也谈数学模型意识的培养

摘 要：模型意识主要指对数学模型普适性的初步感悟。模型意识的培养有助于学生体会和理解数学与外部世界的联系，学会用数学的语言表达现实世界。模型意识的培养是一个长期的过程。实践中，教师可引领学生经历建模过程，感悟模型内涵；类比主线问题，提炼模型表达；参与综合实践，拓展模型应用。

关键词：小学数学；模型意识；数学建模；主线问题；综合实践

“模型意识主要指对数学模型普适性的初步感悟”。［1］模型意识的培养有助于学生体会和理解数学与外部世界的联系，学会用数学的语言表达现实世界。模型意识的培养是一个长期的过程，需要做好以下三点。

一、经历建模过程，感悟模型内涵

课堂教学中，让学生感悟数量关系和发现规律、引导学生思考和探索的过程，远比得出结论更为重要，这关系到学生能否对所学知识有充分的理解和掌握。因此，教师在教学中要注重引导学生经历建立模型的过程，感悟模型内涵。

“数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。”［2］因此，我们可以这样理解与模型有关的学习过程：如图1所示，把生活中的实际问题进行抽象，简化成数学问题，再通过数量关系和变化规律的提炼，建立数学模型，从而灵活运用，帮助解决问题。其中，抽象、简化、提炼即为数学建模的过程，学生也是在这样的过程中初步感悟模型的。

小学阶段，学生接触的数学模型可以分为两类：数量关系类和变化规律类。史宁中教授在《数学基本思想18讲》一书中提到，在小学数学数量关系里，主要包括这样四种模型：总量模型、路程模型、植树模型和工程模型。其中，前两者更为常见。总量模型，也可以称为加法模型，遇到加法或者减法解决的问题基本可以抽象提炼出总量模型；路程模型又称为乘法模型，即遇到乘除法的问题可以用路程模型，比如行程问题、价格问题等。［3］变化规律方面，小学阶段主要研究两种类型：找规律和运算律。代数中的找规律，如每个年级都会有的类比（以一年级加法为例），教师需要引导学生对比之后发现：一个加数不变，另一个加数越大，和就越大；第二层次，另一个加数加几，和就加几，反之亦然。

在平时的教学中，教师可以运用不完全归纳推理的方法帮助学生理解数学模型。例如，《多边形的内角和》一课，为了让学生对多边形内角和计算公式有更深刻的理解，教师可以让学生量一量、画一画、折一折、剪一剪、拼一拼等，用多种方式归纳、总结、提炼。学生通过动手实践，自主将多边形画、折或剪成多个三角形或者四边形，从而将困难的问题转化为已经学过的知识来解决，自主归纳出多边形内角和的计算公式：多边形内角和=180°×（边数-2）。像这样运用多种实践手段探究，在不同方法中探寻相同之处，最终总结归纳出所需要的数量关系或变化规律，进一步抽象、归纳、提炼出数学模型，能够帮助学生对建模过程有更加深刻而完整的经历，从而深刻感悟模型内涵。

二、类比主线问题，提炼模型表达

主线问题是依据学生认知水平，针对学习内容核心进行发问，直指数学本质，凝聚教学重难点，引领学生自主学习、探究学习和合作学习的主要问题。课堂主线问题，一方面是课堂的核心问题，另一方面也是基于几个模型衍生出的本质问题。在平时教学中，我们可以创设主线问题，帮助学生建立模型基础。同时，选择典型素材呈现主线问题的相似问题，帮助学生类比总结，深入理解数学模型。再通过厘清题目中的条件和问题，启发学生找到正确的数量关系，建构正确的数学模型，解决数学问题。

例如，《长方形的面积计算》一课，可以设计图2所示的主线问题。

虽然三个问题求的数量不同，但都指向面积计算。在解决三个问题后，可以让学生类比这三个问题的相同点与不同点，发现解决三个问题的本质都是围绕“6×4=24（cm2）”进行举一反三，进而重点突破这一算式的知识本质——长方形面积计算公式，使学生对“S=a×b”这一面积计算模型有清晰、准确的理解。

类比的主线问题，可以是图形问题，也可以是生活问题。例如，《乘法分配律》一课，可以创设如下三个主线生活问题：

（1）长方形花坛左边有14行玫瑰花，每行8朵，右边有6行杜鹃花，每行也是8朵。问：这个花坛里一共多少朵花？

（2）宁宁卧室一面墙的长是3米，高是2米，另一面墙的长是2米，高也是2米。问：这两面墙一共需要贴多少平方米的墙纸？

（3）方方和军军同时从大桥两端相向而行，方方每分钟走55米，军军每分钟走65米，8分钟后两人相遇。问：这座大桥全长多少米？

上述三个问题本质上都是乘法分配律的模型表达。学生可以类比这三个主线问题，在解决问题的过程中体会乘法分配律的存在，积累建立乘法分配律“a×c+b×c=（a+b）×c”这一模型的直观经验。所以，在日常教学中，我们需要充分利用主线问题带领学生展开相似串联和类比，明确数量关系；其次，类比分析主线问题，在解决问题的过程中体会用模型进行表达，发展模型意识。

三、参与综合实践，拓展模型应用

当今社会发展日新月异，国家对于人才的培养从“单一”走向“综合”。《义务教育课程方案（2022年版）》也明确提出，各学科教学方式要从“单学科”走向“多学科”“跨学科”。因此，我们不仅要让学生运用模型解决数学问题，更要让学生解决真实场景中的实际复杂问题。在平时的教学中，教师可以综合多个学科内容组织学生展开问题研究。

例如，《单式条形统计图》一课，可创编图3所示的综合实践作业。

这份综合实践作业，让学生以自己喜欢的方式创作条形统计图，融合美术学科知识，借助自主作画让学生对条形统计图的数据统计和制图过程有更深刻的体会，这也为后期学习复式条形统计图做了铺垫。“想一想”则融合信息科技学科知识，需要学生通过信息技术进行网络检索，搜集资料，以此作为下一步问题分析的信息来源。学生在真实场景中发现问题、分析问题和解决问题，将其他学科和数学进行融合，能够有效培养数据分析意识，也能学会“数据分析的模型表达”，还能开阔视野，着实为发展成综合型人才奠定基础。日常教学中，教师可以多提供非常规、生活化、多学科的问题，为学生的探索设置关卡，让学生在解决跨学科问题中不断强化和发展对模型的应用意识。相应地，建模能力也有助于跨学科主题学习的开展，增强学生的应用意识，是形成模型观念的经验基础。

参考文献：

［1］［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：10，10.

［3］ 史宁中.数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社.2015：216291.