滚动还是滑动

马小强　柳小林

［摘 要］从一道常见物理习题的解答过程入手，深化拓展题目所给条件，应用质心运动定律、刚体转动定律分析均质小球绕球面运动的过程，计算小球运动过程中由无滑滚动变为有滑动滚动的临界角度，通过图像直观地给出临界角以及呈现此时大球面对小球的支持力随球面间摩擦因数变化的关系。

［关键词］无滑滚动；有滑滚动；临界角；摩擦因数

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0050-03

一、习题呈现及解析

如图1所示，光滑球面[A]固定在水平面上，其半径为[R]。一个可以当作质点且质量为[m]的小球[B]放在球面A的顶部，由于受到扰动，小球B无初速地沿[A]的表面滑下，求小球[B]与球面[A]分离时的速度和位置。

解析：小球[B]未脱离球面[A]之前做圆周运动，下滑过程中只有重力做功，小球[B]机械能守恒，小球[B]减少的重力势能全部转化为它的动能。假设当小球[B]在球面[A]上的偏离角度为[θ] 时，小球B与球面A脱离，脱离时，小球所受重力沿球面法线方向的分力提供做圆周运动的向心力（如图2）。

小球B脱离球面A时下落的高度为

[h=R（1-cosθ）]                                         （1）

設此时小球[B]的速度为[v]，根据机械能守恒定律可得：

[mgh=12mv2]                                                 （2）

圆周运动的向心力由重力的分力提供，则：

[mgcosθ=mv2R]                                              （3）

联立式（1）（2）（3），解得角度[θ]满足[cosθ=2 3]， 即[θ=48.19°]。

结论：当小球B的偏离角度为[48.19°]时，小球B与球面A脱离，脱离时小球B的速度[v=2gR3]，下落高度[h=R 3]。

二、习题拓展分析

提出问题：如果小球不能当作质点，大球面不完全光滑，小球将如何运动？

定性分析：小球静止在大球面顶端时，受到重力以及球面所施加的支持力，合力为零，处于不稳定平衡状态。小球由于扰动一旦偏离平衡位置，则受重力mg、支持力[N]、与两球面都相切的静摩擦力[f] （为方便分析，将小球进行放大；如图3）。

小球刚开始运动，角度[θ]较小，质心速率[vc]较小，小球法向加速度较小，重力的法向分量[mgcosθ] 较大，因此支持力[N]较大，此时所受静摩擦力小于最大静摩擦力[fmax=μsN]（其中[μs]为静摩擦因数），小球做无滑滚动。一方面，随着[θ]增大，小球所受支持力[N]和球面间的最大静摩擦力减小；另一方面，由对瞬轴的角动量定理可知，随着角度[θ]增大，小球重力对瞬轴的力矩逐渐变大，小球自身转动的角速度和角加速度逐渐变大。另外，在质心的平动参考系中，重力和支持力对质心的力矩为零，由质心的角动量定理可知要使小球绕质心转动的角加速度和角速度增加，必须要求静摩擦力随[θ]的增大而增大。当[θ]达到一定值时，无滑滚动需要的摩擦力和能提供的最大静摩擦力相等，此时为无滑滚动和有滑滚动的临界状态，此角度为临界角，记为[θc]，如果[θ>θc]，就会出现滑动，但小球已经具有绕质心转动的角速度，由定量分析可知该临界状态支持力不为零，小球不会立即脱离大球面，还会继续有滑滚动一段时间。随着[θ]继续增大，质心速度[vc]也增大，小球法向合力逐渐增大，而重力的法向分力越来越小，所以支持力会越来越小，当支持力[N]减小到零时，达到最小值，此时小球脱离大球面。

定量计算：大球面的半径与小球的半径分别用[R]和[r]（[R>r]）表示。如图3所示，小球由于偏离大球面的竖直方向的夹角为[θ]，小球滚动转过的角度为[φ]，小球绕大球面圆心运动的角速度和角加速度分别为[ω1] 和[β1] ，小球绕自身质心（球心）运动的角速度和角加速度分别为[ω2]和[β2]，小球的转动惯量为

