重视知识本质，锻炼思维过程

章凤

【摘要】数学教育的主要任务是促进学生思维的发展，即通过具体数学知识与技能的学习帮助学生逐步锻炼思维，特别是努力提升思维的品质.所以作为教师，要贯穿知识点，深入研究知识，锤炼学生思维.

【关键词】初中数学；解题技巧；角平分线

1 试题呈现

（2023南京九下）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……

1.1 问题提出

如图1，PC是△PAB的角平分线，

求证PA/PB=AC/BC.

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．

請根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．

1.2 作图应用

如图2，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出点P，使得PA/PB＝3．

要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

1.3 深度思考

如图3，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是．

2 特色解读

2.1 立足教材，梯度设问，简约而不凡

本题考查角平分线在相似中的应用，而角平分线贯穿了整个初中几何教学.分别是定义、性质、判定及尺规作图的学习，并且在平行线、等腰三角形、特殊四边形、圆等几何图形中都有添加角平分线进行再探究.本题将角平分线放到三角形中用相似进行性质的再探究，学生要在有限的时间完成三个问题，而这三问是三个方向，难度逐层增加，对学生而言还是比较困难的，所以对解题能力的要求比较高.问题立足教材，但高于教材，呈现方式为得出结论，画出结论，找到极端情况，这种梯度设问，重在数学核心素养和综合能力的考查，又发挥对初中数学的导向作用，简约而不凡.

2.2 关注思维路径，渗透数学思想

本题设置三小问，关注几何推理的思考过程，层次分明.思维路径层层叠进，第（1）问是角平分线性质的证明，给了解题思路，这两种思路也是在平时教学中要渗透的数学思想，不同的选择也体现了思维层次的不同.第（2）问是尺规作图，让学生用第1问的结论作图，而用第1问的结论对中等学生不难，但要用相似圆来做难度较大.第（3）问要把固定的点看运动的点，找到极端值，这要比第2问更难，但第（2）问如能用圆来画，那么第3问就不难了.一个相似的题要用圆来解决，这种数学思想的关联、渗透，让不同能力水平的学生展示不同的探究过程，体现试题的难度和效度，彰显试题的选拔功能，也同时逼着教师探究、思考，业务能力也有很大提高.

2.3 思维递进，凸显素养，深远而隽永

数学思想是数学的根本与精髓.从知识层面看，本题主要考查相似、面积法、尺规作图、动点、圆等知识.从能力层面看，本题体现对学生逻辑推理、几何直观等综合能力的考查.这些知识和能力相辅相成，着意于考查学生的思维和数学核心素养.本题从“形”（三角形角平分线）的角度研究“数”（比例），借助几何直观构建基本图形，实现“数”与“形”的转化.

3 解法挖掘

第（1）问根据小明的思路，其实在平时的教学中也渗透了用相似、平行得到比例线段，而相似可以用平行得到，所以就有了过点C作AP的平行线交PB于点M，因为平行得到BC/AC=BM/PM，又因为PC是△PAB的角平分线，CM∥AP，所以PM=CM，即BC/AC=BM/CM，由△CBM∽△ABP得到BM/CM=BP/AP，通过等量代换得到PA/PB=AC/BC.

根据小红思路，将△ACP的面积分别用AP，AC为底表示，同样△PCB的面积分别用PB，BC为底表示，因为高相等可得比例式成立.

第（2）问尺规作图的方法多样，旨在让不同层次的学生都能学有所得，学有所会，有所发展.要在⊙O上作出点P，使得PA/PB=3，那就要用第（1）问的知识，联想到做∠P的角平分线将线段AB分成3∶1.

思路1：用尺规作线段AB的垂直平分线将AB分成4等份.

思路2：用尺规通过作平行线将线段AB分成3∶1.

思路3：用尺规作以AB为边的三角形，使另外两边的比为3∶1.

思路4：发现了点P的轨迹，找到与⊙O的交点.这比较难，但不会漏掉点C.延长AP，作∠APB外角角平分线得∠CPD=90°.

由第1问可延伸出外角角平分线也BD/AD=PB/AP=1/3，BD/AD=PB/AP=1/3，所以CD=AC.所以点P在以CD为直径的圆上.通过这个分析就能挖掘出思路4的做法.

第（3）问若用代数方法做，即作高，用勾股定理加二次函数来求最值.对学生能力要求太高而且时间花费多，所以用几何方法是最好的，于是在图4的基础上做了研究.如下.

研究1 延长AP，做∠APB外角角平分线得∠CPD=90°（初一内容）.

由第1问可延伸出外角角平分线也有BD∶AD =PB∶AP =1∶3，

由AC＝3，BC＝1得BD=2，所以CD=3.所以点P在以CD为直径的圆.这样就能确定△PAB的面积最大值.

研究2 构造∠DPB=∠A，

得△PAD∽△BPD，BD∶PD=BP∶PA=1∶3.

因为∠PCA=∠A+∠APC，∠DPC=∠DPB+∠CPB，

所以PD=CD，所以点P在以CD为半径的圆上.

这样就能确定△PAB的面积最大值.

通过以上两种研究再去思考第2问的作图，

思路4就是发现点C是AD的中点，圆心是CD的中点.

因此也想到思路5：出AD∶BD=3∶1，线段CD的垂直平分线交AB的延长线于点O，以点O为圆心，OC为半径作圆，即为点P的轨迹.

4 结语

学生对1、2问还能做，但第3问能做出来的就凤毛麟角了，主要还是没有想到内外角的角平分线互相垂直，出现了垂直联想圆还是比较常规的.总之，作为初中数学教师要用三年的时间通过每节数学课的教学，使学生能生成知识、能锻炼思维，能迁移知识.除了要对课本教学知识的积累，还要努力做到“数学知识的深刻理解”，通过在教学过程中对遇到题目多研究，多与同行交流，多反思，把题目研究透，加深自己对知识的理解.学生的数学学习是一个文化继承的行为，主要依赖于他们在学校中的系统学习，更离不开教师的直接指导和引领.数学教育的主要任务应是促进学生思维的发展，即通过具体数学知识与技能的学习帮助学生逐步学会思维，特别是努力提升思维的品质.所以作为教师，要贯穿知识点，深入知识研究，对数学学习和教学活动本质进行深入思考，以及有对理想课堂与教师自身价值的深切理解与执着追求.

参考文献：

[1]王红兵.中考评价导向视角下解题教学新思考——以南京市中考评价导向为例[J].中学数学教学参考，2017（Z2）：37-39.

[2]康叶红.聚焦几何证明 凸显核心素养[J].中学数学教学参考，2020（32）：36-39.

[3]童冬兰.重视知识本质教学 引导学生深度思考[J].学苑教育，2021（11）：29-30.