从“量”入手，由“量”引“率”

摘 要：三年级学生初步认识分数时，根据教材的编排，用“率”的路径进行教学是一线教师的首选，但是从“率”到“量”，好似有一道难以跨越的鸿沟，学生很难接受，这就导致学生在后续分数的学习中出现比较多的不解和困难。对此，从学生已有的认知经验出发，基于新课标提出的数的认识的一致性视角，设计三年级两次“分数的初步认识”的教学：三年级上册，从“量”入手，凸显分数是表示具体量的数；三年级下册，由“量”引“率”，凸显分数还可以表示数量之间的关系。

关键词：小学数学；分数的初步认识；一致性；量；率

分数的认识是学生在整数认识的基础上“数认识”的一次延伸，并对学生数概念的形成与发展起着至关重要的作用。分数的作用决定了它历来都是小学数学的重点知识，苏教版小学数学教材在三年级上册、三年级下册分别设置了“分数的初步认识”。“初步认识”很大程度上是为学生认识小数做铺垫的，等小数的意义和运算全部学完，才在五年级下册开始系统地学习分数的意义和运算。整个分数的系统学习安排在小学的最后阶段，可见学生对分数的认知困难远大于整数和小数，这就决定了教师的教学同样存在一定的难度。笔者以为，可以基于一致性视角，整体地设计三年级两次“分数的初步认识”的教学。

一、两点思考

（一）存在问题：教学突出了“率”，而忽视了“量”

通常情况下，认识分数有两条路径——“量”和“率”，即分数既可以表示一个数量的大小（量），还可以表示一个量与另一个量之间的关系（率）。两者合一，就是分数的意义。苏教版小学数学教材中，三年级安排了认识分数的起始课，让学生经历从平均分一个物体（上册），到平均分几个物体组成的整体（下册），再到平均分一些度量单位（下册）等，初步建立对分数的认识。教材中，分数表示“量”只出现了两次，一次是在三年级上册分数的引入中出现了“半个也就是二分之一个”，另一次是在三年级下册的“练习”中出现了有关分数的单位换算（如5分米等于几分之几米），其余都是用“每份是它的几分之几”“每个是这些的几分之几”等这样的语言来描述，即突出分数的“率”。教材这样编排的意图很明显，就是用“率”这一路径来认识分数，注重基于“分”与“取”的动作表征来认识分数，从部分与整体的关系维度来理解分数的意义。

然而，实际教学中仍会遇到不少问题，主要表现为：“量”的缺失，使得学生对分数的认识不完整。根据教材的编排意图，教师在教学分数时往往会抓住“率”。从“把1个蛋糕平均分成2份，每人分得半个”，快速地转为“把1个蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”。这样的快速转化，其实没有尊重学生认识一个数的逻辑规律和认知起点，直接跳过了“量”，致使学生被动地接受分数表示的是数与数之间的关系，即“率”。后续的练习中，都是用分数表示涂色部分，突出部分与整体的关系。分数的大小比较、分数的加减法，都通过直观的图形来教学。学生在这个过程中也是被动地接受：对于大小，必须用同样的图形平均分，才能正确比较；对于加减法，也必须用同样的图形平均分，才能计算。整个教学，都是围绕“率”，缺少“量”的认识。

此外，由于“量”的缺失，自然也就导致“量”与“率”之间无有效衔接，也就造成学生后续学习分数时很难跨越认知鸿沟。比如，学生第一次接触到几分之几米、几分之几元时，非常排斥，他们认为：分数不能带单位。到五年级学习假分数时，学生也很难接受：分数明明表示部分与整体的关系，现在超过了整体，为什么还能“取”？学生的这些表现，说明教师对“率”的教学扎实到位，但忽略了分数也是一个数，也可以表示具体量。

（二）教学建议：基于数认识的一致性来组织

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在小学“数与代数”领域，要让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性”［1］。从数组成的角度来说，整数、分数、小数均是基于“计数单位”建构的。教学中，教师要带领学生经历知识的发生、发展过程，建立知识之间的联系，体会知识的本源性、一致性与整体性。

