例谈摩擦力作用下的局部简谐运动

许冬保

摘 要：物体在阻力作用下的振动是阻尼振动，振幅在不断减小.在高中物理习题教学中，经常遇到一类在摩擦力作用下的振动问题，该类问题因涉及变力作用，运动过程复杂，知识综合应用的能力要求较高，是教学之难点.分析表明：在摩擦力作用下的振动，可以转化为局部简谐运动来进行分析.

关键词：简谐运动；摩擦力；局部简谐运动；实例分析

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0124-03

简谐运动是一种理想化的振动，振动中的机械能守恒，振幅保持不变.可实际上，振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用，振动系统克服阻尼作用做功，系统的机械能就要损耗，振动的振幅也逐渐减少，待到机械能耗尽之时，振动就停下来了，这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动[1].在高中阶段，阻尼振动大多考查振动系统受摩擦力作用的情形，本文就此问题，例谈分析策略.

1 探究水平弹簧振子在摩擦力作用下的振动规律

一个水平放置的弹簧振子，如果物块与水平面间的动摩擦因数为μ，在水平方向上物块仅受摩擦力及弹簧弹力作用，可以证明该系统的振动为简谐运动.

如图1，设弹簧的劲度系数为k，若将物块向右拉离平衡位置，并有较大的位移x（在弹簧弹性限度内），那么当释放此物块，让其从右向左运动时，取向右为正方向，则运动中物块受到的合力F1为

F1=-kx+μmg

同理，当此物块从左向右运动时，物块所受的合力为

综上所述，物体在摩擦力作用下作阻尼振动，整个运动不是简谐运动.但是在单方向的运动中，摩擦力不变，在该过程中物体做简谐运动.在下一个单方向的运动中，物体仍做简谐运动……如此循环，平衡点位置交替变化，连续的振动中，物体的振幅周期性递减.

由于简谐运动的周期公式仅与m、k有关，所以在每个简谐运动中物块运动的时间均相同.若某次振动中，速度为零时记为时刻零点，则物块振动的x-t图像如图2所示.

为区别于一般的简谐运动，本文将此类简谐运动称为“局部简谐运动”.

2 实例分析

振动问题往往涉及力学中的牛顿运动定律、功能关系等规律的应用，由于振动物体受到弹簧的弹力是变力，因此对速度、位移、加速度、能量等物理量的分析，成为教学的难点.下面以水平面、斜面及竖直面的情形分类分析，对于摩擦力作用下的振动问题，基于局部简谐运动的观念进行分析.2.1 物体在水平面上的局部简谐运动

例1 如图3，劲度系数为k的水平轻弹簧一端固定在墙上O点，原长为OB，另一端与质量为m的小物块（视为质点）紧靠但不拴接.先压缩弹簧，置物块于A点，然后由静止释放，小物块运动到C点恰好停止.设小物块从A到B用时t1，从B到C用时t2，已知物块与地面间的动摩擦因数为μ.水平地面上A、B、C三点满足关系AB=BC=l.重力加速度为g.

（1）证明小物块从A到B的运动为简谐运动；

（2）比较时间t1、t2的长短；

（3）若l未知，试写出由已知量表示l的表达式.

解析 （1）考察在A、B之间的任意位置，若物块相对位置B（弹簧原长）的位移为x，取向右为正方向，则小物块所受的合外力为F=-kx-μmg

（2）小物块做简谐运动，速度随时间按正弦函数规律变化，在B处，弹簧与小物块分离，此后，小物块做匀减速运动，可作出v-t图像，如图4所示.

评述 在水平方向上小物块受弹簧弹力及摩擦力作用，开始一段时间做局部简谐运动.达最大速度时，合力为零，平衡点的位置在B点左侧.在B处弹簧为原长，由于弹簧未与小物块拴接，因此，小物块与弹簧在B处分离，此后小物块做匀减速运动.由v-t图像比较运动时间，形象、直观.

