指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式的构建与实践

文尚平

［摘 要］问题是数学的心脏，数学问题解决是一种重要的认知活动，数学问题解决教学蕴含全新的教学理念与价值诉求，其本质是师生学数学、用数学的过程。基于学习论、教学论和课程论三大理论的内涵挖掘，围绕数学问题解决教学的目标、任务、策略和评价四个方面，建构了指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式，并尝试将其应用于数学单元复习课教学，从操作层面进行实践检验。

［关键词］学教评一体化；数学问题解决教学模式；单元复习课

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0001-05

一、问题提出与模式构建

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）的“课程目标”中提出，通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）［1］。问题解决已经成为贯穿《课标》的关键词和主题词，数学学科核心素养的形成与发展源于知识的应用与问题的解决。哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。波利亚把数学视为一门问题解决的学科，并把问题解决作为数学教学的焦点。围绕问题解决而开展的数学教学，既是数学教育的重要理念、策略和方法，也是数学教学的基本组织形式，其设计包括运用系统方法分析问题解决教学起点、确定问题解决教学目标、设计问题解决教学活动、选择问题解决教学策略、实施问题解决教学评价、修订问题解决教学方案等重要环节［2］，最终指向问题解决这一根本目标。

问题解决教学模式已经成为数学教育研究的重要范式。然而，研究发现，当下我国数学问题解决教学还普遍存在“课堂整体观照不足，重教学轻评价”“学习目标定位不准，重知识点轻达成度”“教学评价技术不熟，重判断轻改善”［3］等问题。究其原因是在教学中不能实现学习、教学、评价这三者的一体化。在我国，崔允漷教授最先引进“教学评一致性”这一概念，并从四个方面对其含义作出了解释，构建了“学教一致、教评一致、学评一致”三因素模型［4］。后来，章勤琼、阳海林等人提出“学教评一致性”概念，并主张课堂教学首先要分析好学生学习的内容与要求，才能更好地分析教师的教学和学习的评价［5］。相比“教学评一致性”，“学教评一体化”更符合《课标》的结构特点，也更符合教育教学实践的逻辑。通过深度解读指向“学教评一体化”的数学问题解决教学的本质内涵，以及探讨其从课标走向课堂、从理论走向实践的操作路径与实施策略，构建了指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式（如图1）。

数学单元复习课教学以问题解决为根本目标，强调基于“关键考查问题”“小问题”“具体问题”高考三大考查問题来设计问题链，与其相关的教学内容分析、学习目标确立、教学策略选择、教学评价实施都迫切需要实现学教评一体化。因此，基于指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式的数学单元复习课教学可以概括为以下四个基本环节：一是依据课程标准、核心素养、教材内容、高考三大考查问题，分析课型特征并确立学习目标，解决“要到哪里”的问题；二是依据学生的认知起点和已有的学习经验，剖析教学的重难点，并对确立的学习目标进行评估，解决“如何能到那里”的问题；三是依据确立的学习目标，设计具体的教学活动，解决“如何到那里”的问题；四是依据适切的评价框架，实施教学评价，解决“是否确定已经到那里”的问题。

本文以“平面向量数量积”单元复习课教学为例，探索指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式的构建与实践。

二、基本流程与实践操作

（一）依据单元复习课的课型特征，分析高考三大考查问题的考查要求，确立学习目标，解决“要到哪里”的问题

指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，需要回答的第一个问题是如何确定学习目标，即“要到哪里”。相应的“学习目标”应具有“导教、导学、导评”的功能。对于“平面向量数量积”单元复习课教学，教师可通过前测，评估学生求解数量积的整体水平，并实施动态教学分析，以明确“要到哪里”，为教学活动的实施做好铺垫，让学生确定学习的目标、重点、难点，带着问题进行学习。“前测”的试题涉及定义法、基底法、坐标法、投影法和极化恒等式法。本环节围绕“平面向量数量积”这一高考关键考查问题设计了如下前测问题链：（1）已知[a=2]，[b=1]，[=2π3]，求[a·b]；（2）在（1）的条件下求[2a-b]与[a]的夹角；（3）在[△ABC]中，[∠C=π2]，[AC=3]，求[AB·AC]；（4）已知[a=（x，-4）]，[b=（1，2）]，若[∈π2，π]，求[x]的取值范围；（5）在平行四边形[ABCD]中，[AB=2]，[AD=1]，[E]为[DC]的中点，[AE]与[BD]交于点[M]，若[MA·MB=-49]，求[AB·AD]。

