更加巧妙的方法去解答习题，不仅能够提高学生的解题能力，同时还能够加深学生对数学知识的理解，以达到“教是为了不教”的目的，意义重大。文章即在参考相关文献资料的基础上，结合个人教学经验，来说一说数学分析思想在高中数学解题中的应用，围绕函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、正向与逆向分析思想等多点数学分析思想，来分析高中数学解题能力培养的具体措施和建议，抛砖引玉，以供参考。

关键词：高中数学；解题教学；数学分析思想；应用与建议

中图分类号：G633.6

文献标识码：A

文章编号：1673-8918（2024）21-0090-04

高中数学课程知识点广泛，且题型复杂多变，给学生造成非常大的学习压力，数学成为大多数学生眼中第一难学的课程。在过去，以题海战术的形式来培养学生，让学生经过大量做题来获得固化的、浅显的做题经验，进而提升学生的数学解题能力，这样的培养方式是不当的，在新时期教学中，应重点对学生的解题思维进行训练，引导学生了解有用的数学分析思想和常规的数学习题模型，持续提高学生对题型、数字的敏感程度。学生如果具备较强的函数思维，去观察、分析、总结数学分析思想在不同题型中的应用，收获数学解题的经验教训，就能够用更便捷、更清晰的方式去解答数学习题，就会发现数学学习会是一件简单而高效的事情。

一、 传统高中数学解题能力培养之弊端

传统高中数学解题能力培养中，常常采用题海战术的方式，让学生经过大量做题来获得固化的、浅显的做题经验，未能向学生渗透数学分析思想，或者数学分析思想教育较少，不足以让学生形成系统化的理解和应用。这样的教学方式虽然有一定作用，但也是低效的，久而久之，会给学生带来一定的学习负担，学生对数学模型、数学思想的认识也会越来越模糊，对习题类型、习题数字的敏感度也会越来越低，數学知识和习题在学生脑海中犹如“一团浆糊”。新时代教育强调用更加巧妙、更加灵活的方法展开，强调对学生解题思维路径的训练，教给学生学习技能以及分析方法，远比教导学生某一个知识、某一个解法更加重要，以更好地实现“教是为了不教”的教学目的。

二、 数学分析思想培养之必要性

（一）有利于增强学生的数学基础

数学分析思想是一套系统化的工具，通过这个工具，将繁复、抽象的数学习题进行梳理和总结，让学生看到高中数学知识和习题虽然是繁复的，但是知识和习题却是有规律的。如果学生掌握了数学分析方法，就可以运用另一种方法、从另一个角度去观察和分析习题，对各类数学模型也会产生更加深刻和全面的认识，更深入地理解一个数学知识所关联的模型是什么，用来解决什么问题，一个数学知识所关联的习题有哪些形式，可以用什么方法解决，于是逐渐增强学生的数学基础。

例如习题：已知x，y，z均为正实数，求证x2+xy+y2+x2+xz+z2+y2+yz+z2＞32（x+y+z）。观察此题后，题干显示信息较为复杂，但敏锐地观察后发现，这一个不等式和“三角形两边之和大于第三边”这一定理有相似之处，再通过构建三角形，利用几何的方法去解答，无形中增强了学生的数学知识理解能力，提高了学生将数学知识串联在一起的能力，也意味着学生数学基础得到增强。

（二）有利于拓展学生的创新能力

数学分析思想的本质，就是寻找知识和习题的内涵，再用更加便捷、更加贴合数学常规模型的方式去解答。因此，学生学习数学分析思想，学会用数学分析思想去解答习题，必将对学生的思维能力进行拓展，学生对一个问题的认识和分析角度也将更加多样，能够从问题的内涵与特点入手进行解答，对一些复杂的习题，具有打破常规的思维能力。久而久之，学生的创新思维能力会得到很好的培养，思维更加灵活、更有创造性。

（三）有助于提升学生解题能力

思想是一种行之有效并且非常常见的解题技巧，让学生能够掌握数学知识的相关解题思路和解题技巧，有条不紊地去解题，对数学知识有更加深入的理解。因此可以说，数学分析思想在解题中的应用，必然能够有效提升学生的解题能力，将一些复杂的习题用简单的方法进行解答，学生在解题的时候会更加得心应手，解题思路更透彻，解题方法更优秀，让数学学习变得更加轻松、更加高效。

