冲击单摆运动情况的角速度和张力研究

魏宇

摘 要：单摆作为简谐振动中最简单的一种运动模型，根据起始时受力不同，分为不同的运动情况。重点介绍了单摆的运动情况分类标准及其各自的特点，经研究发现张力随着最大偏转角的增加而减少，角速度也随之减小;但二者存在运动的临界值。

关键词：冲击单摆;张力;角速度;临界角

中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.09.097

1 研究背景

长为l的轻线的一端固定，另一端系一质量为m的小球就形成单摆模型。虽然单摆的动力学方程是二阶非线性微分方程，无法求得解析解。但前人的研究仍集中于尝试得到误差更小的近似解。近年来，随着计算机技术的高速发展，对单摆模型数值解的讨论取得了一定成效，发现了比较精确的数值模拟结果。阻尼单摆问题的研究过程中发现了混沌效应;而且从能量学的角度对阻尼做功与时间关系的讨论，得到了小阻尼单摆做功的表达式。

本文讨论将小球悬挂在铅直位置，然后用外力冲击小球，使其以水平初速度v0开始运动，研究小球转过θ角时的角速度和线中张力的变化规律，从而对单摆问题进行动力学研究。找到了斜抛运动与圆周运动的临界初始速度，发现可以对冲击单摆问题分成三种情况讨论。

2 理论模型

3 结果与讨论

3.1 模型分析

情况1：

如果初速度v0速度较小，小球运动到一定的角度就会停止，然后往回运动，此时运动情况如图。当ω=0时，由上式可得小球运动的最大角度为：

Cos θm=1-（v0/V0）2（13）

由此进行分析：v0最小取0，最大取V0;即0v0/V01，则θm范围为0θmπ/2。这也很好理解，若θmπ/2，则越过水平位置会做斜抛或圆周运动。

3.2 结果讨论

由此可绘图分析这三种情况。

后，由于到达最高点后vgl，绳中也会有张力来提供向心加速度，所以绳中最小张力不为0且随初速度增大最小张力单调递增。

4 展望

本文仅仅是针对理想单摆问题进行研究，并未考虑空气阻力、摆线质量、小球形状等因素对单摆动力学及能量学问题的影响。模型与真实情况的单摆有所差别，希望能够通过进一步研究完成对实际单摆问题的修正。除绳中张力及角速度与角度之间的关系以外，还可以尝试研究该模型中其它物理量之间的关系，或者引入时间，初速度等自变量，做出进一步的分析与研究。对于计算器中拟合的曲线缺少更深层次的分析，如对于函数增减速度的分析，怎样用理论解决该函数求导问题，并对照现实赋予其实际的物理意义。

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