设计意图：围绕基础知识与基本技能，将零散、模糊和死板的问题整合成系统、清晰和灵动的前测问题链，为本节课复习与探究“关键考查问题”“小问题”“具体问题”热身，为知识的重构做好铺垫，明确“要到哪里”。“前测”问题的解决情况反馈，不仅可用于调整、优化本节课的学习目标，还可用于指导教学任务的分析和教学活动的开展。

（二）依据已确立的学习目标，设置“小问题”教学任务，解决“如何确保能到那里”的问题

指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，需要回答的第二个问题是如何进行教学任务设置，即设置教学任务，解决“如何确保能到那里”的问题。在此环节中，基于5个“前测”问题，开展师生、生生互动交流，明确解决平面向量数量积问题涉及的知识、技能和方法，梳理出求解平面向量数量积的五种公式、四种方法，以及与之相关的两大上下位知识。本环节围绕“平面向量数量积”这一高考关键考查问题设计了如下“小问题”链：（1）在上述5个问题的解决过程中用到了哪些知识、哪些方法？你有什么体会？（2）结合平面向量数量积的公式及其结构特点，思考[a·b]与[a+b]、[a-b]的内在关系及其几何表达。（3）如果把问题（2）的代数关系迁移到三角形中，还可以怎么表示？三角形中线与数量积有何关系？

设计意图：围绕基本思想与基本活动经验，将浅层、低阶的学科认识问题整合成超越具体知识、体现学科本质、凸显专家思维的“小问题”链，目的在于对单元复习课中学生解决问题需具备的思想、方法进行提炼与加工，让学生运用知识时知其然，也知其所以然。根据“小问题”的解决情况反馈，调整课堂教学节奏，并优化下一环节中“具体问题”的解决教学。

（三）设计问题解决教学的基本事件，优化“具体问题”教学策略，解决“如何到那里”的问题

指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，需要回答的第三个问题是如何进行教学策略的开发与选择，即分析指导教学任务完成的策略，解决“如何到那里”的问题。此环节的教学以“具体问题”链为中心，以教师为主导、学生为主体，依据“前测问题”“小问题”的解决与反馈，预设和生成“具体问题”链，确保预设问题是多重的、非线性的，生成问题是学生自主提出的且是自然的。在师生交互下产生的预设问题的呈现顺序、呈现跨度、呈现方式以及呈现内容应随课堂的即时反馈做出调整，追求自然生成。“平面向量数量积”问题的解决，需要掌握最基本、最常用的三大形式（定義式、基底式、坐标式）。要想解决“如何到那里”的问题，教师需要在教学中呈现样例，样例要有较强的针对性和互补性。本环节围绕“平面向量数量积”设计了如下“具体问题”链以及变式子问题链：

具体问题1：由两个确定元过渡到三个确定元：[AC·AE=（AB+AD）AB+12AD]。

（1）在正方形[ABCD]中，[AB=2]，点[E]为[BC]中点，求[AC·AE]。

具体问题2：掌握极化恒等式法求数量积，感悟整体法、方程思想、化归思想在问题解决中的应用。

（2）等边三角形[ABC]中，[AB=2]，[P]为平面[ABC]内一点，求[PA·（PB+PC）]的最小值。

变式1：在[△ABC]中，[D]是[BC]的中点，[AD=3]，[BC=10]，求[AB·AC]。

变式2：已知[AB]为圆[O]的直径，[M]为弦[CD]的动点，[AB=8，CD=6]，求[MA·MB]的取值范围。

变式3：平面四边形[ABCD]，[O]为[BD]的中点，[OA=3，OC=5]，[AB·AD=-7]，求[BC·DC]。

具体问题3：利用几何问题代数化思想，建立坐标系，将“平面向量数量积”动态问题转化为代数问题，感悟在利用坐标法解决“平面向量数量积”动态问题的过程中，正交与斜交的不同及相应问题的解决方法的差异。