学生认识整数时，是从实物的具体量中抽象出数，然后进行比较和运算的。在比较两个量的大小时，除了相差多少，还引出了“倍”。这说明自然数除了表示物体的个数，还能表示两个量比较的关系。分数的初步认识，同样可以遵照自然数的认识过程，先认识“量”，再认识“率”：先让学生感知分数是一种有大小的新数，用来度量小于1的量；再过渡到认识部分与整体、部分与部分之间的关系也可以用分数表示。

二、教学策略

（一）三年级上册：从“量”入手，凸显分数是表示具体量的数

郑毓信教授指出，面对“数”的扩展，我们决不应将所涉及的各种数，包括原来的自然数以及后来学习的小数及分数等，看成互不相干的，而应将它们纳入同一个数系之中， 后者正是将所有这些都看成“一个真正的‘数’”的主要含义。［2］自然数“1”是从一个个具体形象的物体中抽象出来的，这些物体的数量都是1，用自然数“1”表示。基于一致性视角，分数也可以如此抽象出来：在分物或者度量的过程中不能得到整数个时，就产生了表示具体量的分数，12个蛋糕、12块巧克力、12个长方形等。如此，像自然数一样，从具体形象的物体中抽象出分数12。数量不满1时，可以用平均分的总份数和表示的份数两个自然数合在一起，组成一个新的数来表示物体的数量。从这个角度来思考，三年级上册都是学习一个物体的几分之一和几分之几，那么这部分的内容适合从“量”的路径展开教学。具体教学设计如下：

1.从平均分中体会分数的产生

提问：

（出示图1）

两个小朋友一起去郊游，带了一些吃的，他们会怎么分呢？（预设：平均分。）

出示题目：4个苹果，每人分得（ ）个；2瓶水，每人分得（ ）瓶。（预设：2；1。）

追问：这1个蛋糕呢，怎么做到平均分成两份呢？用蛋糕图片代替来分一分。

学生示范操作平均分，并出示分好的图形（如图2）。

提问：每人分得多少个？（预设：半个。）

引导：这半个，还能用1、2、3这样的自然数来表示吗？（预设：不能。）那用怎样的数表示既简单又清楚呢？（预设：12。）非常好！想到了12这个数。是的，不满一个，我们可以用一种新的数来表示。把自然数1和2组合在一起，形成一个新的数，这个数就可以表示半个蛋糕。2指的是——（预设：把蛋糕分成2份。）1指的是——（预设：其中的1份。）

揭题：你们知道12叫什么数吗？（预设：分数。）是的，今天我们就来认识分数。

教师介绍12的写法和读法。

本环节，引导学生初步体会，当物体经过平均分后不满1时，需要产生新的数。而这个新的数就是用以前学过的自然数组合产生的，平均分的总份数和取的份数的两个自然数就是“新数”的两个重要组成。