三、 高中数学解题中数学分析思想的应用途径

高中数学分析思想大致分为知识性与思维性两种，知识性则包括函数思想、方程思想等，思维性包括数形结合、分类讨论等。

（一）函数与方程思想

函数与方程不仅是知识点，同时也是一种优秀的解题思路，因为函数与方程知识点的本质的特点，就是建立代数与变量关系，因此，对高中数学习题，可利用函数与方程思想，先将其他各类问题转化为函数或方程问题，抛开所研究对象的非数学特征，抓住其数学特征，建立各变量之间固有的函数或方程关系；再用函数或方程方法去解决这一问题，最终得出结果。函数与方程思想的应用，常见于高中数学解析几何、数列、不等式、平面向量等知识点中。

例如，在解析几何中函数与方程思想的运用。高中数学解析几何中，从大方向上无非就是几何法和代数法两个方向，几何法是通过题中给出的几何条件，用图像的性质去求证。而代数法则指的是设计变量，建立目标函数，选用合适的公式表达几何等量关系，将变量代入相对应的函数或方程中，建立代数与变量关系，然后再化简消元，最终得出答案。

习题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），四点 P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上，请问：（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明l过定点。

解答：分析此习题，第一问较为简单，根据椭圆的对称性，判断出P1不在椭圆上，而P2，P3，P4点则在椭圆上，然后将数值代入椭圆方程即可求出a2，b2的值，即可得方程。第二问比较复杂，运用函数与方程思想，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，设斜率为k1与k2，然后根据根与系数的关系列出k1+k2的表达式，再设l：y=kx+m（m不等于1），将l代入椭圆方程之中，得到k与m的代数与变量关系，再代入直线方程中，并在推理、计算中消去变量，即可求得定点。

（二）数形结合思想

数形结合思想可以说是多个数学分析思想中最常见的一个，学生从小学阶段开始就接触数形结合思想，顾名思义其指的是将“数”和“形”两个要素紧密结合在一起，可运用于知识学习或者习题演练中。在高中数学解题中运用数形结合思想，则指的是，对一些数字比较多、数量关系比较复杂的习题，尝试用更加便捷、直观的图形来表达出来，以观察图形的方式，来解答这一道习题。数形结合思想常见于函数、不等式、向量等知识点中，常常在小题中出现。

例如，在函数中运用数形结合思想。常常根据函数的特点，画出函数的图像，再通过观察法，观察该函数的轨迹，不需要进行复杂的计算，就解答出答案。

习题：函数f（x）=｜x-2｜-lnx在定义域内有（  ）个零点。

A.0B.1C.2D.3

解答：观察到这是一个复合式子，那么运用数形结合法，将函数f（x）=｜x-2｜-lnx分解为函数 f1（x）=｜x-2｜与f2（x）=lnx，要求得原函数的零点，也就是函数f1（x）与f2（x）的交点。因此，判断出原函数f（x）的定义域为（0，+∞），画出简单的函数图像，如图所示，可以观察到，函数f1（x）与f2（x）在定义域内有两个交点，因此，原函数在定义域内有两个零点，选择C。

（三）分类与整合思想

数学分类与整合思想，指一些数学模型是较为常见的，是需要学生掌握并记忆的，对这些模型进行分类整理，了解其框架与特点，要求学生看到一个习题，就能够了解这一個习题体现的是什么知识模型，要运用什么方法去解答它。如此一来，学生的解题能力会得到大大增强，解题思路也会更加清晰。数学分类与整合思想，常见的数学模型有同构函数模型、三角形最值模型、解析几何极值模型、解析几何最值模型等。

例如，在“排列组合”知识点中，有着多种多样的模型，各有各的特点，也分别有相应的解题技巧，学生必须掌握排列组合的多种模型，才能有的放矢地进行计算和解答。

习题：有3名男生，4名女生，按不同要求，请问有多少种排列方式？

（1）5人排成一排

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人

（3）排成一排，甲不站排头也不站排尾

（4）排成一排，女生站在一起

（5）排成一排，男女互不相邻

解答：分析此习题，分别对应常见的“排列组合”知识点中的具体模型，都有着相应解法。（1）为“直接排列”模型，按公式计算即可；（2）为“前后分排”模型，前排3人，后排4人，再将两步骤的方式数相乘即可；（3）为“特殊先排”模型，就是将特殊的元素先排，剩下的再排，将前后两步骤的方式数相乘；（4）为“相邻排列”模型，常用“捆绑法”；（5）为“不相邻排列”模型，常用“插空法”。