（3）矩形[ABCD]中，[AB=2]，[BC=2]，[EB=EC]，[F]在[CD]边上，[AB·AF=2]，求[AE·AF]。

变式1：在[Rt△ABC]中，[CA=CB=2]，[M、N]是斜边[AB]上的两个动点，[MN=2]，求[CM·CN]的取值范围。

变式2：在[△ABC]中，[OM=1]，[ON=2]，[∠MON=120°]，[BM=2MA]，[CN=2NA]，求[BC·OM]。

变式3：在[△ABC]中，[D]是[BC]的中点，[E]在[AB]边上，[BE=2EA]，[AD]与[CE]交于点[O]，若[AB·AC=6AO·EC]，求[ABAC]的值。

设计意图：在探究“具体问题”链的过程中，设计具体、真实、综合的问题解决情境，给学生提供冷静思考的时间和充分表达的机会，引导学生像数学家一样思考问题、解决问题，有效落实了学生“四基”“四能”的培养，提升了学生分析和解决问题的能力。由问题解决与经验生长的共生共存关系可知，并不预先存在一种固定的方式使学生学会解决问题。学生需要在质疑与试错的过程中、聆听与被聆听的情境中、批判与反思的体验中建构个人的知识结构［6］。课堂教学，功在预设，贵在生成。根据课堂中学生的实际情况，教师应及时做出教学调整，在问题解决的过程中兼顾学生提出问题能力的培养。

（四）开展问题解决教学的评价反馈，评价“关键考查问题”教学效果，解决“是否确定已经到那里”的问题

指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，需要回答的第四个问题是如何检测学习效果，即如何实施教学评价，解决“是否确定已经到那里”的问题。依托《课标》的课程内容要求和学业质量标准，通过课时对话、单元提炼、作业练习进行评价反馈，检测问题解决教学是否已经实现预期目标，检测学生是否已经掌握解决问题所需的基础知识、基本技能、基本思想，以及其提出和分析问题的能力是否得到锻炼，并通过评价反馈改进教与学。

1.从知识、方法、体验三个角度展开课时对话，夯基固本

（1）知识回顾：本节课，我们学到了哪些数学概念和公式？

（2）方法回顾：除了学到具体的知识，我们是否还掌握了一条研究平面向量数量积问题的路径？

（3）经历回顾：这节课我们经历了什么？

2.围绕“考查问题”“题胚”“变式”展开单元提炼，正本清源

（1）构建单元复习课教学的基本问题框架。基于指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式，围绕“关键考查问题→小问题→具体问题”构建“平面向量数量积”单元复习课问题解决教学的基本问题框架（如图2）。

（2）提炼高考关键考查问题的模胚。基于指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式，关注立意、情境、设问三大命题要素，总结提炼出关注平面向量数量积问题的题型结构及试题模胚。

已知：向量（三角形、四边形）的模长（与模有关的等式）、夹角、点（动点）、坐标。

求解：某两个向量的数量积的值（范围）。

（3）实施高考关键考查问题的变式。基于指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式，从问题表征角度归纳总结平面向量数量积问题的题型结构（题胚），并从问题变式角度归纳总结平面向量数量积问题的考查特点，以归纳解题的一般方法，获得解决此类问题的高级规则和图式。

条件变式：变换平面图形、恒等式结构，准确选择合适的平面向量数量积公式求解。

结论变式：根據条件求平面向量数量积的值或范围。

设计意图：从问题解决的视角进行数学教学，使学生能够在给定的情境中提出问题或者通过修改已给问题的条件来创设新的问题。通过条件变式、结论变式，有效促进学生发现问题、提出问题并解决问题，进而培养学生的问题解决能力。