2.2 物体在斜面上的局部简谐运动

例2 如图5，轻弹簧一端固定在倾角为θ=37°的粗糙斜面顶端，另一端与质量为2m的物块A连接，质量为m的物块B叠放在A上.若将弹簧与A、B系统从弹簧原长处由静止释放.当A、B沿斜面向下运动至最低点Q（图中未标出）时将B取下，此后，A将沿斜面返回并恰好滑至原出发点.已知A、B在运动过程中未发生相对滑动，斜面体始终静止在水平地面上，弹簧形变处在弹性限度内，重力加速度为g.则（  ）.

A.下滑过程中可能存在A、B间摩擦力为零的位置

B.整个过程中系统增加的内能小于物块B减少的重力势能

C.A与斜面间的动摩擦因数为0.15

D.A上滑过程所需时间与A、B下滑过程所需时间一定相同

解析 已知A、B在下滑过程中未发生相对滑动.当某时刻A、B间摩擦力为零时，由牛顿运动定律知，A、B的加速度大小均为gsin37°=0.6 g，方向平行斜面向下；此时，A所受弹簧弹力一定等于A受斜面的摩擦力，因摩擦力方向平行斜面向上，故弹簧弹力方向一定平行斜面向下，则弹簧必处于压缩状态，这不合题意，选项A错误.

系统增加的内能源于克服物块A与斜面间的滑动摩擦力做功.全过程中，因始末状态弹簧的弹性势能均为零，由能量守恒定律知，整个过程中系统增加的内能等于物块B减少的重力势能，选项B错误.

在A、B下滑过程中，整个系统在沿斜面方向上，所受重力的下滑分力及摩擦力恒定，因此，A、B構成的系统做简谐运动；同理，A上滑，仍做简谐运动.由简谐运动的对称性可知，两次简谐运动的平衡位置相同，则弹簧弹力F相同，对于下滑、上滑过程分别有

F=3mgsinθ-3μmgcosθ；

F=2mgsinθ+2μmgcosθ

解得μ=0.15，选项C正确.

由简谐运动的周期公式知，周期与质量的二次方根成正比，则A上滑过程所需时间小于A、B下滑过程所需时间，选项D错误.

2.3 物体在竖直面上的局部简谐运动

例3 如图6，固定在天花板上的轻杆将光滑轻质小定滑轮悬挂在空中，一根弹性轻绳一端固定在左边墙壁上O点，另一端与套在粗糙竖直杆上P点、质量为m的滑块连接，用手平托住滑块，使OAP在一条水平线上.绳的原长与O点到滑轮距离OA相等，AP之间的距离为d，绳的弹力F与其伸长量x满足胡克定律F=kx，滑块初始在P点时对杆的弹力大小为mg，滑块与杆之间的动摩擦因数为0.2.现将滑块由静止释放，当滑到Q点时速度恰好为零，弹性绳始终处在弹性限度内，重力加速度为g.下列说法正确的是（  ）.

A.滑块从P点释放瞬间的加速度大小为g

B.滑块下滑过程中速度达到最大值时的位置到P点距离为0.8d

C.滑块从P运动到Q的过程中，弹性绳对滑块做功-0.8mgd

D.PQ之间的距离为1.6d

答案：BD.

3 结束语

本文分析了在摩擦力作用下的振动问题.振动物体若局部（即单一方向的运动过程）所受摩擦力恒定，则物体做局部简谐运动.需要指出的是：普通物理学对阻尼振动的讨论是比较复杂的.一个经典的模型是振动物体受到的阻力随速度按线性规律变化的情形，这样的阻尼振动不是简谐运动.

参考文献：

［1］张同恂等.高级中学课本（试用）物理（甲种本）第一册[M].北京：人民教育出版社，1983：294.

[2] 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理讲座[M].第2版.合肥：中国科学技术大学出版社，2017：163-164.