初高中数学学习的顺利过渡

2024-05-12 11:28姜航
中国数学教育(高中版) 2024年2期
关键词:高中数学

摘  要:初高中过渡问题向来是中学数学教学中一个重要的研究主题. 以课程标准的设计理念为指导,以人教B版《普通高中教科书·数学》中“预备知识”的编写为背景,针对教师在初高中过渡的数学教学实践中对教科书使用的一些疑惑提出具体建议. 初高中衔接,不能以补充知识为主要任务,高中数学学习的衔接任务应该包含知识技能、学习习惯、学习心理等方面,建议教师能从高中课程整体出发把握衔接课程教学内容,重视培养学生的数学思维能力,深化学科理解,拓宽学科视野.

关键词:高中数学;衔接课程;教科书使用

中图分类号:G634     文献标识码:A     文章编号:1673-8284(2024)02-0004-05

引用格式:姜航. 初高中数学学习的顺利过渡:基于教科书使用的视角[J]. 中国数学教育(高中版),2024(2):4-8.

初中数学与高中数学在课程结构、教学内容和考试评价等方面存在差异,使一些学生在高中起始阶段出现了畏难情绪和不适应高中数学学习的情况,这也是在很长一段时间内困扰高中数学教师的一个问题.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)在必修课程中设置了“预备知识”主题,明确了“以义务教育阶段数学课程内容为载体,结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习,为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡”的要求. 人教B版《普通高中教科书·数学》(以下统称“人教B版教科书”)在研究与编写的过程中,充分落实《标准》要求,并结合一線教学的需求,对“预备知识”主题中的内容编排进行了创新性的探索与尝试,旨在高中数学学习初始阶段,为学生打好高中数学学习的心理、知识、习惯和方法基础.

本文以教科书编写过程中思考和讨论的重点问题为背景,围绕“等式与不等式”“用函数理解方程和不等式”两部分内容,结合笔者对一线教师调研中发现的问题,力求帮助教师在把握教科书编写意图的基础上,开展以核心素养为导向的高中数学课堂教学.

一、初高中数学衔接的基本任务

1. 知识技能方面

学段之间的衔接历来是课程建设的一个关注点,数学学科亟待解决的问题是有一些知识初中不讲或选讲,而高中教师默认学生会,如立方和(差)公式、含参方程(不等式)等. 还有一些知识在初中阶段对学生要求比较低. 例如,对于解方程组,初中只要求学生掌握解二元一次方程组,而高中则要求学生熟练求解二元二次方程组和三元一次方程组. 又如,初中对因式分解、配方法、十字相乘法等要求偏低,而这恰好是高中解决代数问题过程中重要的恒等变形. 同时,九年级下学期的教学基本都是围绕初中学业水平考试(以下统称“中考”)进行的,使得学生对高中进一步学习数学需要的知识技能掌握得不扎实. 例如,高中阶段要求学生能对二次函数的一般形式进行熟练配方,进而研究对称轴、顶点和最值问题. 而一些初中教师在教学中更倾向于让学生用对称轴公式[x=-b2a]求二次函数的对称轴,然后通过解析式求二次函数的顶点和最值,其认为这种利用公式进行简单的代入计算的方式学生不易出错. 而高中方面,由于绝大多数高一教师刚教过高三,对高一学生学情的认识容易出现偏差,这就产生了数学学科初高中过渡在知识技能方面的问题——初中不会、高中不讲. 教科书利用集合和常用逻辑用语复习了初中阶段一些基础的数学知识,引导学生用集合语言梳理和表达义务教育阶段学过的数学内容. 在相等关系与不等关系这部分内容中,从量词的角度复习了平方差公式、完全平方公式等内容,并在引入方程组解集的基础上增加了含参数方程的解法,同时将初中阶段的部分选学内容作为必须掌握的工具性知识进行了呈现. 例如,对于十字相乘法、立方和(差)公式、三元一次方程组、二元二次方程组等,建议教师利用教科书上的相关内容帮助学生打好学习基础.