3.围绕“原则、目标、内容”设计作业，守正创新

回答“是否确定已经到那里”这一个基本问题，意味着对“学会解决问题”这一终极目标的实现度进行了评价。作业是常见的评价手段之一。问题解决视角下，需基于以“学生—学习—学会”为中心的大作业观，统整课前、课中、课后的作业设计，实现课程学程化、作业学习化［7］，从而将原本用以补充教学的传统作业转化成学生探究、创造的载体与成长的通道，并推动教学实现学生在教师引导下参与作业活动、解决作业问题的过程化转型。

（1）以“学教评一体化”为作业设计原则。依据“平面向量数量积”复习课的教学目标、教学反馈等设计作业。学生能解决熟悉情境下的平面向量数量积求解问题，会对问题条件进行识别、分解、组合，进而能正确选择运算方向。在巩固知识的基础上，作业应突出知方法、明方法、选方法、用方法以及发现问题、提出问题的能力要求。

（2）以问题解决能力培养为作业设计目标。根据设计原则，细化、分解教学目标，进而确定作业的目标、难度和题型，并对照作业目标和教学目标，确保作业的有效性。据此，“平面向量数量积”单元复习作业的目标做如下设计：掌握平面向量数量积运算的五大基本方法，熟悉每一种方法的操作要领；能在陌生的数学情境中熟练选择最适切的求解方法，深刻理解多个向量的不确定问题转化为一对“基向量”的确定问题背后的算法逻辑，理解平面向量数量积运算的本质；通过研究高考试题，把握“平面向量数量积”的高考考查要求、考查规律和命题方向。

（3）以指导学生研究高考、提出问题为作业设计内容。如设计作业：请同学们以小组合作的形式，研究近5年高考新课标卷中考查向量运算的试题及其解法，尝试为2024年高考命制一道考查平面向量数量积的试题，并说出你的理由。

设计意图：基于上述三个维度设计作业，剖析近5年高考新课标卷数学压轴题的本质特征，引导学生掌握压轴题的基本解法；基于核心素养，建立高考全国卷数学压轴题的题干和设问的模胚，围绕模胚题开展“我为高考命题”活动，培养学生提出问题的能力。

三、教学反思与经验整合

（一）指向“学教评一体化”的数学问题解决教学要做好“五大”教学分析

根据《课标》要求，数学问题解决教学中教师应结合具体教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光发现问题，用准确的数学语言描述问题，用适切的数学方法解决问题［8］，并在解决问题的过程中理解数学学科的本质，增强数学学科的价值认同。因此，要想开展指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，一要做好教学内容分析，围绕解决问题所需知识的上下位关系以及高考关键考查问题展开分析，突出学科知识的本质；二要做好教学目标分析，围绕解决问题所需知识的实践反思，提取问题解决方法，立足学科核心素养，突出教学目标的实现；三要做好学情分析，问题解决中围绕学生所需具备的能力以及学生可能所存在的认知困境展开分析，突出教学起点的确立；四要做好教学重难点分析，围绕问题解决教学的重难点和重难点突破展开分析，突出教学方式的设计；五要做好教学策略分析，围绕与问题解决相关的知识与技能、过程与方法这两条基本主线，合理选择教学策略和信息技术工具，突出教学策略的选取。问题既是学生思维的起点，也是学生思维的动力源泉。提问既是教学策略，也是教学组织的基本形式。因此，教师应在理解教学内容、明确教学目标、把握内容本质、分析教学重难点、选取教学策略的基础上，设计并提出合适的、递进式的问题，引导学生展开深入的思维训练，促使学生理解知识、掌握方法、提升素养。