2.从具体量中抽象出分数

提问：

（出示图3）

这半个呢？也可以用哪个分数表示？（预设：12。）

示错：

（出示图4）

这两小块呢？能说是12个蛋糕吗？（预设：不能。）它们也不满一个，而且也是两份呀，怎么不能说是12个呢？（预设：没有平均分。）

强调：看来，要想得到12个蛋糕，先要做到平均分。

扩充12的具体量：

（课件出示巧克力、酸奶、长方形等）

你们能分一分，找一找12块巧克力、12瓶酸奶、12个长方形吗？

学生操作。教师展示学生得到的12的具体量（配图，注意给其中的一份涂色）。

引导抽象：这些物体形状、大小、颜色等都不一样，大家怎么都用了12这个分数来表示呢？

小结：不管是哪种物体，只要是把它平均分成两份，每份都可以用12来表示。2表示——（预设：平均分成2份。）1表示——（预设：其中的1份。）

本环节，主要引导学生从具体数量中抽象出12，通过抽象触及分数的本质：只要平均分成2份，其中1份的量就可以用12来表示。

3.从具体物体过渡到图形

提问：

（出示图5）

刚才我们得到了12个长方形，想一想，你还能得到几分之一个长方形呢？打算怎么得到？（预设：13个、14个、15个……）

追问：可以吗？怎么得到13个长方形呢？（预设：平均分成3份，给其中的一份涂色）请在纸上操作。

学生操作。教师巡视，并选取学生作品展示，如图6—图8。

引导：请仔细观察，12个长方形是多大？13个长方形是多大？哪个大一些呢？自然数中，明明3比2大，怎么这里反而12大了呢？

本环节，既是对分数意义的拓展，又能引导学生用直观的方式比较分数的大小。

（二）三年级下册：由“量”引“率”，凸显分数还可以表示数量之间的关系

学生在认识自然数后，慢慢开始探究自然数之间的关系。认识了加减法，探究数量间的大小关系；认识了乘除法，探究数量间的“倍”的关系。分数的学习也可以遵循这样的顺序：当单位“1”是一个物体时，学生理解“量”更容易；而当单位“1”是一个整体、一个度量单位时，由“量”过渡到“率”则更合适。同时，还能沟通自然数中“倍”的认识，让学生对“量”与“率”的区别，更清晰、明朗。三年级下册“分数的初步认识”教学设计如下：

1.抓住分数的本质，从一个物体向一个整体过渡

复习：一个桃，平均分给两只小猴吃，每只小猴吃几个？（预设：12。）

提问：一盘桃，平均分给两只小猴吃，每只小猴吃多少？（预设：12盘。）

追问：吃了12盘？同意吗？怎样想的？

小结：是的，只要平均分成两份，其中一份就是12盘。

2.根据桃子的具体量，引起“量”“率”的认知冲突

连续提问：看图分一分，涂一涂。

（依次出示图片）

如果这盘桃一共有4个，那小猴吃的12盘是几个？（预设：2个。）如果这盘桃一共有6个，那小猴吃的12盘是几个？（预设：3个。）如果这盘桃一共有10个，那小猴吃的12盘是几个？（预设：5个。）如果这盘桃一共有12个，那小猴吃的12盘是几个？（预设：6个。）

引发认知冲突：都是吃了12盘，怎么一会儿吃2个，一会儿吃3个，一会儿又是5个、6个啊？

小结：因为一盘桃的总个数产生了变化，所以12盘桃的个数也会发生变化。

质疑：那明明盘里桃的个数都不一样，怎么都说是12盘呢？

小结：不管桃有多少个，只要平均分成两份，一份都是12盘。

示错中引出“率”：

（指桃子总数为4个的图片）

如果我说这12盘是3个桃行吗？怎么不行呢？看来，每盘桃的总数和12盘的个数还有着对应的关系，不能随意说。

认识分数的“率”：

（指桃子总数为4个的图片）

这个12盘是2个桃，还能说2个桃是4个桃的12。

以上只是笔者对分数的初步认识的一些设想。通过分数“量”与“率”的分别侧重教学，笔者发现，学生对分数表示一个具体量不再排斥，遇到分数的单位换算时也不觉得突兀了，反而还会用“率”解决单位换算的问题。其实，分数除了“量”与“率”，还有着丰富的意义，不同的专家、学者有着不同的解读。比如，张奠宙教授在《小学数学研究》一书中指出，分数一般有四种定义：份数定义、商定义、比定义和公理化定义。［3］章勤琼教授等在《论小学数学中分数的多层级理解及其教学》一文中补充了分数的度量意义，即算子意义。［4］作为一线教师，我们要从更多元的角度思考，到底怎样教才能让学生学得懂、学得通、学得有效，逐步接近课标的要求。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：18.

［2］ 郑毓信.小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例［M］.上海：华东师范大学出版社，2017：87.

［3］ 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究［M］.北京：高等教育出版社，2009：78.

［4］ 章勤琼，徐文彬.论小学数学中分数的多层级理解及其教学［J］.课程·教材·教法，2016（3）：4349.