（四）化归与转化思想

化归与转化思想，即指的是在解题的时候，运用某种有效的手段，将复杂的题型转化为简单的题型。其包括：①将未知的题型转化为已知的题型；②将多元问题化归到低元问题上；③将立体几何问题转化为平面几何问题；④将高次方程问题转化为低次方程问题等，从而用简单的方法去进行解答。当然，化归与转化思想说起来简单，但做起来却难，它是对演绎证明、运算推理、模式构建等理性思维能力的综合应用。

例如，将未知的习题转化为已知的习题类型，再运用熟悉的方法去解答。

习题：已知P（x），Q（x）是两个实系数多项式，且对所有实数x，都满足恒等式P［Q（x）］=Q［P（x）］，若方程P（x）=Q（x）无实数根，证明方程P［P（x）］=Q［Q（x）］也无实数根。

解答：针对这一道题，看起来较为复杂，不妨将其转化为函数与图像类习题，要证明方程 P［P（x）］=Q［Q（x）］无实数根，只需要证明 P［P（x）］-Q［Q（x）］＞0即可，转化为函数问题或者函数图像问题。

那么不妨设F（x）=P（x）-Q（x）＞0，

再根据P［Q（x）］=Q［P（x）］，

可得P［P（x）］-Q［Q（x）］

=P［P（x）］-Q［P（x）］+P［Q（x）］-Q［Q（x）］

=｛P［P（x）］-Q［P（x）］｝+｛P［Q（x）］-Q［Q（x）］｝＞0，

因此，P［P（x）］=Q［Q（x）］无实数根。

（五）正向与逆向分析思想

1. 正向分析思想

所谓正向分析思想，即指的是从正向的角度，逐步进行推演，利用题干中给出的关键要素，分析哪些要素是有联系的，再根据常规的解题程序，去逐步进行解决。正向分析思维也是高中数学解题中最为常见的，符合思维中对数学知识的认知过程。

习题：若正数a，b满足1a+1b=1，那么请问：1a-1+9b-1的最小值为多少？

解答：此题为求最值类问题，题干中给出的信息并不复杂，在解答的时候，首先根据已知的a＞0，b＞0，且1a+1b=1，得出a＞1，b＞1。随后，观察到a和b之间具有必然关系，可以通过消元的方式去解答，根据1a+1b=1，变形为a-1=1b-1，再化为1a-1+9b-1=1a-1+9（a-1），再通过化简计算后得出其最小值为6。

2. 逆向分析思想

所谓逆向分析思想，顾名思义即引导学生从反方向进行思考的一种思维路径，引导学生尝试着从题干中需要的结果来进行推导，逐步推导到起初的要素中。培养学生逆向思维，有助于提高学生的数学水平和思维水平，培养学生的创新能力。

习题：若椭圆x22+y2=k2（k＞0）与连接A（1，2），B（3，4）两点的线段没有公共点，求k的取值范围。

解答：对此题，题干读起来似乎很“扭曲”，我们可以从结论入手，先求线段AB与椭圆有公共点的情况，求出k的取值范圍，于是也就得出线段AB与椭圆在没有公共点的情况下，k的取值范围。过程为先通过将线段AB的方程与椭圆联立，消去y，整理出k与x的变量关系，再根据x的定义域，解得k的取值范围，即有公共点情况的k的取值范围，在该范围之外的范围，就是没有共同点情况的k的取值范围。

四、 结论

综上所述，新时代教育对高中数学教学提出了更高的要求和期望，要致力于教导学生深层数学基础，而不再浮于表面，在数学解题技巧培养方面，则要重视对学生数学分析思想的教导。学生数学分析思想的形成，会让学生倍加受益，不仅能够夯实学生的数学基础，同时也能提升学生的数学解题能力，培养学生的创新思维能力等综合素质。文章围绕高中数学教学中常见的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、正向与逆向分析思想等进行了说明，并举例佐证，希望能对高中数学教师有参考价值。

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