2. 学习习惯、学习心理方面

中学数学学习是从解决一个个具体问题向描述和解决一类问题过渡的. 初中阶段以前者为主,高中阶段以后者为主. 学生的数学学习经历了由浅入深、由感性到理性的发展过程. 初中阶段的数学知识相对具体,高中阶段的数学知识相对抽象. 在高中阶段的数学课堂上,知识容量增加,教学进度加快,教师的授课方式发生了改变. 但是大多数学生仍然延续着初中阶段的学习方式,尤其是刚经历了中考前的解题强化训练,觉得多背几个公式并大量做题就能学好数学,忽略了以知识为载体的数学思想与方法的重要作用. 事实上,以知识为载体的数学思想与方法对学生后续的数学学习起着至关重要的作用. 学生在解决具体的数学问题时,要以理解知识本质、把握知识中蕴涵的数学基本思想、形成基本活动经验为基础. 人教B版教科书以“预备知识”为载体,通过类比(由等式到不等式)、转化(由分式到整式、由多元到一元)使学生学会分析问题、解决问题,同时渗透分类讨论、数形结合等数学思想与方法,这些都是解决数学问题的强大工具.

在学习习惯方面,高中阶段的数学学习需要学生有更强的自主性,对所学的知识和方法进行不断总结,并内化成自己的理解. 同时,学生还要学会独立思考,学会分析问题和解决问题的方法,并形成对自己的学习状态进行审视的意识和习惯. 对此,人教B版教科书在章名页引用著名数学家培养数学学习习惯的名言名句,以帮助和指导学生开展有效的数学学习. 例如,第一章章名页引用华罗庚先生关于怎样打好基础的一段话;第二章章名页引用陈省身先生关于数学学习的一段话;第三章章名页引用苏步青先生关于学好数学概念的重要性的一段话. 期望数学家们的谆谆教诲能够让学生找到科学的方法学好数学. 在本章小结中,让学生为本章知识设计知识结构图,帮助学生构建相对完整的知识体系,使学生能够在数学知识的整体性中更深刻地感受数学基本思想和基本活动经验的意蕴.

在学习心理上,学生刚进入高中,开始了新的起点,正准备以积极的心态投入数学学习中,渴望在数学的学习中收获成功. 人教B版教科书以“预备知识”为载体,在高中数学课程的开始阶段,将课程内容与学生已经具备的知识经验联系起来,而不是让学生直接进入抽象的函数内容学习中,为后续知识技能和思想方法的学习打好基础,逐步发展学生的理性思维,以实现初高中数学学习的顺利过渡.

综上所述,初高中衔接不仅要关注知识的补充,更重要的是还要以知识为载体培养学生解决数学问题的思维习惯和学习方法.

二、初高中数学衔接的教科书设计

在衔接课程中,教科书的编写力求使学生在具体的活动中将思考、感受和行动融合起来,使学生在掌握知识、发展思维、提高数学能力的过程中提升数学学习兴趣,增强学习数学的信心,养成良好的数学学习习惯,顺利完成从初中到高中数学学习的过渡. 下面结合人教B版教科书“预备知识”的三个案例进行说明.

案例1:以变量替换为通性通法,促进运算能力的发展. 对于“2.1.1.2 恒等式”的内容编排,在尝试与发现中列出了六个等式,前两个等式是初中阶段最重要的公式——平方差公式和完全平方公式,最后一个等式是初中不学而高中必用的立方和公式,这就是在做知识上的准备. 然后,教科书给出恒等式的定义,并强调“恒等式是进行代数变形的依据之一”. 我们知道代数式运算的本质就是恒等变形,数学运算是数学核心素养之一,是学好高中数学的基础,而运算能力是高一学生薄弱的地方. 人教B版教科书在这部分强调恒等式的字母取任意实数时等式都成立,因此我们可以对恒等式进行变量替换(换元),而高中阶段常以变量替换作为解决代数问题的通性通法.

