适时建模：织密学生数学核心素养“思维网”

王静 李金梅

摘要：数学建模是数学学科六大核心素养之一，在小学阶段应进行模型意识的渗透。针对当前小学数学教学中出现建模意识缺失的问题，教师可通过放慢数学建模过程、适时渗透数学模型、强化数学模型认识等方式，引导学生在探索数学问题的过程中感受数学建模是数学问题解决的重要策略。

关键词：小学数学；数学建模；模型意识；核心素养

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2024）03-0113-04

在小学数学教材中，数学模型在不同阶段均有所体现，特别是在中、高年级阶段，利用数学模型分析问题是问题解决的一种重要策略，体现了数学模型架构下的数学思想与方法的运用。数学模型是刻画数学问题的重要方式，也是一种重要的数学语言的表达方式。数学模型在数学学科中占据重要地位，是学生必备的基本能力，也是培养学生数学思维的重要途径。因此，在小学数学教学中，教师要有目的地渗透数学模型意识。

一、当前小学数学教学中建模意识缺失的归因分析

当前，一些教师注重对学生考试技能的训练，强化学生对各种数学题型的探索。学生在数学课堂中往往处于被动接受的状态，通过大量机械重复的训练，他们的应试能力得到提升，而往往忽略了数学建模意识的发展。究其原因，主要存在以下问题。

（一）目标单一，忽略数学模型的价值

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数学学科从基本的数学概念到复杂的问题应用、几何图形的证明，无论“数量关系”还是“空间形式”，都以数学模型为基础，用不同数学模型直观呈现问题，并利用这些模型来分析解决问题。无论涉及数学学科中哪个方面的知识，数学模型都是学习与探索的重要工具。数学模型不仅为数学表达和交流提供了有效途径，也为解决现实问题提供了重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识和理解数学的意义。

然而在现实中，很多教师忽略了数学模型的重要价值，将教学目标定位于数感、符号感、空间观念等素养的培养，有的小学高年级数学教师甚至仅仅关注教学各种计算公式。如果数学教师长期忽略数学建模的重要价值，只是追求教学技能的提升，那么学生在数学学习过程中就无法形成数学模型意识。在教学中，教师只有突出数学建模在问题解决中的重要价值，才能培养学生从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、解决问题的能力。教师要从更新观念入手，在教学中通过一些常见的问题渗透数学建模思想，引导学生在思考过程中形成数学模型，突显数学模型在解决问题中的重要价值，从而为将来的数学学习打好基础。

（二）眼高手低，忽略模型意识的渗透

小学生的数学能力还处于初级阶段，他们对数学知识的认识还不够清晰，有些教师便错误地认为渗透建模意识没有必要。数学建模是一种相对复杂的数学应用活动，教学周期较长且不易产生立竿见影的效果，而传统的技能机械训练是学生易于模仿和掌握的，因此部分教师在课堂上只是将数学知识原原本本地教给学生，而忽略了模型意识的渗透。数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，表征研究对象的主要特征和数量关系所形成的一种数学结构。小学数学课程中的数概念、关系、运算、图形、数据等都源于現实生活，是对现实模型数学化的结果，而当这些数学对象被用于解决现实问题时，又需要借助具体的模型表达实际意义。通过建立这种数学与现实世界的双向联系，学生可以形成初步的模型意识[1]。由于小学生年龄小，认知能力弱，模型意识的发展以渗透的方式为主，需要教师深入教学研究、精心设计教学过程，让学生经历“形成—建立—求解”的数学建模全过程。

（三）顾此失彼，忽略模型内涵的特质

在数学学科中，抽象、推理、建模是数学能力的三大核心，体现学生的数学综合素养。学生如果具有较强的数学抽象及较高的逻辑推理能力，其建模能力也会自然得到提升。因此，抽象和推理都是为模型的建立服务的，通过三者深度融通，学生的数学学习能力及综合素养也能够得到长足的进步。数学课程标准强调模型思想，分不同的阶段逐步实施，旨在通过建模帮助学生形成模型意识，学会运用数学模型增强应用能力。但教师在教学实践中，会跳过数学模型，而重点研究数学知识的应用，忽略模型的内涵，弱化了模型在思考问题中的重要意义。

