作圆中辅助线的三种技巧

吕士霞

【摘要】在解决平面几何中圆的问题时，往往需要适当地添加辅助线帮助解题.从本质上说，作辅助线的目的是把复杂图形简单化，在已知条件和未知条件之间搭起桥梁.本文以几道例题为基础，谈作圆中辅助线的几种技巧.

【关键词】平面几何；初中数学；辅助线

圆是初中平面几何中较为特殊的一种图形.在解题时，除了要抓住其定义，还要能够熟练运用与圆有关的性质.一般来说，圆的半径、弦等都是经常作为辅助线的对象.下面详细介绍几种技巧.

技巧1 圆中有弦，作弦心距

此方法的意思是，当问题中需要对圆中弦的长度或者与弦有关的其他量求解时，作垂直于弦的半径或者直径，并且连接过弦端点的半径.之后利用垂径定理，即弦心距平分弦的性质.之后将已知的数据代入直角三角形或者矩形等特殊图形，利用勾股定理求解出相关量的大小.

评析 对于圆中与弦有关的问题，常规解题方法就是作弦心距，构造直角三角形，利用勾股定理求解.此直角三角形的三条边分别是：圆的半径，弦心距，弦.这样就可以建立三者之间的联系.

技巧2 圆中有直径，作直径所对的圆周角

若题目中出现“直径”，就需要作直径的圆周角.在圆中，直径所对应的圆周角为直角，反之亦成立.由此就得到一个直角三角形，结合勾股定理、锐角三角函数等知识点进行进一步计算，从而得到问题的答案.

例2 如图2所示，线段AB是圆O的直径，在弦AC的延长线取一点D，满足CD=AC，线段DB的延长线交圆O于点E.

（1）求证：CD=CE；

（2）连接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度数大小.

解 （1）证明 如图2所示，连接BC.

因为AB是圆O的直径，依据圆中直径所对的圆周角为直角的性质，

所以∠ACB=90°，即BC⊥AD，

因为CD=AC，

所以AB=BD，

所以∠A=∠D，

因为∠CEB=∠A，

所以∠CEB=∠D，

所以CD=CE.

（2）如图2所示，连接AE.

因为∠ABE=∠BAC+∠D=50°，AB是圆O的直径，

所以∠AEB=90°，

所以∠BAE=90°-50°=40°.

评析 在与圆的相关证明或者计算问题中，只要碰到“直径”，都可以尝试通过构造圆周角的方式来解决问题.构造直角三角形后，将问题转化到直角三角形中求解，从而实现了问题的等价转化.

技巧3 圆中有切线，作过切点的半径

当问题中涉及圆的切线时，需要作过切点的半径，然后利用半径和切线之间的垂直关系得到相关等式.同时要注意题目中的一些特殊角，充分利用基本的锐角三角函数定义，而使用三角函数一般都需要在直角三角形内，所以在解题时可尝试构造直角三角形.

例3 如图3所示，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CDB=20°，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）

（A）40°.（B）50°.

（C）60°.（D）70°.

解 连接OC，

因为∠BOC、∠CDB是同弧BC所对的圆心角与圆周角，

所以∠BOC=2∠CDB=2×20°=40°.

因为CE为圆O的切线，

所以OC⊥CE，即∠OCE=90°.

所以∠E=90°-∠BOC=90°-40°=50°.

所以选择（B）选项.

评析 通过作过切点的半径的方式，可以建立题目中的已知角度与所求量之间的关系，从而求解出角度的大小.

结语

以上三种技巧是解决与圆有关的问题时常用的作辅助线的技巧.对于综合性较强的题目，可能需要运用多种方法，但是万变不离其宗，本质上就是圍绕着圆的定义和圆的性质进行.在平时的解题过程中，要善于思考，善于总结，就能够得到更多作辅助线的方法.