基于全反射原理的透明液体浓度测量方法研究

肖恩赞 李兆麒 徐佳利 钟晓娇 赵海超 王永康 秦海森

摘  要：现如今有多种方法测量透明液体浓度，比重法、折射法（最小偏向角法）、超声光栅法等，以上的方法均需建立浓度与密度、折射率、声速及光损量之间的关系测量，从而得出测量浓度的一种表征。该文提出利用全反射原理中，即光从光密介质射向光疏介质时，当入射角超过某一角度θc（临界角）时，折射光完全消失，只剩下反射光线的现象叫做全反射，以NaCl溶液为例，通过测量不同浓度的溶液所引起的全反射现象，进而引起入射光源的高度变化，通过实验探究得出“浓度-高度”呈线性的负相关，并利用此关系实现对透明液体浓度的测量。研究实验表明，拟合出相关系数R2=0.995 7，拟合效果好，测量精度达99%。

关键词：透明溶液；浓度；全反射；测量；临界角

中图分类号：O435.1      文献标志码：A          文章编号：2095-2945（2024）05-0069-04

Abstract： Nowadays， there are various methods for measuring the concentration of transparent liquids， such as the specific gravity method， refractive index method （minimum deviation angle method）， ultrasonic grating method， etc. All of the above methods need to be used to establish the relationship among concentration and density， refractive index， sound velocity， and light loss， thus obtaining a characterization of the measured concentration. This paper proposes using the principle of total reflection， when the light is emitted from the light dense medium to the light sparse medium， and the incident angle exceeds a certain angle θc （critical angle）， the refracted light disappears completely， there only remains reflected light which is called total reflection. Taking NaCl solution as an example， by measuring the total reflection phenomenon caused by different concentrations of NaCl solution， the height change of the incident light source is caused. Through experimental exploration， it is found that the "concentration-height" shows a linear negative correlation， and this relationship is used to measure the concentration of transparent liquids. Research experiments have shown that the fitted correlation coefficient R2=0.995 7 has a good fitting effect and a measurement accuracy of 99%.

Keywords： transparent solution; concentration; total reflection; measurement; critical angle

透明液體浓度在食品、药物、农业和环境等领域中发挥重要作用，其与相应产品的品质、生产效率息息相关，且液体浓度也会影响着液体的一些物理性质，测量透明液体的浓度具有重要意义[1-3]。目前，有关液体浓度测量方法有折射法[4]、超声光栅法[5]、光栅衍射法[6]、光纤传感器法[7]和旋光仪法[8]，上述方法都有各自的特点，其中折射法实现的测量产生误差较大；超声光栅法虽进一步缩小了精度，但存在着一定的局限性；光栅衍射法和光纤传感器法对仪器、成本的要求较高；旋光仪法受旋光性物质的影响，只有在其含量尽可能少时，其灵敏度才满足要求。上述方法主要建立浓度与折射率、密度、声速等间接关系进行测量。

因此，本文介绍了一种基于全反射原理的测量透明液体浓度的方法：将透明液体盛入透明水槽，用红点激光源对透明水槽侧面固定端发射光线，入射光线从较高折射率的介质到较低折射率的介质时，若入射角大于某一临界角（光线远离法线）时，折射光线将会消失，所有入射光线将被反射而不进入低折射率的介质。测量光源的高度，无需找出间接关系，直接拟合出浓度与高度的函数关系，该方法有效降低了操作难度及对成本的要求，同时自制的实验器具融入高校实验教学中，进一步拓宽了全反射原理的场景应用。