二、小学数学教学中培养模型意识的实践研究

模型意识既是一种数学问题解决的重要策略，也是数学思维表达的一种形式。数学学科中无论何种数学模型，都需要以数学教学活动为基础，在问题分析研究中抽象为数学模型，并反过来作用于问题，形成系统性认识。在教学中渗透模型意识，学生才能逐步形成建模观念，最后形成数学建模能力。

（一）“慢”体验、“深”感悟——放慢数学建模过程，让思维走向严谨与深刻

数学建模是数学应用的基本方式，模型思想是数学的一种基本思想[2]。对学生进行数学建模能力的渗透与培养，能够促进学生“四能”的发展，从而达到数学学科教育的目标。在数学教学中，应夯实学生的认知基础，使其具备初步的抽象和推理能力，推动数学模型能力的形成。求解模型的过程有时比较漫长，在建模的过程中，既要让学生体会数学知识本身，也要让学生在探究数学知识过程中体会模型的重要内涵。

例如，在苏教版数学教材四年级下册“加法交换律”的教学中，关于数学模型的渗透分以下几个步骤：第一步，通过学生自己举例运算发现规律，同桌之间讨论并举例，通过例举整数、分数、小数等不同类别数的运算事实，发现其结论的正确性；接着将之抽象为加法交换律的模型，然后验证模型的正确性。第二步，问题引领，教师提问：“你想用什么方法验证加法交换律是正确的？再写几例验证，你能用自己的语言表达发现的规律吗？”以上活动都为进一步验证定律的正确性打好基础。验证的过程分两个层次：第一，学生通过画线段图进行验证，画出线段的起点与终点，并在图中标出相应的数值；第二，在线段图上标上相应的字母（字母表示数值）。以上验证活动运用了线段图验证的方法，教师适时追问，让学生说出自己的想法，并对验证方法进行质疑：“有没有遇到反例，或者出现不相等的例子？”最后，教师再加以总结归纳。在这个案例中，学生通过“发现—验证—质疑—归纳”的过程，形成对加法交换律模型的认识，这个过程非常慢，通过一两个例子不能加以肯定，只有通过大量不同的例子才能初步感受其正确性；接着在验证环节，学生通过两个层次的递进认识过程才能加以肯定。笔者利用了图形表征的方法，从合情推理到演绎推理的过程是数学模型的核心所在；从构建证明方法到图形如何证明，这既需要一定的数学模型意识，也要具备较强的数学推理能力；从各种不同数值的验证到抽象字母的模型，学生的思维活动也从数字直观上升为数学抽象，体现了思维更加严谨与深刻。最后的数学质疑是建构数学模型的重要环节，也是让数学模型得以完备的重要基础。建模是培养综合能力的催化剂和脚手架，需要通过“慢”体验、“深”感悟的过程逐步发展形成。

（二）“抓”节点、“找”共性——适时渗透数学模型，让思维走向延展与变化

建构数学模型必须具备一定的数学思维能力，不仅体现在学生对数学知识的理解能力，问题的分析与解决能力，还包括数学语言的表达能力、数学逻辑推理能力以及对数学思想与方法的思考能力等。突出数学思维能力的发展，必须抓住学生对数学知识的探索过程，从多角度设计丰富的数学探索活动，并抓住契机进行总结归纳，使学生形成对数学模型的认识，从而渗透必要的数学模型，增强模型意识。在渗透模型意识时，教师要紧密联系学生的思维活动过程，抓住关键的思维节点，从数学基础模型入手到延展变化模型，在思维逐步深入的同时，使学生感受模型之间的内在联系，找到模型的共性，并为其发展夯实根基。