例如,人教B版教科书“2.1.2.1 一元二次方程的解集”中的例1:求方程[x-2x-1=0]的解集. 我们需要把根式方程转化为学习过的方程. 由[x]是[x]的二次方想到将[x]看作一个整体,设为[y y≥0],则原方程可以转化为一元二次方程[y2-2y-1=0 y≥0],即可求解.

又如,在“5.5 三角恒等变换”中,证明了两角差的余弦公式[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ]. 由于该公式对于任意的[α],[β]都成立,故把其中的[β]换成[-β]后,也一定成立. 由此推得两角和的余弦公式[cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ].

再如,变量替换还可以帮助我们得到一些条件不等式.

对于[x2≥0 x∈R],当且仅当[x=0]时,[x2=0].

令[x=a-b],则[a-b2≥0,即a2+b2≥2ab],当且仅当[a=b]时,[a2+b2=2ab]成立.

当[a>0,b>0,] 且[ab]为常数时,[a2+b2]可以取得最小值;当[a>0,b>0,] 且[a2+b2]为常数时,[ab]可以取得最大值.

令[x=a-b],[a>0,b>0],则[a-b2≥0],即[a+b≥2ab],当且仅当[a=b]时,[a+b=2ab]成立.

当[ab]为常数时,[a+b]可以取得最小值;当[a+b]为常数时,[ab]可以取得最大值.

最后得到了均值不等式,而均值不等式的应用则是将公式中的[a,b]用其他代数式替换,进而由基本不等关系获得新的不等关系.

以上几个例子,通过变量替换进行代数式恒等变形,逐渐提升学生有目标地进行恒等变形的能力(运算能力). 如果教师在“2.1.1.2 恒等式”这部分内容的教学中能深入挖掘教科书内容中蕴涵的数学思想与方法,提高教学站位,找准发力点,有意识地培养学生的运算能力,相信学生在后续解决平面解析几何、三角变换、导数和数列中的运算问题时,会更加游刃有余. 而代数能力的培养不是一蹴而就的,是一个长期的过程. 对于这部分内容,教科书的编写意图并不是让教师通过一节课或者一个单元的教学就解决学生的运算问题,而是希望这些内容能够启迪教师将代数能力的培养贯穿于整个高中阶段的数学教学中.

案例2:对一元二次方程的再认识,摸索模型的来龙去脉. 一元二次方程是义务教育阶段学习过的内容,因此有些教师在教学时跳过不讲,忽略了一元二次方程解法多样灵活的特点. 通过笔者的调研,发现相当一部分学生在解一元二次方程时不分析方程的结构特征,优先选择配方法或者公式法,用自己熟悉的方法解决所有的一元二次方程问题. 这种做法不利于学生数学运算能力和思维习惯的培养.

如何解决学生过于依赖某種解法的问题呢?人教B版教科书在这节内容的编写中力求达到“授人以鱼不如授人以渔”,先在“2.1.2.1 一元二次方程的解集”的“尝试与发现”中提出问题:你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式?在这个环节之前,可以让学生尽可能多地写出一些一元二次方程,带着上述问题辨析这些方程的复杂性并求解方程. 通过研究,发现可以先从最简单、最容易求解的一元二次方程[x2=t]出发,然后通过变量替换求解形如[x-k2=t]的一元二次方程,再将形如[ax2+bx+c=0 a≠0]的一元二次方程通过配方法转化为[x-k2=t]的形式,这样就得到了一般形式的一元二次方程的求解方法. 在这个探究过程中,引导学生分析这些一元二次方程具备了怎样的结构特征,使得我们能够找到方法将它降次. 这个过程就是在培养学生养成适合高中数学学习的思维习惯,即准确描述研究对象,探索不同对象的逻辑关系. 这种从特殊出发,再逐步一般化的研究方法也是解决数学问题的重要途径. 教科书编写者希望通过知识的再现,使学生学会将一个复杂问题特殊化,分解成一个个简单的小问题,真正做到会学数学,而不仅仅只会解题,从而更好地将知识技能的掌握和数学核心素养的发展有机结合起来.