1  实验原理

基于全反射原理，设计一种测量透明溶液浓度的装置。该装置利用了洛伦兹-朗伯定律和全反射现象之间的关系进行测量。具体来说，当光线从密集介质射向稀薄介质时，如果入射角大于临界角，则光线会被完全反射回去。这个临界角在2种介质的折射率不同时是一个固定值。在实验中，将液体样品放置在透明几何仪器中，并调整入射角度，直到光线射出时发生全反射。此时测量出全反射的临界角度，并记录下来。已知该液体的折射率为n，入射光线从空气中以一定角度θ1射入液体，当入射角大于或等于临界角时，光线将被完全反射并沿着液体表面传播。此时入射光源的高度h与入射角度θ1之间存在线性关系

h=k×θ1+b ，      （1）

式中：k和b分别表示线性回归方程的斜率和截距。液体的折射率n与其浓度C有一定的关系，假设该关系为

n=f（C） 。（2）

根据折射率定义，n与光在液体中的传播速度ν和光在真空中的传播速度c之比有关系

因此，液体的折射率n与光在液体中的传播速度v之间存在反比例关系。由此推出，液体的浓度C与光在液体中的传播速度ν之间也应该存在反比例关系

C=g（ν） 。 （4）

将上式代入f（C）中，得到

n=f（g（ν）） 。 （5）

由于ν与θ1之间存在一定的关系，因此可将上式改写为

n=f（g（θ1）） 。 （6）

综上所述，液体的浓度C、折射率n和入射光源高度h之间应该存在线性关系。也就是说，当通过改变入射光源的高度并观察其对应的浓度时，会得到一条线性回归直线，满足上述关系式。根据上面的线性公式可得

C=k×h+b ， （7）

式中：C表示液体浓度，h表示入射光源的高度，k和b是常数。则需要推导出k和b的具体值。这个问题中，需要考虑2个变量：液体浓度和入射光源高度。因此，需要收集一组实验数据来进行求解，可以通过在不同高度下测量液体的浓度得到这些数据。

假设已经收集了n组数据，分别为（h1，c2），（h2，c2），...，（hn，cn）。根据线性回归模型，可以使用最小二乘法来计算k和b的值，使得模型预测值与实际值之间的误差最小。具体来说，可以使用以下公式来计算k和b

式中：Σ代表对数据进行求和运算。通过测量获得足够数量的实验数据，可以计算出k和b的值，最终得到一个具有一定准确性的液体浓度与入射光源高度之间的线性关系式。

2  实验方案

2.1  实验仪器

实验使用到的主要仪器有点状激光源（+5 V电源）、透明水槽（20 cm×10 cm×10 cm）、烧杯、电子秤（0.3～3 kg）、NaCl晶体、水槽架、铁架台和双向转换器等。

利用全反射原理的方法实现透明液体浓度测量，其装置如图1所示。

实验装置实物图如图2所示。

2.2  实验方法

如图3所示为实验原理示意简图。

NaCl的溶解度是35.9 g（室温25 ℃），即浓度在0%～26.416 4%，具体实验测量浓度范围在1%～20%。首先搭建实验装置，利用精度为0.1 mg的电子天平称量NaCl和水，将烧杯置于电子秤上，配置1 000 g（1 L）水。在称量纸上配置20 g NaCl。将20 g NaCl倒入配置好1 000 g水的烧杯。用玻璃棒搅拌均匀后静置1 min，待溶液稳定后倒入至透明水槽至已经标定好的1 L刻度线，打开红点激光源，使光线进入水槽右面圆孔固定处，此时透明水槽出现了折射光线和反射光线。通过调节双向转化器的旋转钮，使激光源射出的光线对准透明水槽的侧面圆孔，若白屏上出现光点或者无光点，则调节双向转化器的旋转钮来调节高度和角度，直至白屏刚好无光点的出现，记录此时双向转化器在铁架台的高度位置为H1，重复测量5次刻度并记录。依次按照上述实验步骤配置梯度差为10 g的NaCl和1 000 g水，并重复上述实验步骤，记录入射光源的高度位置。

通过多次测量不同浓度的定标溶液，致使水槽刚好不产生折射光线时入射光源的高度，取高度的平均值，并对两者进行相关性数据拟合，可得到透明溶液浓度与入射光源高度的定标方程，并绘制出定标曲线。接着对不同待测溶液测量其刚好不产生折射光线的光源高度，将测量值代入定标方程中计算得出透明溶液的浓度。