例如：在苏教版数学教材四年级下册“乘法分配律”的教学时，教师可以先组织学生计算教材中的两道计算题：（36+24）×15、36×15+24×15 ，再让学生交流：“根据计算的结果，你有什么发现？”学生发现虽然计算顺序不同，但结果相同。紧接着让学生自主列举出类似的例子，在学生充分列举的基础上，出示图1。

教师提问：“这是我们曾经研究过的14×12的点子图，你能看懂这点子图吗？”学生结合图形很快给出结论：上面部分是10行，下面2行，即把12分成10和2，算式表示为14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。紧接着教师追问：“这个点子图与你发现的等式有怎样的规律呢？”学生通过讨论得出：计算一个数加上另一个数的和，再乘一个数，就等于一个数乘这个数，加上另一个数也乘这个数。在此基础上教师提问：“你还能再举出生活中一些类似于列出这样式子的实例吗？”学生举例后，教师再次抛出一个问题以引导学生的思维走向纵深：“你能选擇一种表达方式表示你发现的规律吗？”

上述教学案例由表及里，从运算发现规律到总结形成数学语言的表达，注重学生的思维发展过程，体现数学知识的形成过程。教学活动设计首先从数学运算中发现结论，举出类似的等式验证其正确性，运用数形结合的思想发现等式可以利用图形来解释，尝试用数学语言表达乘法分配律，以生活中的实例为基础说明乘法分配律的重要价值，最后抽象字母表示乘法分配律模型，每一个活动环节都为模型生成奠定了基础。在教学活动中，多角度突出数学思维活动过程，并利用图形表征、语言表征、符号表征等形式形成对乘法分配律模型的从直观到抽象的认识，能逐渐加深学生对乘法分配律的认同感，使学生在自我否定和不断补充完善中抽象出数学模型，体会到模型的重要价值，并亲身经历建构模型的整个过程，感受更加深刻[3]。

（三）“强”认知、“多”应用——强化数学模型认识，让思维走向形象与自觉

数学建模的建构过程一般是以数学问题探索为起点，尝试在问题解决中发现模型，开展模型求证，最后运用模型分析解决问题。在教学过程中，教师在渗透模型意识时，应从问题入手，在分析解决问题中，模型渐渐显露出来，学生们自然对数学模型有清楚的认识，强化了对数学模型的本质认知，体会到模型是解决问题的重要媒介。引导中高年级学生尝试运用最基本的简单模型分析问题，这是课堂教学的一个新尝试，也能够增强学生对基本数学模型的理解与辨析能力。在数学模型辨析环节，教师可以通过问题对比，明晰模型的不同特征与结构。例如，在辨析长方形的周长模型与面积计算模型时，可以先从周长与面积的概念入手，使学生感受到两个概念的不同；再从公式的推导来辨析公式的区别；最后设计题目训练，让学生对两个概念的认识更加明确[4]。当学生对基本数学模型有了清晰的认识时，教师可以引导学生在理解的基础上尝试运用。例如，一年级学生在解决问题“妈妈有8个橘子，比小明多3个橘子，小明有几个橘子？”时，会发现这就是对“求比一个数多或者少几”的模型。学生经常出现的错误是“5+3=8”，这是因为学生未真正理解多和少的本质。只有当学生在正确理解把握的基础上，才能开展类似问题的探索，并开展问题对比的教学活动。

当然，对于小学生来说，渗透数学模型意识需要有漫长、渐进的过程，也需要教师不断地开展教学实践与探索。教师要从教学理念更新入手，认识到数学模型在学科教学中的重要作用，并开展相关课题的思考与实践，亲身经历数学模型的建构与应用过程，从而促进学生数学核心素养的发展。

参考文献：

[1]孙保华.抓住关键点渗透模型意识[J].小学教学设计， 2023（32）：4.

[2]史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022：66.

[3]张玉琴.挖掘数学模型 经历建模过程 感悟模型思想[J].小学教学参考， 2021（29）：2.

[4]叶婉贞.情境串练习：“思”“趣”结合，“比”“变”提升——以人教版三下“面积”练习十五为例[J].小学数学教师， 2021（4）：3.

责任编辑：赵赟