案例3:从抽象到直观,解一元二次不等式. 以一元二次不等式为例,人教B版教科书在第二章呈现了用配方法和因式分解法解一元二次不等式,在第三章呈现了用二次函数的图象解一元二次不等式. 有些教师提出疑问:图象法能迅速、直观地求解一元二次不等式,为什么还要讲因式分解法和配方法呢?因式分解法需要分类讨论,配方法在配方的基础上将一元二次不等式转化为绝对值不等式. 在三种方法中,只讲图象法确实省时又省力,在单纯解决一元二次不等式这个问题上,图象法是足够用的. 但是,如果在教学中只讲图象法就错过了培养学生代数思维能力的好机会. 笔者曾经对九年级和高一新生做过调研,让学生独立思考并求解具体的一元二次不等式,绝大部分学生都选择了代数方法,都能够类比一元二次方程的解法将一元二次不等式的一边进行十字相乘或者配方,但在解决十字相乘法基础上的分类讨论或配方之后转化为绝对值不等式时会出现困难,而这些困难恰好反映了学生在解决高中代数问题时所欠缺的能力. 因式分解法主要利用两数同号(异号)的原理及分类讨论的思想将一元二次不等式转化为一元一次不等式组,这种解法既复习巩固了十字相乘法,又为今后解决多个代数式积(商)形式的不等式提供了解题思路.

以“讨论函数[fx=x-2ex+ax-12]的单调性”为例,通过求导,得到不等式[x-1ex+2a>0],然后将该不等式转化为[x-1>0,ex+2a>0]或[x-1<0,ex+2a<0]两种情况分类讨论. 因为并不是所有的一元二次式都能因式分解,所以我们还要探求用代数方法解一元二次不等式的通法——配方法,即在配方法的基础上将一元二次不等式转化为绝对值不等式. 例如,对于[x-2<1],有些学生会脱口而出[x-2<±1],这是由缺乏分类讨论的数学活动经验及将等式与不等式的基本性质相混淆造成的. 从代数的角度来看,我们应该通过分类讨论去掉绝对值的符号:当[x≥2]时,[x-2<1];当[x<2]时,[-x-2<1]. 当然,还可以让学生借助数轴,利用绝对值的几何意义“数轴上表示[x]的点到表示2的点的距离小于1的值”,从形的角度解不等式. 在高中数学课程的开始阶段,把课程内容与学生已经具备的知识经验联系起来,以知识为载体向学生渗透分类讨论和数形结合这些重要的思想与方法,并将这种渗透贯穿于高中数学教学中,而不是将难点都堆积到函数内容的学习中,既减轻了学生学习函数的负担,又培养了学生的数学运算能力.

人教B版教科书把利用函数求解一元二次不等式安排在了函数的概念和性质之后,以免将三种方法一起呈现,教师会重图象应用而轻代数推理,不重视提升学生的数学思维能力. 函数是贯穿高中数学课程的主线,利用二次函数研究一元二次方程和一元二次不等式,形成求解程序,能够帮助学生理解函数在代数问题中的核心地位和关键作用,感悟如何运用函数研究数学问题,进一步理解模型和探索模型之间的关系. 因此“三个二次”必须作为重要内容,从概念、性质和思想方法上进行全方位的衔接教学. 是否按照教科书的编排顺序呈现教学内容应该随学情而定. 在深度挖掘教科书内容的同时,也要能够灵活使用教科书. 如果学生已经提出要用函数的观点解不等式,那么教师就不能因为教科书没有按照这样的顺序呈现教学内容而不讲,否则会打消学生学习数学的积极性. 而本章的绝对值不等式也可以借助绝对值函数进行求解,使学生进一步体会函数在求解方程和不等式中的作用. 具体在哪节课呈现这个方法,需要教师根据学情确定.