[I=25mr2]                                                      （4）

小球绕大球面运动，质心的线速度和角速度之间满足以下关系：

[vc=（R+r）ω1]                                               （5）

1.小球做无滑滚动时角速度、角加速度与偏离角度的关系

在开始阶段，小球做无滑滚动，设[t=0]时，[θ=0]，[φ=0]，无滑滚动过程中的几何条件可以写为：

[R+rθ=rφ]                                               （6）

无滑滚动时两球面接触位置相对静止，所以小球的角速度和角加速度满足以下关系：

[R+rω1=rω2]                                           （7）

[R+rβ1=rβ2]                                            （8）

以小球為研究对象，由质心运动定律可知，小球运动的满足方程为：

切线方向：[mgsinθ-f=mR+rβ21]            （9）

法线方向：[mgcosθ-N=mv2cR+r]                  （10）

由转动定律可以得到：

[Iβ2=fr]                                                          （11）

由式（4）（8）（9）（11）解得小球质心绕大球面球心转动的角加速度与偏离角度的关系为：

[β1=57gR+rsinθ]                                          （12）

又因为小球做无滑滚动时摩擦力为静摩擦力，摩擦力和支持力都不做功，根据机械能守恒定律可知：

[mgR+r1-cosθ=12mv2c+12Iω22]         （13）

由式（4）（5）（7）（13）解得小球质心绕大球面球心转动的角速度与偏离角度之间的关系为：

[ω1=107gR+r（1-cosθ）]                          （14）

式（12）（14）为小球做无滑滚动时质心绕大球面圆心转动的角加速度和角速度与偏离角度的关系，可以由式（7）（8）得到小球绕自身质心转动的角速度和角加速度，不再赘述。

2.摩擦因数足够大时小球脱离大球面的角度以及脱离球面瞬间小球的角速度与线速度关系

由前面分析可知，静摩擦因数足够大时小球只能做无滑滚动，小球运动质心的角速度满足式（14）。另外，小球脱离大球面时大球面对小球的支持力[N=0]，此时的偏离角度为最大偏离角度，记为[θmax]。当[θ=θmax]时，联立式（5）（7）（10）（14）得到：

[107gR+r（1-cosθmax）=gR+rcosθmax]         （15）

所以[cosθmax=1017]                                         （16）

由式（16）求得为小球脱离大球面时偏离的最大角度[53.97°]。由式（5）求得此时小球运动质心的线速度为[vc=1017R+rg]，绕大球面圆心运动的角速度为[ω1=1017gR+r]，小球绕质心转动的角速度可以由式（7）求得。

3.摩擦因数为[μ]时，小球做有滑滚动的临界角

小球做无滑滚动时，摩擦力与压力之间的关系可以写为[f=μN']（[N']为压力），由牛顿第三定律可知小球所受支持力和小球对大球面的压力是作用力和反作用力，大小相等。小球的动力学方程满足式（9）和式（10），当[θ=θc]，联立式（4）（8）（9）（10）（11）（13）（14）可以得到：

[27mgsinθc=17μmg（17cosθc-10）]         （17）

结合[sin2θc+cos2θc=1]，余弦函数在[0→90°]是减函数，当[θc]取较小解时已经达到无滑滚动和有滑滚动的临界状态， [θc]的较大解就不可能达到临界状态，所以解得：

[θc=arccos170μ2+2189μ2+4289μ2+4]（已舍弃较大值）                                                                 （18）

显然无滑滚动和有滑滚动的临界角大小和两个球面接触的摩擦因数相关。

讨论：为了看出临界角与摩擦因数之间的直观关系，得出[θc]与[μ]（取[0≤μ≤1]）之间的关系，作出了它们的图像如图4（左轴）所示。

由图4可以看出，[θc]随[μ]增加而增大。当[μ=0]时，[θc=0°]，即接触面光滑时，小球一旦偏离平衡位置，只能滑动不会滚动，这时候由于摩擦力为0，小球只受重力和支持力，这两个力的方向均通过小球质心，产生的力矩为零，根据转动定理可知小球绕质心转动的角速度为0，只有纯的滑动，没有转动。当[μ]足够大时，[θc=53.97°]，这个角度是小球能够做无滑滚动的最大角度，由前面的分析可知，这个角度也是小球和大球面脱离的位置。

当小球运动达到无滑滚动和有滑滚动临界状态时，由式（10）（19）可以得到，大球面对小球的支持力为：

[N=17mg34189μ2+4-40289μ2+4]                  （19）

作出支持力[N]隨[μ]的变化图像如图4（右轴）所示，从图像上可以看到，支持力随摩擦因数增大而减小。当[μ]为零时，临界状态出现在[θ=0]的位置，此时压力为[mg]。当摩擦因数足够大时，临界状态的支持力为零，此时的临界角为最大，也是小球脱离大球面的角度。

从图4还可以看出，摩擦因数为有限大或有限小时，小球的运动由无滑滚动变为有滑滚动，小球受到的支持力不为零，说明在这个临界状态，小球和大球面没有脱离，小球的偏转角超过临界角后，小球还要继续在大球面上以有滑滚动的形式继续运动一段时间，只有转过更大的角度才会和大球面脱离。

三、反思小结

物理习题练习不是简单地模仿，更重要的是通过对习题进行深层次挖掘，变换题目已知条件，以起到举一反三的作用。通过对习题的深层次拓展分析，既能丰富学生的知识，又能让学生深入理解物理题目蕴含的物理规律；既能帮助学生巩固所学知识，使学生对知识达到融会贯通和触类旁通的效果，又能有效训练学生的物理思维，提升学生的解题能力。

［   参   考   文   献   ］

［1］  强元棨，程稼夫.物理学大题典：力学［M］.北京：科学出版社，2005.

（责任编辑 黄春香）