（二）指向“学教评一体化”的数学问题解决教学要设计好“四大”基本问题

心理学认为，数学问题解决是在一定的数学情境下，遵照既定的目标，应用相关知识和技能，经过一系列的思维操作，使得数学问题得以解决的过程。指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，一要设计好教学目标，依据教学目标的“导教、导学、导评”功能开展教学活动，明确“要到哪里”；二要设计好教学任务，依据教学目标设计一个主问题和若干个关键考查问题，并实时生成新的问题，确保“能到那里”；三要选好教学策略，依据教学目标设计完成教学任务的方法、路径，解决“如何到那里”；四要设计好教学评价，依据教学目标开展课时小结、归纳提炼和作业练习，明确“是否已经到那里”。上述过程实质上是在尊重学生的已有起点和发展的可能的基础上设计教学目标，在尊重教学基本规律的基础上设计具体的教学任务，在尊重学生的差异的基础上选取教学策略，在尊重教学结果的基础上设计评价反馈。教师应将教学目标始终贯穿整个教学活动，并通过评价反馈及时优化问题解决教学，实现“学教评一体化”。

（三）指向“学教评一体化”的数学问题解决教学要构建“三大”教学主线

中学数学课堂教学的一个重要目标就是培养和提高学生的数学思维能力，特别是数学问题解决能力。指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，要按照“关键考查问题→小问题→具体问题”的递进思路进行设计，开展活动。高考关键考查问题体现了对历年高考试题的研究与再利用，体现了整体掌握高考试题考查的难度、方向的设计思想，是问题解决教学的内容主线。“小问题”体现了对历年高考试题所考查的思想方法、核心素养的提炼与加工，是问题解决教学的素养主线。“具体问题”体现了对基础知识、基本技能的复习与巩固，包括数学课程中概念、命题和理论等基础知识，以及运算、测量、认图、画图、证明和数据处理等基本技能，是问题解决教学的操作主线［9］。可见，数学问题解决教学须实现“学教评一体化”，先对与课程内容有关的高考试题进行深度研究，提取出高考重点考查的数学思想、方法、能力及水平，再进行具体知识点的归纳与复习，以及问题解决的操作与训练。

指向“学教评一体化”的数学问题解决教学，要突出主題，关注知识的整合，尤其要强化提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的训练［10］。数学问题解决教学是学生与数学情境交互作用的过程，它将学习嵌入需要运用知识解决问题的情境中，指引学生在陌生的情境中将新信息与已有知识链接起来解决问题。这个过程恰恰是学生学会学习、发展素养的过程。建构指向“学教评一体化”的数学问题解决教学模式，将有助于提升数学单元复习课教学的有效性。指向“问题解决”的数学单元复习课教学，既要关注问题的设计是否符合教学目标，又要关注问题的生成是否自然，还要关注问题的解决过程是否能很好地发展学生的数学学科核心素养。因此，教师应提出有价值的问题，并鼓励学生发现和提出有价值的问题，最终落实“四基”、培养“四能”。

［   参   考   文   献   ］

［1］［8］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］  邓新星，莫宗赵，周莹.数学教学设计的研究现状与展望［J］.中学数学，2020（21）：96-98.

［3］  宋词，郑东辉.学教评一致性的课堂实践困境与突破［J］.当代教育科学，2018（11）：22-26.

［4］  崔允漷，雷浩.教-学-评一致性三因素理论模型的建构［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2015（4）：15-22.

［5］  章勤琼，阳海林.基于课程标准的小学数学“学、教、评一致性”：兼论核心素养的落实与评价［J］.课程·教材·教法，2022（11）：21-28.

［6］  张紫屏.论问题解决的教学论意义［J］.课程·教材·教法，2017（9）：52-59.

［7］  谢翌，杨志平.大作业观：主要内涵与实践路径［J］.课程·教材·教法，2022（1）：10-17.

［9］  林梅，余泉，袁晓亮，等.指向核心素养的数学单元复习课教学设计研究［J］.数学通报，2022（11）：9-13.

［10］  李红婷.数学问题解决教学设计及其实施策略［J］.数学通报，2007（6）：34-37.

（责任编辑 黄春香）