三、初高中数学衔接的教科书使用建议

1. 抓住关键点,从高中数学课程整体出发把握衔接课程教学内容

人教B版教科书的衔接课程“等式与不等式”部分是在利用集合与常用逻辑用语系统梳理等式与不等式的基本性质相关知识的基础上,进行了适当的拓展与延伸,使学生初步了解由具体到抽象的思维方式,为高中数学学习奠定知识、方法和思维的基础. 教科书在这部分设置的内容较多,包括对一些初中阶段选学或必学知识的再现. 如果教师把每一小节的知识都铺开来讲,不仅课时紧张,效果也未必好. 某些技巧性或操作性强的知识也没有必要花费太多时间,可以在后续知识的过程性学习中不断练习和强化. 例如,十字相乘法可以在一元二次方程和一元二次不等式及零点的学习过程中不断强化. 而前文提到的恒等式变量替换的方法是贯穿高中阶段代数运算的重要方法,需要教师在本章的恒等式专题教学中向学生重点渗透,并将其贯穿于整章及整个高中阶段的数学教学中.

衔接课程是发展学生数学运算素养的重要载体,但是学生运算能力的发展不是一蹴而就的,是随着数学思维的不断发展而形成的规范化思考问题的品质. 通过本章的教学,将学生的运算问题全部解决是不现实的. 教师要能够准确认识和把握衔接课程要重点解决什么问题,哪些问题需要在后续课程中进一步解决,以便从高中课程整体的高度来定位本部分内容的教学重点和教学目标,抓住关键点.

2. 重视思维活动,使学生“会学数学”

培养学生的数学思维能力在数学教学中非常重要. 教师应该不断探索如何在教学中以知识为载体发展学生的思维能力. 以衔接课程中的配方法教学为例,大部分教师对此的关注点都是学生能否正确配方,在课堂上带着学生进行配方法的解题训练. 但是,配方法仅仅是二次三项式的一种变形技巧吗?其中是否蕴涵重要的数学思维方法呢?我们知道,代数式中含字母的项越少越方便研究. 例如,二次三项式[x2-2x+3]可以通过配方变形为[x-12+2],只含有一个[x],这就为我们进一步解一元二次方程、一元二次不等式和研究二次函数的性質奠定了基础. 接下来,教师可以提出新的问题,激发学生的已有经验促进知识的正迁移. 教师提出让学生研究函数[y=2x+1x和y=2x-1x+3]的性质. 对于这两个函数,[x]的变化可以引起分子和分母同时变化,类比二次函数可以通过配方减少自变量的个数,联想到通过分离常数将函数转化为[y=2+1x]和[y=2-7x+3]的形式,进而研究函数的性质. 教师要注重让学生经历类似的思维过程,而不是仅仅强化配方法和分离常数法操作的准确性.

在数学教学中,教师要重视学生的思维活动,引导学生深挖数学知识中蕴含的思维价值,遵循思维规律研究知识,帮助学生构建知识体系,以便学生更好地理解知识,提高思维能力,教会学生“会学数学”.

3. 深化学科理解,拓宽学科视野

教师要通过不断学习提升自己对学科内容的理解,从教学执行者向课程和教学的研究者转变,从而更好地站在促进学生发展的高度理解并实施教学. 在衔接课程中,大部分教师都能够执行《标准》中要求学生梳理等式性质的学习任务,能够理解这项要求是为不等式性质的学习提供类比对象,但是却仅仅局限于知识上的类比. 这里梳理的目的是从中得到研究不等式性质所需要的一般观念、研究内容、研究路径和研究方法等,关注知识的发生发展过程. 同时,[a>b?][a-b>0,a=b?a-b=0,ab?a-b>0]是刻画函数的单调性的工具. 蕴含在知识背后的这些重要的思想,并不是要求学生在学习本章知识内容的过程中全部掌握,而是提醒教师需要具备这样的站位看待知识本身,从而更好地把握教学,提升学生的数学学习水平. 总之,教师只有通过不断学习、思考和研究,准确理解与把握教学内容的内涵和实质,才能帮助学生逐步建立良好的数学思维习惯,构建良好的学习心理和学习方式.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部. 普通高中课程标准(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.

[2]龙正武,秦玉波. 提高学生代数解题能力的两点思考[J]. 数学通报,2020,59(3):25-27.

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