3  定标结果及实验分析

3.1  NaCl溶液的定标

实验数据处理见表1。

将表1的数据用orign拟合，得到溶液浓度与光源高度的拟合曲线如图4所示。

由图中的实验测量结果可得：随着NaCl溶液浓度的增加，入射光源的高度随之减小，溶液浓度与光源高度呈线性的負相关。根据图像可知，数据点与拟合得到的曲线偏离程度很小，R2=0.995 7，因为R≈R2，且R∈（-1，1），得出线性曲线拟合的效果好。利用orign拟合出的线性关系如下

y=-0.031 8x+1.440 3 。 （10）

3.2  实验验证

随机称不同质量的NaCl和1 000 g水，配置3组已知浓度的NaCl溶液。测量不同浓度溶液的光源高度，并将测得的高度值代入定标公式（10）计算浓度大小。通过计算测量值与实际测得值的相对误差，从而验证该实验方案的可行性，实验验证结果见表2。

通过表2中的数据可看出：浓度C的相对误差小于1%，实验定标、测量结果与浓度标准值基本符合，说明采用该实验方案可行且可信度高。

3.3  误差分析

温度的影响。实验数据前后的测量在不同时间下进行，不同的温度NaCl的溶解度不同，20 ℃ NaCl的溶解度为35.6 g，会对实验数据的测量结果造成偏差。

透明水槽厚壁的影响。因透明水槽的壁有0.2 cm厚度，对光线有一定的折射影响，造成结果都偏差。

溶液液面高度的影响。在进行每组实验时，配置的溶液超过1 L再倒入透明水槽至1 L的液面刻度线，仅用肉眼观察是否达到1 L的液面刻度线，造成了液面高度不够或者过高，从而影响实验测量结果的偏差。

4  结论

本文以NaCl溶液为例，采用全反射原理，当入射角超过某一角度θc（临界角）时，折射光完全消失，只剩下反射光线的这一全反射现象，进而提出一种基于全反射原理的透明液体浓度测量方法。实验结果发现：随着透明溶液浓度的增加，入射光源的高度会随之减小，即浓度与高度呈线性负相关。拟合出相关系数R2=0.995 7，拟合效果好。并分别对实际浓度为5.84%和10.55%的NaCl溶液进行随机测量，测量结果分别为5.86%和10.63%；证实了该实验方案的科学性和可行性。该方法进一步拓宽了全反射原理的利用，有较大的应用前景。

参考文献：

[1] 杜晶辉，黄自坤，刘旻，等.液体培养基硝酸还原酶试验快速检测临床常用抗结核药物最小抑菌浓度和临界浓度效果评价[J].检验医学，2022，37（6）：568-576.

[2] 赵昕，时超，修凤凤.流动注射氨氮通道检测水中硫化物质量浓度的研究[J].科技与创新，2023（14）：110-112，115.

[3] 韩辉.几种液体硝酸铵浓度检测方法[J].煤矿爆破，2016（1）：19-21.

[4] 郭山河，田云霞，乔亚力，等.折射法检测透明液体浓度的研究[J].光学技术，1996（5）：36-37.

[5] 郭山河，高淑琴，何越.利用超声光栅测透明液体的浓度[J].吉林工业大学自然科学学报，2000（4）：34-36.

[6] 杨成，代伟.一种测量透明液体浓度的实验装置[J].大学物理实验，2023，36（2）：95-99.

[7] 张伟刚，许兆文，开桂云，等.强度型光纤浓度传感器的设计与实现[J].仪器仪表学报，2003（3）：272-274.

[8] 陈孝友，刘隆鉴，陈情.用旋光仪测量透明混合液体的体积浓度[J].四川工业学院学报，2000（3）：79-80，83.